中考复习特殊四边形综合题Word文件下载.docx

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△BCF≌△DEC；

（2）当BE=2EC时，求

的值；

（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是

，求n的值．

6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6

，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．

BE=DF；

（2）当t=　　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　　；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°

，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：

BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°

时，求点F到BC的距离．

8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．

BG=AE；

（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）

BG⊥GE；

②设DG与AB交于点M，若AG：

AE=3：

4，求

的值．

9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°

，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系　　；

（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断

（2）问中的结论是否发生变化？

若不变，结合图③写出证明过程；

若变化，请说明理由．

10．如图

（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°

将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止

（1）特殊情形：

如图

（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP　∽　△PCD（填：

“≌”或“～”

（2）类比探究：

如图（3）在旋转过程中，

的值是否为定值？

若是，请求出该定值；

若不是，请说明理由；

（3）拓展延伸：

设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；

当S=4.2时，求所对应的t的值．

11．已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°

时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．

（1）如图1，求证：

△BCE≌△DCE；

（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．

DE⊥FG；

②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

13．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°

，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°

得到△ABG．

△AGE≌△AFE；

②若BE=2，DF=3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：

线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？

并说明理由．

14．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AG=6，EG=2

，求BE的长．

15．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°

，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°

＜θ＜90°

）时，如图2，BD=CF成立吗？

若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°

时，如图3，延长BD交CF于点H．

BD⊥CF；

②当AB=2，AD=3

时，求线段DH的长．

16．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．

①△DOK≌△BOG；

②AB+AK=BG；

（2）若KD=KG，BC=4﹣

①求KD的长度；

②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN=

时，求m的值．

17．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：

EA=EC；

（2）若点P在线段AB上．

①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：

b及∠AEC的度数．

18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°

＜旋转角＜90°

）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：

△AOC′≌△BOD′．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．

①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；

②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

19．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°

，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：

如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：

菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：

如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：

如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出

20．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．

（1）问题猜想：

如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是　　，位置关系是　　；

如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想

（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；

（3）解决问题：

若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°

，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

21．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．

∠HEA=∠CGF；

（2）当AH=DG=2时，

求证：

菱形EFGH为正方形；

（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．

22．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°

，且DE=EC．

△ADE≌△BEC；

（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：

a2+b2=c2；

（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长．

23．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°

，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．

（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；

2BE=AC+CN；

（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．

24．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是　　；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，

（1）中的结论是否成立？

若成立给出证明；

若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

25．问题：

如图

（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°

，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°

至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图

（1）证明上述结论．

【类比引申】如图

（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°

，AB=AD，∠B+∠D=180°

，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　　关系时，仍有EF=BE+FD．

【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°

，∠ADC=120°

，∠BAD=150°

，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（

﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：

=1.41，

=1.73）

26．如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．

（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：

AD⊥CF．

（3）在

（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=

时，求线段CG的长．

27．如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°

，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．

（1）如图1，当点E在CB边上时，

PE=

CE；

（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．

28．已知：

l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　．

（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：

宽=2：

1，求矩形ABCD的宽．

（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°

得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．

29．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，若点M与点C重合，

DF=MN；

（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以

cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①当点F是边AB的中点时，求t的值；

②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．

30．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°

，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

　　；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°

，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．

特殊四边形综合题答案

解：

（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°

，

∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°

，∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°

∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，

则BQ=x+2，OE=

∴y=

×

•x，即y=

（x+1）2﹣

又∵0≤x≤2，

∴当x=2时，y有最大值为2；

②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ=2﹣x，OE=

•x，即y=﹣

（x﹣1）2+

∴当x=1时，y有最大值为

综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；

【分析】

（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°

及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°

、PD=PH，即可得证；

②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=

DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；

（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=

DP，再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=

DP．

（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°

，∠ADC=90°

∴∠GPH=∠FPD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠PDF=∠ADP=45°

∴△HPD为等腰直角三角形，

∴∠DHP=∠PDF=45°

在△HPG和△DPF中，

∵

∴△HPG≌△DPF（ASA），

∴PG=PF；

②结论：

DG+DF=

DP，

由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，

∴HD=

DP，HG=DF，

∴HD=HG+DG=DF+DG，

∴DG+DF=

DP；

（2）不成立，数量关系式应为：

DG﹣DF=

如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，

∵PF⊥PG，

∴∠GPF=∠HPD=90°

∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°

∴∠HDP=∠EDC=45°

，得到△HPD为等腰直角三角形，

∴∠DHP=∠EDC=45°

，且PH=PD，HD=

∴∠GHP=∠FDP=180°

﹣45°

=135°

∴△HPG≌△DPF，

∴HG=DF，

∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，

∴DG﹣DF=

（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．

（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；

（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ACB=∠ACD=45°

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被对角线AC平分，

∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

∴△ACF≌△ACE，

∴CE=CE，

∵CE=a，CF=b，

∴a=b，

∵△ACF≌△ACE，

∴∠AEF=∠AFE，

∵∠EAF=45°

∴∠AEF=∠AFE=67.5°

∵CE=CF，∠ECF=90°

，∠AEC=∠AFC=22.5°

∵∠CAF=∠CAE=22.5°

∴∠CAE=∠CEA，

∴CE=AC=4

即：

a=b=4

（2）当△AEF是直角三角形时，

①当∠AFE=90°

时，∴∠AFD+∠CFE=90°

∵∠CEF+∠CFE=90°

∴∠AFD=∠CEF

∵∠AFE=90°

，∠EAF=45°

∴∠AEF=45°

=∠EAF

∴AF=EF，

在△ADF和△FCE中

∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，

∴a=8，b=4

②当∠AEF=90°

时，

同①的方法得，CF=4，CE=8，

∴a=4，b=8．

（3）ab=32，

理由：

如图，

∵AB∥CD

∴∠BAG=∠AFC，

∵∠BAC=45°

∴∠BAG+∠CAF=45°

∴∠AFC+∠CAF=45°

∵∠AFC+∠AEC=180°

﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°

﹣90°

=45°

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°

∴△ACF∽△ECA，

∴

∴EC×

CF=AC2=2AB2=32

∴ab=32．

4．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°

（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°

，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．

（2）由

（1）的结论即可证明．

（3）由：

A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到

，推出BM=