线面垂直练习题及答案Word文档格式.docx
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∵PA⊥平面ABC，BC?
平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．
．
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?
线面垂直?
线线垂直．
判定性质
?
面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：
线线垂直?
之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明
问题．下面举例说明．
如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过
A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：
AE?
SB，
AG?
SD．
∵SA
平面ABCD，
∴SA?
BC．∵AB?
BC，∴BC?
平面SAB．又∵AE?
平面SAB，∴BC?
AEAE?
平面SBC．∴AE?
SB．同理可证AG?
．∵SC?
平面AEFG，∴SC?
AE
．∴
本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：
AH⊥平面BCD．证明：
取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC
BC，∴CF?
AB．
∵AD?
BD，∴DF?
又CF?
DF?
F，∴AB?
平面CDF．∵CD?
平面CDF，∴CD?
AB．又CD?
BE，BE?
AB?
B，∴CD?
平面ABE，CD?
AH．
∵AH?
CD，AH?
BE，CD?
BE?
E，
AH?
平面BCD．
本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；
而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA?
平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：
平面AEF⊥平面PBC．
∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∵PA∴PA?
BC．
平面ABC，BC?
平面ABC，
BC．∴BC?
平面APC．
∵BC?
平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．
∵AE?
平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．
6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：
AC⊥BD
即证线面垂直，而证线面垂直则需从
D证明：
过A作AO⊥平面BCD于O
CD，?
CD?
BO同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心.证明：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
于是BD?
CO?
BD?
AC
A
C
连结AC
AC为A1C在平面AC上的射影
A1C
A1C?
平面BC1D
同理可证A1C?
BC1?
8.如图，PA?
平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：
MN?
AB
1
EN//DC
2.证：
取PD中点E，则
EN
AE/
//AM
/MN
9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A’ED=60°
，求证:
A’E⊥平面A’BC
分析：
A’C
弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
D
解：
G∵FG∥BC，AD⊥BC
∴A’E⊥FGEAB∴A’E⊥BC
F设A’E=a，则ED=2a
由余弦定理得：
222
A’D=A’E+ED-2?
A’E?
EDcos60°
2
=3a
∴ED=A’D+A’E∴A’D⊥A’E
∴A’E⊥平面A’BC
10如图,在空间四边形SABC中,SA?
平面ABC,?
ABC=0?
AN?
SB于N,AM?
SC于M。
求证:
①AN?
BC;
②SC?
平面ANM分析:
①要证AN?
BC,转证,BC?
平面SAB。
②要证SC?
平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC?
AM,SC?
AN。
要证SC?
AN,转证AN?
平面SBC,就可以了。
证明:
①∵SA?
平面ABC∴SA?
BC又∵BC?
AB,且AB?
SA=A∴BC?
平面SAB∵AN?
平面SAB∴AN?
BC②∵AN?
BC,AN?
SB,且SB?
BC=B∴AN?
平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?
SC又∵AM?
SC,且AM?
AN=A∴SC?
平面ANM
11已知如图，P?
平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°
，∠BPC=90°
求证：
平面ABC⊥平面PBC
要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。
显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：
取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；
∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a
BC=
CD?
又?
AD?
平面PAD?
CD//AB?
PA?
平面AC?
AE?
AE//MN?
2a∴PD=
a在ΔABC中AD=
AB2?
BD2
习题精选精讲
=
2?
2?
a∵AD+PD=?
a?
2
22
=a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC
∴AD∴平面1以AB直。
PA
BCAB面AEF
［例1］如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°
，∠BSC=90°
，求证：
平面ABC⊥
平面BSC．
∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°
∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°
，∴BC=
2a，SO=
a，
a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°
，从而平面ABC⊥平面BSC．
要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．
［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
AO2=AC2－OC2=a2－21a2=2
图9—40
求证：
AB⊥BC；
若设二面角S—BC—A为45°
，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．
作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角，∴∠SBA=45°
．设SA=AB=BC=a，
作AE⊥SC于E，连EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，而AH=
a，AC=
2a，SC=3a，AE=
3
a
∴sin∠AEH=
三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．
2，二面角A—SC—B为60°
．
［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．
求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；
平面MND⊥平面PCDPA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°
取PD中点E，连结EN，EA，则
ENCDAM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN?
平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．
图9—42
平面MNF⊥平面ENF．求二面角M—EF—N的平面角的正切值．
∵M、N、E是中点，∴EB1?
B1N?
NC1?
C1M∴?
ENB1?
MNC1?
45?
∴?
MNE?
90?
即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN?
平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN∴平面MNF⊥平面ENF．
过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，
平面MNF，
∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=
a，NH=
33a，
MN?
2∴tan∠MHN=NH
，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2．
［例5］在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为平面D1EF⊥平面AB1C．
如图9—43，∵E、F分别是AB1、CB1的中点，
2的正方形，侧棱长为3，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：
图9—43∴EF∥AC．∵AB1=CB1，O为AC的中点．∴B1O⊥AC．故B1O⊥EF．在Rt△B1BO中，∵BB1=
3，BO=1．
1如图1，在正方体ABCD?
A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：
A1O?
平面MBD．
连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?
A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O?
平面A1ACC1∴DB⊥A1O．设正方体棱长为a，则A1O2?
在Rt△A1C1M中，A1M
32
a，MO?
94a
34
a．
．∵A1O2?
A1M
，∴
．∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD．A1O?
OM
平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵
BC?
平面PBC，∴AD⊥BC．
如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：
SB，AG?
∵SA?
AE．∵SC?
AE．∴AE?
如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC?
AB．又CF?
∴AH?
平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是
PB上任意一点，求证：
∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC?
BC．∵PA?
平面ABC，∴PA?
BC．∴BC?
平面APC．∵BC?
DB
BO同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心于是BD?
7.证明：
连结AC?
BC?
同理可证A1C1?
EN//1
.证：
取PD中点E，则2DC
//
AM
AE//MN
A’E⊥平面A’BC分析：
∵FG∥BC，AD⊥BC
∴A’E⊥FG∴A’E⊥BC设A’E=a，则ED=2a由余弦定理得：
A’D2=A’E2+ED2-2?
=3a∴ED2=A’D2+A’E∴A’D⊥A’E∴A’E⊥平面A’BC
要证SC?
G
EF
CD
B
平面ABC
1．在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD
由AD⊥BC，BD⊥AD?
AD⊥平面BCD，面AD?
平面ADC∴平面ADC⊥平面BCD．C
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°
，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是
BC
又∵BC?
SA=A∴BC?
平面SAB∵AN?
平面SAB∴AN?
②∵AN?
BC=B∴AN?
平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?
SC
又∵AM?
AN=A∴SC?
A．aB．
2a
C．2a
D．3a
取A1C的中点O，连结AO，∵AC=AA1，∴AO⊥A1C
又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又∵BC⊥AC∴BC⊥AO，
因AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离．解得：
A1O=2aC
3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为A．5
B．5
C．35
D．25
例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.
已知a∥b，a⊥α.求证：
b⊥α.
变式训练
已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
PB⊥
AC.
例如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
图10
例如图11，在直四已知AB∥DC.
D1C⊥AC1；
设E是DC上一点，A1BD，并说明理由.
棱柱ABCD—A1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，
试确定E的位置，使D1E∥平面
如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：
A1O⊥平面
GBD.
图12
1、如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点
.
AB⊥MN；
MN的长是定值.
2、如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.求证：
AC⊥BC1;
AC1∥平面CDB1；
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