第二章章末检测二 圆锥曲线与方程文档格式.docx

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A．一条直线和一条双曲线

B．两条双曲线

C．两个点

D．以上答案都不对

（x－y）2＋（xy－1）2＝0⇔

或

4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（　　）

A．6B．5

C．4D．3

根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.

A

5．已知椭圆＋＝1的一个焦点为（2,0），则椭圆的方程是（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C．x2＋＝1D.＋＝1

由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，

∴a2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为＋＝1，故选D.

D

6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（　　）

A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．圆

由条件知|PM|＝|PF|，

∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝k>

|OF|，

∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．

7．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，

且|PF|＝5，则△MPF的面积为（　　）

A．5B.

C．20D．10

由题意，设P，则|PF|＝|PM|＝＋1＝5，所以y0＝±

4，

所以S△MPF＝|PM|·

|y0|＝10.

8．椭圆＋＝1的离心率为e，点（1，e）是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（　　）

A．3x＋2y－4＝0B．4x＋6y－7＝0

C．3x－2y－2＝0D．4x－6y－1＝0

依题意得e＝，圆心坐标为（2,2），圆心（2,2）与点的连线的斜率为＝，所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－（x－1），即4x＋6y－7＝0，选B.

9．已知定点A（2,0），它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为（　　）

A．y2＝2（x－1）B．y2＝4（x－1）

C．y2＝x－1D．y2＝（x－1）

设P（x0，y0），M（x，y），则，所以，由于y＝x0，所以4y2＝2x－2，

即y2＝（x－1）．

10．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·

的值等于（　　）

A．0B．2

C．4D．－2

易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，

四边形PF1QF2的面积最大．

此时，F1（－，0），F2（，0），P（0,1），

∴＝（－，－1），＝（，－1），

∴·

＝－2.

11．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为（　　）

A．2B．3

C.D.

由题意知F（1,0），|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，

即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.

12．过椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若<

k<

，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A.B.

由题意：

B，∴k＝＝＝1－e，

∴<

1－e<

，∴<

e<

，故选C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）

13．已知F1（－1,0），F2（1,0）是椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的离心率e＝________.

由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，又c＝1，所以e＝＝.

14．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，

若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．

由双曲线的方程可知a＝1，c＝，

∴||PF1|－|PF2||＝2a＝2，

∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，

∵PF1⊥PF2，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝8，

∴2|PF1||PF2|＝4，

∴（|PF1|＋|PF2|）2＝8＋4＝12，

∴|PF1|＋|PF2|＝2.

2

15．过抛物线x2＝2py（p>

0）的焦点F作倾斜角为30°

的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则＝________.

由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A，B，所以|AF|＝p，

|BF|＝2p，所以＝.

16.已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A（－1,0），B（1,0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．

设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1（图略），

则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，

∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）．

＋＝1（y≠0）

三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）如果直线l过定点M（1,2）且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．

①当直线l的斜率不存在时，x＝1与对称轴平行，有一个交点；

②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－2＝k（x－1），

与y＝2x2联立，得2x2－kx＋k－2＝0，

由Δ＝k2－8（k－2）＝0得k＝4，

所以直线l的方程为y＝4x－2.

综上，直线l的方程为x＝1或y＝4x－2.

18．（12分）已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2,0）作斜率为的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|＝4，求双曲线方程．

设所求双曲线方程为－＝1（a>

0，b>

0），由右焦点为F（2,0）知c＝2，b2＝4－a2，则双曲线方程为－＝1.直线MN的方程为：

y＝（x－2），代入双曲线方程整理，得

（20－8a2）x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0.

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝.

∴|MN|＝×

＝

×

＝4.

解得：

a2＝1，∴b2＝4－1＝3.

故所求双曲线方程为：

x2－＝1.

19．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线l是抛物线的准线，求证：

以AB为直径的圆与准线l相切．

（1）设抛物线y2＝2px（p>

0），将点（2,2）代入得p＝1.

∴y2＝2x为所求抛物线的方程．

（2）证明：

设lAB的方程为：

x＝ty＋，代入y2＝2x得：

x2－（1＋2t2）x＋＝0，设AB的中点为M（x0，y0），则x0＝.

∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2，又AB＝x1＋x2＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．

20．（12分）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线

y2＝2px（p>

0）上，求这个正三角形的边长．

如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y＝2px1，y＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，整理得（x1－x2）（x1＋x2＋2p）＝0.因为x1>

0，x2>

0,2p>

0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°

，所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p.所以|AB|＝2y1＝4p.

21．（13分）已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋2＝0的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．

（1）依题意，可设椭圆方程为＋y2＝1，则右焦点为F（，0）．

由题意，知＝3，解得a2＝3.

故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）设点M，N的坐标分别为M（xM，yM），N（xN，yN），弦MN的中点为P（xP，yP）．

由

得（3k2＋1）x2＋6mkx＋3（m2－1）＝0.

∵直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点，

∴Δ＝（6mk）2－4（3k2＋1）×

3（m2－1）>

0⇒m2<

3k2＋1，①

∴xP＝＝－，

从而yP＝kxP＋m＝，

∴kAP＝＝－.

又|AM|＝|AN|，

∴AP⊥MN，

则－＝－，

即2m＝3k2＋1，②

把②代入①，得m2<

2m，解得0<

m<

2.

由②，得k2＝>

0，解得m>

.

综上可得，m的取值范围是<

22．（13分）已知椭圆E的方程为：

0），其右焦点为F2（1,0），点P在椭圆E上．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）两点M，N.

问：

直线MN是否一定经过x轴上一定点？

若是，求出定点坐标；

若不是，说明理由．

（1）∵椭圆E的右焦点为F2（1,0），∴c＝1，左焦点为F1（－1,0），∵点P在椭圆E上．

∴2a＝|PF1|＋|PF2|

＝＋＝4.

∴a＝2，b＝＝.

∴椭圆E的方程为＋＝1.

（2）由

（1）知A点坐标为（－2,0），设直线AM的方程为y＝k（x＋2），

则由⇒（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0，

解得M，

同理可得N.

若＝，则得k2＝1，即直线MN的方程为x＝－，此时过x轴上一点Q.

当k2≠1时，假设直线MN过x轴上一定点Q′（m,0），则∥，又＝，＝，

则由∥，解得m＝－.

∴直线MN过x轴上一定点Q.