1920学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念第1课时集合的概念教师用书新人教Word文档下载推荐.docx
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A中的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
a不是集合
a∉A
a不属于集合A
对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.
(2)∈和∉具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R∈0是错误的.
3.常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
N*或N+
Z
Q
R
4.集合的分类
集合
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)集合中的元素一定是数.( )
(2)高一四班的全体同学组成一个集合.( )
(3)由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是同一个集合. ( )
(4)一个集合中可以找到两个相同的元素.( )
(5)集合N中的最小元素为0.( )
(6)若a∈Q,则一定有a∈R.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
(5)√ (6)√
由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A.2 B.3
C.4D.5
解析:
选C.由“title”中的字母构成的集合中元素为t,i,l,e,共4个.
下列关系①0.21∈Q;
②
∉N*;
③-
∈N*;
④
∈N.其中正确的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
选C.①是正确的,②中
=2∈N*,③中-
=-2∉N*,④
=2∈N是正确的,故①④正确.
已知集合M有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=________.
由题意知a+1=4,即a=3.
3
2019年9月,我们踏入了心仪的高中校园,找到了自己的班级.则下列对象中能构成一个集合的是哪些?
并说明你的理由.
(1)你所在班级中的全体同学;
(2)班级中比较高的同学;
(3)班级中身高超过178cm的同学;
(4)班级中比较胖的同学;
(5)班级中体重超过75kg的同学;
(6)学习成绩比较好的同学
【解】
(1)班级中的全体同学是确定的,所以可以构成一个集合.
(2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合.
(3)因为“身高超过178cm”是确定的,所以可以构成一个集合.
(4)“比较胖”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合.
(5)“体重超过75kg”是确定的,所以可以构成一个集合.
(6)“学习成绩比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合.
判断一组对象能否构成集合的方法
一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
1.(2019·
临川检测)考察下列每组对象,能组成一个集合的是( )
①一中高一年级聪明的学生;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的正整数;
的近似值.
A.①② B.③④
C.②③D.①③
选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定,因而不能构成集合;
②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定,能构成集合;
③“不小于3的正整数”的标准确定,能构成集合;
④“
的近似值”的标准不确定,不能构成集合.
2.中国男子篮球职业联赛(ChinaBasketballAssociation),简称中职篮(CBA),是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛,是中国最高等级的篮球联赛.下列对象能构成一个集合的是哪些?
(1)2018~2019赛季,CBA的所有队伍;
(2)CBA中比较著名的队员;
(3)CBA中得分前五位的球员;
(4)CBA中比较高的球员.
解:
(1)CBA的所有队伍是确定的,所以可以构成一个集合.
(2)“比较著名”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合.
(3)“得分前五位”是确定的,所以可以构成一个集合.
(4)“比较高”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合.
(1)下列关系中,正确的有( )
①
∈R;
∉Q;
③|-3|∈N;
④|-
|∈Q.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
(2)满足“a∈A且4-a∈A,a∈N且4-a∈N”,有且只有2个元素的集合A的个数是( )
【解析】
(1)
是实数,
是无理数,|-3|=3是非负整数,|-
|=
是无理数.
因此,①②③正确,④错误.
(2)因为a∈A且4-a∈A,
a∈N且4-a∈N,
若a=0,则4-a=4,
此时A满足要求;
若a=1,则4-a=3,
若a=2,则4-a=2,
此时A含1个元素不满足要求.
故有且只有2个元素的集合A有2个,故选C.
【答案】
(1)C
(2)C
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法:
如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的.
(2)推理法:
对于某些不便直接表示的集合,判断元素与集合的关系时,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性,即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.
1.用适当的符号填空:
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数,则有:
17________A;
-5________A.
由题意可设x=3k+2,k∈Z,
令3k+2=17得,k=5∈Z.
所以17∈A.令3k+2=-5得,
k=-
∉Z.所以-5∉A.
∈ ∉
2.已知集合A中元素满足2x+a>
0,a∈R.若1∉A,2∈A,则实数a的取值范围为________.
因为1∉A,2∈A,
所以
即-4<
a≤-2.
-4<
a≤-2
已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.
【解析】 若1∈A,则a=1或a2=1,
即a=±
1.
当a=1时,集合A中有重复元素,
所以a≠1;
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性,所以a=-1.
【答案】 -1
1.(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”,则实数a的取值范围是什么?
因为集合A中含有两个元素a和a2,
所以a≠a2,
即a≠0且a≠1.
2.(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”,则a为何值?
因为2∈A,
所以a=2或a2=2,
即a=2或a=±
.
3.(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素,则a为何值?
因为由a和a2构成的集合只有一个元素,所以a=a2,即a=0或a=1.
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
1.若集合M中的三个元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
选D.由集合中元素的互异性可知,集合中的任何两个元素都不相同,故选D.
2.若集合A中有三个元素x,x+1,1,集合B中也有三个元素x,x+x2,x2,且A=B,求实数x的值.
因为A=B,
或
解得x=±
1.经检验,x=1不适合集合元素的互异性,而x=-1适合,
所以x=-1.
1.下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修1课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
选B.A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;
B能构成集合;
C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.D中“小”没有明确的标准,所以不能构成集合.
2.下列结论中,不正确的是( )
A.若a∈N,则
∉N
B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q
D.若a∈R,则
∈R
选A.A不正确.反例:
a=1∈N,
=1∈N.
3.若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
选C.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,x2-x-2=0的解为x=2或x=-1,所以集合M中含有3个元素.
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=________.
由题意知,m=2或m2-3m+2=2,
解得m=2或m=0或m=3,经验证,
当m=0或m=2时,
不满足集合中元素的互异性,
当m=3时,满足题意,
故m=3.
[A 基础达标]
1.现有以下说法,其中正确的是( )
①接近于0的数的全体构成一个集合;
②正方体的全体构成一个集合;
③未来世界的高科技产品构成一个集合;
④不大于3的所有自然数构成一个集合.
A.①② B.②③
C.③④D.②④
选D.在①中,接近于0的数的全体不能构成一个集合,故①错误;
在②中,正方体的全体能构成一个集合,故②正确;
在③中,未来世界的高科技产品不能构成一个集合,故③错误;
在④中,不大于3的所有自然数能构成一个集合,故④正确.
2.给出下列关系:
∈Q;
③-3∉Z;
④-
∉N,其中正确的个数为( )
A.1B.2
选B.
是实数,①正确;
是无理数,②错误;
-3是整数,③错误;
-
是无理数,④正确.故选B.
3.设A是方程2x2+ax+2=0的解集,且2∈A,则实数a的值为( )
A.-5B.-4
选A.因为2∈A,
所以2×
22+2a+2=0,
解得a=-5.
4.设集合M是由不小于2
的数组成的集合,a=
,则下列关系中正确的是( )
A.a∈MB.a∉M
C.a=MD.a≠M
选B.因为集合M是由不小于2
,所以a不是集合M中的元素,故a∉M.
5.由实数x,-x,|x|,
,-
所组成的集合,最多含有( )
A.2个元素B.3个元素
C.4个元素D.5个元素
选A.
=|x|,-
=-x.
当x=0时,它们均为0;
当x>
0时,它们分别为x,-x,x,x,-x;
当x<
0时,它们分别为x,-x,-x,-x,-x.
通过以上分析,它们最多表示两个不同的数,故集合中元素最多含有2个.
6.下列说法:
①集合N与集合N*是同一个集合;
②集合N中的元素都是集合Z中的元素;
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;
④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
其中正确的有________.
因为集合N*表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.
②④
7.已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b________A,ab________A.(填“∈”或“∉”)
因为a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数,故a+b∉A,ab∈A.
∉ ∈
8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则
+
的可能取值所组成的集合中元素的个数为________.
当a>
0且b>
0时,
=2;
当a·
b<
=0;
当a<
0且b<
=-2.
所以集合中的元素为2,0,-2.
即元素的个数为3.
9.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,a∈R.
(1)若-3∈A,试求实数a的值;
(2)若a∈A,试求实数a的值.
(1)因为-3∈A,所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意;
若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,实数a的值为0或-1.
(2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1.
当a=a-3时,有0=-3,不成立;
当a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.
10.集合A是由形如m+
n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-
,b=
,c=(1-2
)2与集合A的关系.
因为a=-
=0+(-1)×
,而0,-1∈Z,所以a∈A;
因为b=
=
,而
,
∉Z,所以b∉A;
因为c=(1-2
)2=13+(-4)×
,而13,-4∈Z,所以c∈A.
[B 能力提升]
11.集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为( )
C.0或1D.小于或等于1
选C.由y∈N且y=-x2+1≤1,所以y=0或y=1,所以A={0,1}.又因为t∈A,所以t=0或t=1,故选C.
12.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
选C.集合A中的元素为y,是数集,又y=x2+1≥1,故2∈A,集合B中的元素为点(x,y),且满足y=x2+1,经验证,(3,10)∈B,故选C.
13.(2019·
信阳检测)已知集合P中的元素x满足:
x∈N,且2<
x<
a,又集合P中恰有三个元素,则整数a=________.
因为集合P中恰有三个不同元素,且元素x满足x∈N,且2<
a,则满足条件的x的值为3,4,5,所以a的值是6.
6
14.设集合A中的元素是实数,且满足1∉A,且若a∈A,则
∈A.若2∈A,写出集合A中的元素.
因为2∈A,所以
=-1∈A,
∈A,
=2,
再求下去仍然只得到2,-1,
这三个数,
所以集合A中的元素只有三个:
-1,
,2.
[C 拓展探究]
15.定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±
b∈A,且ab∈A,且
∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?
若是,请说明理由;
若不是,请举反例说明.
①数集N,Z不是“闭集”,例如,3∈N,2∈N,而
=1.5∉N;
3∈Z,-2∈Z,而
=-1.5∉Z,故N,Z不是闭集.
②数集Q,R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和,差,积,商,
即a±
b,ab,
(b≠0)仍是有理数,
所以Q是闭集,同理R也是闭集.