沪科版八年级数学上册第15章 轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习.docx

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沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习

第15章轴对称图形与等腰三角形

【知识剖析】

一、轴对称图形与轴对称

1、轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.

2、轴对称：

如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.

3、轴对称性质与判定：

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段.

（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

4、轴对称和轴对称图形的区别与联系

例1、把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）

例2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D/、C/的位置.若∠EFB=65°，则∠AED/等于（）.

A、70°B、65°C、50°D、25°

例3、如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A/重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）.

A、150°B、210°C、105°D、75°

例4、已知点M（a+1，2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是________.

例5、若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，-a+1），关于y轴的对称点为P2（4-b，b+2），则a+b的值为_________.

例6、如图，在平面直角坐标系xoy中.

（1）请写出△ABC各顶点的坐标，并求△ABC的面积；

（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；

（3）已知点A与点A2（-3，2）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式；

（4）若点P（m，n）是△ABC中AB边上一点，请表示其在△A2B2C2中对应点的坐标.

二、线段的垂直平分线

1、定义：

经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

2、性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.

ｌｌ

∵直线l垂直平分AB，点P在l上

∴PA=PB

P

3、逆定理：

与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

∵PA=PB

∴点P在AB的垂直平分线上

4、三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

例7、如图，在△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数.

例8、如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，垂足分别为N、M.求证：

∠ABE=∠CDE.

例9、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.求证：

AE=AF.

例10、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在线段BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于点G，DE交AC于点F.求证：

点E在线段AF的垂直平分线上.

三、等腰三角形

1、定义：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形.

2、性质：

（1）等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.

推论：

等边三角形三个内角相等，每一个内角等于60°.

（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.

（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）

3、判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.

四、等边三角形

1、定义：

三边都相等的三角形叫做等边三角形.

2、性质：

等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°.

3、判定：

（1）定义法：

三边都相等的三角形是等边三角形.

（2）推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形.

（3）推论2：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

五、直角三角形

含30°角的直角三角形性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

例11、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于（）.

A、80°B、70°C、60°D、50°

例12、如图，已知梯形ABED的周长是20cm，∠ABC=60°，CD∥AB，AC∥DE，且AB=AC=AD=DE.计算△DCE的周长.

例13、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由.

例14、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于点D，则BD=_______.

例15、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.

（1）求证：

△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数.

例16、如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=______.

例17、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长.

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由.

六、角的平分线

1、性质：

角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.

2、判定：

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3、三角形三条角平分线的性质：

三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.

例18、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E.若AB=10cm，求△DBE的周长.

例19、如图，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N，BD=AD，PM=PN.求证：

OB=OA.

例20、如图，∠B=∠C=90°，M的BC的中点，DM平分∠ADC.若连接AM，则AM是否平分∠BAD？

并说明理由.

例21、如图，在△ABC中，请证明：

（1）若AD为∠BAC的平分线，则

（2）设D为BC上的一点，连接AD，若

，则AD为∠BAC的平分线.

例22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，点P是∠BAC，∠ABC的平分线的交点，试求点P到AB边的距离.

例23、如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，请你添加一个条件，使AD⊥EF，并进行证明.

【综合练习】

一、选择题

1、在下列交通标志中，是轴对称图形的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

2、在等腰三角形ABC中，AC=2BC，其周长为60，则BC的长为（）.

A.15B.12C.15或12D.以上都不正确

3、如图，每组中的两个图形，成轴对称的是（）.

A.

（1）

（2）（3）B.

（1）

（2）（4）C.

（1）（3）（4）D.

（2）（3）（4）

4、已知点P（-1-2a，5）关于x轴的对称点和点M（3，b）关于y轴的对称点相同，则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）.

A.（1，-5）B.（1，5）C.（-1，5）D.（-1，-5）

5、如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为E，交AB于D，AB=11cm，BC=7cm，则△BCD的周长为（）.

A.16cmB.22cmC.18cmD.25cm

（第5题）（第7题）（第9题）

6、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则△P1OP2是（）.

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

7、如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AM=DN.其中正确的结论有（）个.

A.3B.2C.1D.0

8、到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）.

A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点

9、如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD等于（）.

A.20°B.30°C.35°D.40°

10、如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上的点E处.已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（）.

A.6B.4C.3D.2

（第10题）（第11题）（第12题）

11、如图，BF，CF是△ABC的两个外角的平分线，交点为F，若∠A=50°，则∠BFC的度数是（）.

A.50°B.60°C.40°D.65°

12、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.若∠BAE=10°，则∠C的度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.60°

二、填空题

13、如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，AC=12cm，ED垂直平分BC，则BE等于_____cm.

（第13题）（第14题）（第15题）

14、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处.他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，那么，由此可知B、C两地相距_____m.

15、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠ADC=130°，则∠BAC=______.

16、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，CE⊥AB，垂足为E，AD是∠BAC的平分线.若AB=5cm，CE=

cm，BC=6cm，则AD=_____cm.

（第16题）（第17题）

17、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD=____，BC=_____cm，AD=______cm.

18、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于__________.

19、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD=BD=2CD，点D到AB的距离等于5cm，则BC=______，∠CAD=_______.

（第19题）（第20题）

20、如图，∠ABC=60°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是______.

三、解答题

21、如图，在直线AB一侧有C、D两点，在AB上找一点P，使PC+PD的长最短，找出此点并说明理由.

22、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E.求证：

△AEF是等边三角形.

23、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，且

.求证：

BD是∠ABC的平分线.

24、如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点，且BD=AD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，问：

∠BPD的度数是不是一定的？

若是，求出它的度数；若不是，请说明理由.

25、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，几秒后△PQB为等腰三角形？

26、如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于C，D.则PC和PD有怎样的数量关系，并证明你的结论.