沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试题Word文档下载推荐.docx

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10．已知等腰△ABC中，AD垂直于直线BC，垂足为点D，且AD＝

BC，则△ABC底角的度数为（　　）

A．45°

B．75°

C．45°

或75°

或15°

D．60°

二、填空题

11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°

方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°

方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．

12．在三角形纸片

中，

，

，点

（不与

重合）是

上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若

的长度为

，则

的周长为__________．（用含

的式子表示）．

13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC，则∠PCQ的度数为________．

14．在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A=30°

，若要在直线BC或直线AC上取一点P，使△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有个点．

三、解答题

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（1，0），D（3，1），在平面直角坐标系内分别作出四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．

16．如图，已知AB＝AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？

为什么？

17．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：

OP垂直平分AB．

18．如图，等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于D，∠CDE＝60°

.求证：

△CBE为等边三角形．

19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=50°

时，求∠DEF的度数.

20．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝

（AB＋AD），求∠ABC＋∠ADC的度数．

21．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B，C外）的任意一点，∠ADE＝60°

，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：

（1）∠1＝∠2；

（2）AD＝DE.

22．

（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

23．

（1）操作发现：

如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？

并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：

如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与

（1）相同，猜想AF与BD在

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）深入探究：

Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？

并证明你探究的结论．

Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？

若不成立，是否有新的结论？

并证明你得出的结论．

参考答案

1．D

【分析】

根据“一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合”求解．

【详解】

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

【点睛】

本题考查的是轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键.

2．C

【解析】

分析：

根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，由三角形的三边关系判断是否可以构成三角形即可．

详解：

①11是腰长时，

三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，

周长=11+11+5=27；

②11是底边时，

三角形的三边分别为11、5、5，

∵5+5=10<

11，

∴不能组成三角形，

综上所述，三角形的周长为27.

故选C.

点睛：

本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.

3．D

试题分析：

已知给出了一个内角是50°

，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．即当该角为顶角时，顶角为50°

；

当该角为底角时，顶角为80°

．故其顶角为50°

．

故填50°

考点：

等腰三角形

4．C

解：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．

本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．

5．A

∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°

，∵∠A=60°

，∴∠ACB=180°

﹣60°

﹣24°

×

2=72°

，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°

，∴∠ACF=72°

=48°

，故选A．

线段垂直平分线的性质．

6．C

根据关于直线x=m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等；

关于直线y=n的对称点的纵坐标的中点在直线上，横坐标相等，即可得出m，n的值，从而得出结论．

点P（2，3）关于直线x=m的对称点的坐标为（－4，3），∴2m=2－4，解得：

m=－1，

关于直线y=n的对称点的坐标为（2，－5），∴2n=3－5，解得：

n=－1，∴m-n=－1－（－1）=0．

故选C．

本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键．

7．C

先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°

即可．

如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，

则AO=OB，AO=OC，

所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．

∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB．

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

，∴∠BAC＞90°

即△ABC是钝角三角形．

本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BAC＞∠ABC+∠ACB是解答此题的关键，用了数形结合思想．

8．D

先求出∠ACD=30°

，然后根据30°

所对的直角边等于斜边的一半解答．

在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°

∴∠ACD+∠DCB=90°

，∠B+∠DCB=90°

∴∠ACD=∠B=30°

∵AD=3cm．

在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，

在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm，

∴AB的长度是12cm．

本题主要考查直角三角形30°

角所对的直角边等于斜边的一半的性质．

9．C

根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．

①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．

∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．

故本选项正确；

②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．

故本选项错误；

③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；

④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．

其中正确的是①③④．

本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．

10．C

分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，从而得出△ABC底角的度数；

当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC，求出底角的度数；

当AB=BC时，根据AD=

BC，AB=BC，得出∠DBA=30°

，从而得出底角的度数．

①如图1，当AB=AC时，

∵AD⊥BC，∴BD=CD，

∵AD=

BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45°

②如图2，当AB=BC时，

BC，∴AD=

AB，∴∠ABD=30°

，∴∠BAC=∠BCA=75°

，∴底角为75°

③如图3，当AB=BC时，

BC，AB=BC，∴AD=

AB，∴∠DBA=30°

，∴∠BAC=∠BCA=15°

∴△ABC底角的度数为45°

本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．

11．4

如图：

由题意可得：

∠CPA＝30°

，∠DAB＝30°

，AP＝4，AD⊥PB，

∵CP∥AD，

∴∠PAD＝∠APC＝30°

∴∠PAD＝∠DAB，

∵∠ADP＝∠ADB＝90°

，AD＝AD，

∴△ADP≌△ADB，

∴AB＝AP＝4，

即该海轮沿南偏东30°

方向航行4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处.

本题考查了方位角和全等三角形的判定和性质，根据题意结合方位角证明出三角形全等是解决此题的关键．

12．3a.

由折叠的性质得：

B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，

∴BF=2a，

∵∠B=30°

∴DF=

BF=a，

∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a．

本题考查了折叠的性质：

折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30°

的直角三角形三边的关系：

在直角三角形中，30°

的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

13．（

）°

根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B，设∠A=x°

，则∠AQP=x°

，根据三角形的外角性质求出∠QPC=∠PCQ=2x°

，∠BQC=3x°

，∠ACB=∠B=3x°

．在△ABC中根据三角形的内角和定理得出方程x°

+3x°

=180°

，解方程求出即可．

∵AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC，∴∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B（等边对等角），

设∠A=x°

∵在△AQP中，∠QPB是外角，∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∵在△BCQ中，∠BQC是外角，∴∠BQC=∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠BQC=3x°

，∴∠B=3x°

，∴∠ABC=3x°

∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°

，∴x°

（三角形三个内角的和等于180°

），

解得：

x=（

，∴∠PCQ=2x=（

故答案为（

本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程x°

是解答此题的关键．

14．6

本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．

第1个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；

第2个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PA；

第3个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；

第4个点取一点P，使AP=BA；

第5个点取一点P，使PB=BA；

第6个点取一点P，使AP=AB．

∴符合条件的点P有6个点．

故填6．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．

15．见解析

分别作出A、B、C、D关于x轴和y轴的对称点，然后顺次连结即可．

如图，四边形A1B1C1D1为四边形ABCD关于x轴对称的图形，四边形A2B2C2D2为四边形ABCD关于y轴对称的图形．

本题考查了轴对称变换．解题的关键是学会作关于坐标轴的对称点．

16．AE∥BC

根据等边对等角可得∠B=∠C，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC=2∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=2∠DAE，然后求出∠B=∠DAE，最后根据同位角相等，两直线平行证明即可．

试题解析：

AE∥BC．理由如下：

∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DAC=∠B+∠C=2∠B，∵AE平分∠DAC，∴∠DAC=2∠DAE，∴∠B=∠DAE，∴AE∥BC．

17．证明见解析

因为角度是一个轴对称图形，它的对称轴是这个角的角平分线，因此OM与ON关于OP对称，PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，A点和B点关于OP对称，OP垂直平分AB.

证明：

∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠OAP=∠OBP=90º

又∵∠AOP=∠BOPOP=OP

∴△OAP≌△OBP（AAS）

∴OA=OB，则△OAB为等腰三角形

OP是∠AOB的平分线，OP垂直平分AB

1.角平分线的性质；

2.等腰三角形的性质；

3.三角形全等的判定和性质.

18．证明见解析

首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE=∠CEA，再利用外角的性质得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案．

∵CA=CB，CE=CA，∴BC=CE，∠CAE=∠CEA．

∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°

，∴∠ACD=∠DCB=45°

，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°

，∴∠DAC=∠CEA=15°

，∴∠ACE=150°

，∴∠BCE=60°

，∴△CBE为等边三角形．

本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠BCE=60°

是解题的关键．

19．

（1）证明见解析；

（2）65°

⑴由AB=AC，可知∠B=∠C，根据题意易得△BDE≌△CEF（SAS），从而得到DE=EF，命题得证.

⑵因为∠A=50°

，所以∠B=∠C=65°

，由⑴可知，∠BDE=∠CEF，所以∠DEB+∠CEF=

∠DEB+∠BDE=115°

，从而∠DEF=180°

-115°

=65°

.

⑴∵AB=AC，∴∠B=∠C.

在△BDE和△CEF中，

，

∴△BDE≌△CEF（SAS），则DE=EF，故△DEF是等腰三角形.

⑵在△ABC中，∵∠A=50°

，∴∠B=∠C=65°

∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF，

∴∠DEB+∠CEF=∠DEB+∠BDE=180°

-65°

=115°

则∠DEF=180°

-（∠DEB+∠CEF）=180°

20．180°

延长AD过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件

可证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠ABC=∠CDF，问题可得解．

过C作CF⊥AD于F．

∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC．

∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEA=90°

，∴△AFC≌△AEC（AAS），∴AF=AE，CF=CE．

∵

，∴2AE=AB+AD．

又∵AD=AF﹣DF，AB=AE+BE，AF=AE，∴2AE=AE+BE+AE﹣DF，∴BE=DF．

∵∠DFC=∠CEB=90°

，CF=CE，∴△CDF≌△CEB（SAS），∴∠ABC=∠CDF．

∵∠ADC+∠CDF=180°

，∴∠ABC+∠ADC=180°

本题考查了全等三角形的判定和性质，常用的判断方法为：

SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：

对应角相等，对应边相等．有时还需要证“两步”全等．

21．证明见解析

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴

∴∠1=∠2；

（2）如图，在

上取一点

，使BM=BD，连接MD．

∵△ABC是等边三角形

∴△BMD是等边三角形，

.

∵CE是△ABC外角

的平分线，

.

，即

∴△AMD≌△DCE（ASA）．

∴AD=DE．

等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质

本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

22．

（1）60°

（2）60°

（1），由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°

，∠4=∠5，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠4+∠6=∠4+∠5=∠2=60°

（2）由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°

，∠4=∠5，∠6=∠7，根据三角形内角和可得∠5=∠6，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2.

（1）如图3，

∵△DOC和△ABO都是等边三角形，

且点O是线段AD的中点，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°

∴∠4=30°

同理∠6=30°

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°

（2）如图4，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°

，∠6+∠7+∠AOC=180°

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，

∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，

本题主要考查的是等边三角形性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解答本题的关键.

23．

（1）AF＝BD

（2）AF＝BD仍然成立（3）Ⅰ.AF＋BF′＝AB.Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′

（1）AF=BD．证明如下：

∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°

（等边三角形的性质）．

同理知，DC=CF，∠DCF=60°

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF．

在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，

∴△BCD≌△ACF（SAS）．∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）．

（2）AF=BD仍然成立．

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB．证明如下：

由

（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF．

同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD．

∴AF+BF′=BD+AD=AB．

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′．证明如下：

在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BCF′=∠ACD，F′C=DC，

∴△BCF′≌△ACD（SAS）．∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）．

又由

（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．

（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；

然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD．

（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD．

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；

利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；

同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB．

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′：

通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等），再结合

（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′