因式分解的12种方法1Word格式.docx

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②完全平方公式：

a^2±

2ab＋b^2＝（a±

b）^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.

③立方和公式：

a^3+b^3＝（a+b）（a^2-ab+b^2）.

立方差公式：

a^3-b^3＝（a-b）（a^2+ab+b^2）.

④完全立方公式：

a^3±

3a^2b＋3ab^2±

b^3＝（a±

b）^3

⑤a^n-b^n=（a-b）[a^（n-1）+a^（n-2）b+……+b^（n-2）a+b^（n-1）]

a^m+b^m=（a+b）[a^（m-1）-a^（m-2）b+……-b^（m-2）a+b^（m-1）]（m为奇数）

⑶分组分解法

分组分解法：

把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；

要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（pq）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；

常数项是两个数的积；

一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x^2＋（pq）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么

kx^2＋mx＋n＝（axb）（cxd）

a\-----/bac＝kbd＝n

c/-----\dad＋bc＝m

※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

（6）应用因式定理：

如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。

如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

经典例题：

1.分解因式（1+y）^2-2x^2（1+y^2）+x^4（1-y）^2

解：

原式=（1+y）^2+2（1+y）x^2（1+y）+x^4（1-y）^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）

=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）

=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-（2x）^2

=[（1+y）+x^2（1-y）+2x]·

[（1+y）+x^2（1-y）-2x]

=（x^2-x^2y+2x+y+1）（x^2-x^2y-2x+y+1）

=[（x+1）^2-y（x^2-1）][（x-1）^2-y（x^2-1）]

=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）

2.证明：

对于任何数x,y，下式的值都不会为33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

原式=（x^5+3x^4y）-（5x^3y^2+15x^2y^3）+（4xy^4+12y^5）

=x^4（x+3y）-5x^2y^2（x+3y）+4y^4（x+3y）

=（x+3y）（x^4-5x^2y^2+4y^4）

=（x+3y）（x^2-4y^2）（x^2-y^2）

=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）

当y=0时，原式=x^5不等于33；

当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-x（2003淮安市中考题）

x-2x-x=x（x-2x-1）

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b（2003南通市中考题）

a+4ab+4b=（a+2b）

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m+5n-mn-5m

m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n

=（m-5m）+（-mn+5n）

=m（m-5）-n（m-5）

=（m-5）（m-n）

4、十字相乘法

对于mx+px+q形式的多项式，如果a×

b=m,c×

d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x-19x-6

分析：

1-3

72

2-21=-19

7x-19x-6=（7x+2）（x-3）

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40

解x+3x-40=x+3x+（）-（）-40

=（x+）-（）

=（x++）（x+-）

=（x+8）（x-5）

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

=（c+b）（c-a）（a+b）

7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x-x-6x-x+2

2x-x-6x-x+2=2（x+1）-x（x+1）-6x

=x[2（x+）-（x+）-6

令y=x+,x[2（x+）-（x+）-6

=x[2（y-2）-y-6]

=x（2y-y-10）

=x（y+2）（2y-5）

=x（x++2）（2x+-5）

=（x+2x+1）（2x-5x+2）

=（x+1）（2x-1）（x-2）

8、求根法

令多项式f（x）=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6

令f（x）=2x+7x-2x-13x+6=0

通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1

则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9、图象法

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例9、因式分解x+2x-5x-6

令y=x+2x-5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x+2x-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）

此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=a（b-c）-a（b-c）+（bc-cb）

=（b-c）[a-a（b+c）+bc]

=（b-c）（a-b）（a-c）

11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x+9x+23x+15

令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×

5×

7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x-x-5x-6x-4

易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

设x-x-5x-6x-4=（x+ax+b）（x+cx+d）

=x+（a+c）x+（ac+b+d）x+（ad+bc）x+bd

所以解得

则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）

则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）