生活中的排列组合Word文档格式.docx
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這就是「排列」的奧秘。
而學校生活中的社團也時常見到運用組合的方式，以籃球校隊來說，有時候只要選出少數的幾個人分成兩組，就可以打全場。
這是生活中的「組合」實例。
既然生活中到處都有「排列」與「組合」的例子。
我想利用這次資優班的專題研究，進一步去探究甚麼是「排列」？
甚麼是「組合」？
排列與組合有甚麼不同？
生活上還有哪些例子應用到排列與組合？
藉由這次的專題研究，我想深入探討排列與組合內容與規則，比較排列與組合的不同，並嘗試去尋找、設計有關排列與組合的題目，證明生活上的確有排列與組合的例子。
参.文獻探討
一.名詞定義
在介紹排列與組合的定義之前，我們先來探討幾個重要的名詞：
（1）代數m、n：
1.m
2.
n【m＜n】
※在26個英文單字中，我選擇m跟n，因為我的參考書籍上也選擇m、n，但其他網頁也有用其他的英文字，所以我認為所有的英文字母都可以用，但是其中一個數小於或等於另一個數。
（2）排列與組合的代詞：
1.排列：
Permutations，簡稱P
2.組合：
Combination，簡稱C
接下來就讓我們一起進入排列與組合的世界吧！
〈1〉排列：
從n件事情中，任選m件事物〈但不可重複〉後，排成一列，就叫做從n中取m的排列，例如：
在日常生活中，把一些事物排在一起，計算有多少種排法，就是「排列」問題。
公式由法國數學家帕斯卡﹝1623-1662﹞發現：
p（n，m）＝n（n-1）（n-2）（n-3）、、、（n-m+1）
〈2〉組合：
從n個不同物中，每次取m個不同物為一組，且同一的物件不計前後順序，就叫做n中取m的組合，例如：
在籃球比賽中，把參賽隊分為幾個組，這種分組問題就是「組合」問題，此外，它還有重複組合這種組合方式，公式由法國數學家帕斯卡﹝1623-1662﹞發現：
c（n，m）＝p（n，m）＝n（n-1）（n-2）（n-3）…（n-m+1）
p（m，m）m！
※複雜吧！
在每個（）跟（）之間，因為為了快速，而略寫了乘號。
而「m！
」代表m階層也就是m（m-1）（m-2）（m-3）……1
2.排列組合的比較
或許你已經看過我之前的排列與組合的定義介紹，但你可能還想不出排列與組合有甚麼不同，所以我就做了下列的表格，希望你能夠更了解它們的不同。
排列
組合
英文名字
Permutations
Combination
可否重複
不可重複
不計較前後順序
發現公式者
法國數學家帕斯卡
有多少種排列或組合的方式
4種，一般排列、不完全相異的排列、重複排列及環狀排列
2種，一般組合和重複組合
三.排列和組合實例
排列.
1.一兔穴有進出口4處，問由不同進出口進出的方法有幾種？
解答：
可將此問題分為進與出2個步驟來完成。
進的方法有4種，對每一種進的方法有3個出口可以出去，故由乘法原理可知，由不同一口出入的方法有4×
3=12種。
2.某商店販賣5家廠商出品的牙膏，而每一家廠商出品的牙膏都有3種大小不同的包裝，又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的2種，今某人欲在此商店選購一支牙膏，問方法有幾種？
可將此問題分為3個步驟來完成。
第一步驟是從5家廠商中選擇一家，共有5種選法。
第二步驟是從3種包裝中選擇一種，共有3種選法。
第三步驟是從有無氟化物中選擇一種，共有2種選法。
故由乘法原理可知選購一支牙膏的方法共有5×
3×
2＝30種。
3.甲、乙二人在排成一列的5個座位中選坐相連的兩個座位，共有多少種坐法？
第一步驟是從5個座位中選出相鄰的2個座位，共有4種選法。
第二步驟是選定2個座位後，由甲先選坐，甲可任選其一，故有2種選法。
第三步驟是甲坐定後，由乙選坐，因甲已坐好，乙毫無選擇，故僅有1種選法。
由乘法原理知完成此件事，總共有4×
2×
1=8種方法。
4.將ABCD排成一列，試問共有多少排法？
解答:
將四個不同的字母排成一列，共有4×
3×
2×
1＝24種排法。
5.有男生5人，女生3人要排成一列，其中女生3人要相鄰並排，請問共有多種排法？
由於女生要相鄰並排，因此可先將3位女生視為一體，再與5位男生排成一列，因此共有6！
種排法，而在每一種排法中，女生的排法又有3！
種，因此共有6！
×
3！
＝720×
6＝4320種排法。
組合.
1.若要從A，B，C，D，E五個人之中不考慮順序選出三個人作為一組，參加三對三籃球賽，將會有多少種選法?
從此5個人當中選3個人出來排列，若考慮選擇的順序，則共有5×
4×
3種情形，因題意是不考慮順序所以要再除以3×
1，就是有10種選法。
即C（5，3）＝10
2.從6個男生，5個女生當中選出一個五人的童子軍，但規定男女生至少各有2人，問有多少種選法?
我們分2種情形來討論:
選出2個女童軍，3個男童軍的方法數為:
C（5，2）×
C（6，3）＝10×
20＝200
選出3個女童軍，2個男童軍的方法數為:
C（5，3）×
C（6，2）＝10×
15＝150
所以，總共有200＋150＝350種選法。
3.6種不同的玩具分給甲乙丙三人，如果甲得1種，乙得2種，丙得3種，有幾種分法？
C（6，3）×
C（3，2）＝20×
3＝60
4.從六男五女中任選四人，其中至少二男且至少一女的選法有多少種？
三男一女C（6，3）×
C（5，1）＝20×
5＝100
二男二女C（6，2）×
C（5，2）＝15×
10＝150
所以，總共有100＋150＝250種選法。
5.一列火車有七節車廂，今有二男二女同時上火車，
（1）同性選坐同一車廂的選法有多少種？
（2）此四人剛好選坐兩節車廂且每節車廂恰坐一男一女的選法有多少種？
（1）C（7，1）×
C（7，1）＝7×
7＝49
（2）C（7，2）×
C（2，1）×
C（2，1）＝21×
2＝84
3.我來做一做
生活中有許多排列組合的實例，就讓我來一一介紹我所創作的題目吧！
記得，這是排列組合的混合喔！
1.同花色的13張撲克牌中，若把J,Q,K,A等四張表示的牌稱為大牌，試求自此13張牌中任意抽出3張，其中恰含有二張大牌的組合數?
先從4張大牌中選出2張，再從不是大牌的9張選出1張，
共有C（4，2）×
C（9，1）＝54種組合。
2.六年乙班有男生18人，女生15人，學期開始要選班長、副班長，老師說：
「班長、副班長由男女各一人搭配」請問，有幾種搭配方式？
有兩種情形
（1）班長是男生，副班長是女生。
因此C（18，1）×
C（15，1）＝18×
15＝270
（2）班長是女生，副班長是男生
因此C（15，1）×
C（18，1）＝15×
18＝270
270+270＝540（種）
3.有甲、乙、丙、丁四人去旅行，他們在旅館定了A、B兩種房間，每間住兩人，請問有幾種住法？
用組合公式：
C（4，2）＝6種方式
4.有4份點心，最少只吃一份，請問，有幾種吃法？
有四種情形
（1）吃一份點心，C（4，1）＝4
（2）吃二份點心，C（4，2）＝6
（3）吃三份點心，C（4，3）＝4
（4）吃四份點心，C（4，4）＝14＋6＋4＋1＝15種方法
排列與組合的運用
活動一
活動名稱：
機器人拼圖
活動主題：
排列與組合
活動說明：
很多人也許不曉得連拼圖也有排列與組合，因為拼圖在排同一種花色時所用的圖片並沒有一定的規則，而且可以重複，就是組合。
活動材料：
大張珍珠板1張、6公分×
6公分的厚色紙80張〈十種顏色，黑、淺黃、深藍、棕、深綠、淺綠、鮮黃、紅、紫、橘，每種顏色有8張〉。
活動方法：
1.請同學先想一個題目，我的機器人總共需要43張卡，，可以重複且不計較排在哪裡，可以有幾種排法？
只要寫出公式就有小禮物。
活動二
地板中的世界
由於我覺得我們校門口前的地板十分單調，希望藉由這個活動來腦力激盪，想像自己心目中的校門口。
並且在遊戲中找出自己排列的規律。
1公尺*2.5公尺的厚紙板5張、50公分*50公分的方形紙〈各種顏色都要有〉。
請同學先想想看總共有10格，而我有12種顏色，如果不能重複，有幾種排法？
那，可以重複呢？
答對就有小禮物，在發揮創意排出想像中的地板，排出來在說出規律就有小禮物。
陸.研究結果
對於這次的研究主題，可能因為升上六年級功課太多而一直改來改去，一下要做密碼，一下要做方程式……，正當我猶豫不決時，忽然撇見書上的一行字「排列」「組合」，我想到：
奇怪，「排列」「組合」不是同一樣事情嗎？
為甚麼要分開講呢？
一看之下，產生濃厚的興趣，這就是我研究的動機之一。
而在研究的過程中也遭遇到許多困難，像是，有時資料在蒐集時，為了搞懂，常常花了好久的時間，但卻甚麼都沒做，但幸好有老師、家長、同學的鼎力相助，才能使這個作品得以完成。
這次的研究報告，不僅使我更懂得查資料，還學會活用word，更進一步了解排列與組合，運用在生活中。
而在研究的過程中，我也發現了我的缺點，希望我能夠將他們一一改進，下一次會更好！
柒.參考資料
網頁：
www.edp.ust.hk/math/history/5/5_8/5_8_2.htm
www2.emath.pu.edu.tw/s8605171/數學應用專題/4.htm
排列組合
http:
//eprob.math.nsysu.edu.tw/PerComb.htm
排列組合應用題http:
//www.schoolnet.edu.mo/sltbase/sb11/sb11fb/sb11fb.htm
書：
與愛麗絲同遊奇妙的數學世界作者：
釣浩康譯者：
簡瑞宏出版社：
時報文化出版
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