投资收益和风险优化模型Word格式.doc

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2

4.5

6.5

103

198

52

40

表2：

数据表2

9.6

18.5

49.4

23.9

8.1

14

40.7

31.2

33.6

36.8

11.8

9

35

9.4

15

42

54

60

1.2

39

68

33.4

53.3

31

46

5.3

2.1

3.2

6

7.6

3.4

5.6

3.1

2.7

2.9

5.1

5.7

181

407

428

549

270

397

178

220

475

248

195

320

267

328

131

二基本假设

1.假设总资产为一笔相当大的资金。

2.总资产全部用于投资项目或存入银行，没有闲置资产。

3.若资产存进银行，交易费和风险损失率为零。

4.若资产存进银行，平均收益率用同期银行利率来计算。

5.总风险可以用所投资项目中最大的一个风险损失值来度量，即。

6.当第个项目投资额不超过时，交易费按购买计算，且不买无须付费；

投资额不超过时，按费率计算。

7.我们认为种资产的平均收益率，风险损失率，交易费率在一定时期内都保持不变。

8.银行的利率也在一定时期内保持不变。

三符号说明

公司要投资的总资金

总共的项目数

时表示将资金存入银行

第个项目（）

投入的资金数目（）

投入的资金数目占总资金的百分比（）

同期银行存款利率，＝5％

购买的平均收益率（）

表示将资金存入银行的风险损失率为零

购买的风险损失率（）

表示将资金存入银行要交的费率为零

购买要交的费率（）

当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（）

购买要交的总手续费（）

公司能承受的最大的总风险损失率

总收益

总平均收益率，即/

总风险，即各投资项目中最大的风险值

总风险损失率，即/

项目要盈利的最小投入资本

四问题分析

公司在一定时期内的投资决策，主要由三个因素制约：

第一，投资项目的盈利空间；

第二，投资项目的风险大小；

第三，投资项目的费用。

显然，投资的目的是为了尽可能多的盈利，这样就希望将钱投入收益率较大的项目，然而，高收益往往伴随着高风险，如果为了多盈利而投资收益大的项目，往往带来了较大的风险，这就需要综合评价各个项目的收益与风险，从中恰当的进行取舍找到最优结合点。

以上投资问题的目标是使风险尽可能的小而收益尽可能的大，即达到最优化，同时目标的实现又受具体项目风险,费用和获利的制约，所以这是一个关于优化的规划问题，

属于一个多目标决策。

目标函数有两个：

一、总收益尽可能的大；

二、总风险损失尽可能的小。

如果直接给出一个评价函数，对目标进行求解，则由于多目标决策求解的复杂性和不定性，求解的过程将显得非常繁琐而且得到的结果并不具有普适性（因为对于不同的人或情况，对风险和收益的侧重不同）。

所以我们可以通过对其中的一个目标进行限制，作为另一个目标的约束条件，再对其进行求解。

这样就将多目标决策转化为基本的单目标决策。

由于总风险的大小是取各项风险的最大值，而不是简单的线性关系，所以为了简化运算，具体的，我们对总风险损失率进行限制（即得到公司能承受的最大总风险损失率），作为总平均收益率求解最优的约束条件，再对其进行求解。

这样我们对于每一个公司能承受的最大总风险损失率，总有一个总平均收益率的最优值与之相对应。

这样便得出了总收益最优和公司能承受的最大风险之间的函数关系。

根据关系函数，能得到一个非劣解的可行域。

然后可根据各种实际情况选择一个适当的评价函数，在可行域中便可找到最优的投资方案。

这样可使模型具有普适性，而且模型求解的过程也变得简单而清晰。

五模型的建立与求解

（1）模型的建立

模型一多目标规划模型

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算，且不买无须付费。

所以购买要交的总手续费为：

，

由于要使风险尽可能的小，且收益尽可能的大，所以得到以下多目标规划模型：

s.t.，

但是由于是一个分段函数，所以不易求解。

考虑到是一个相当大的值，若对项目进行投资，则投资到的资金也会很大（）。

基于以上分析，我们对模型作如下的简化：

1）先暂时把当作线性函数：

2）将作归一化处理：

令,,

得到的多目标规划模型如下：

s.t.，

为了求解此多目标规划模型，我们将其转化为模型二：

带参量c的线性规划模型。

模型二带参量c的线性规划模型

由于的平均收益率小于其他项目的平均收益率，只要将投入的比率减小，将其他项目的投入比率加大（＝0的不变），收益便一定会增大。

但此时风险也相应的增大了。

所以当要想获得更大的收益，必须要承担更大的风险。

我们假定公司能承受的最大总体风险损失率为，即：

可以写成：

，，，。

在此约束条件下，上面的多目标规划模型可以转化成带参量的线性规划模型，如下：

s.t.，，

，，

，

若给定c的值，这个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值。

所以若c作为变量，便是一个关于c的函数，c>

0。

由以上分析可知，如果我们求得了函数，就能够知道：

当公司能承担的最大总风险损失率时，公司能得到的最大投资收益值，及其应投入各个项目的资金率。

从而，多目标规划模型的非劣解解空间也就求解出来了。

下面我们就来求函数。

（2）模型的求解

第一组数据的求解：

为了搞清楚风险与收益之间关系函数，我们用计算机来计算对于一组给定的总风险损失率上限c，代入到上面的线性规划（模型二）中去，进而得到一组总平均收益率的最大值，然后比较这些值，从中选择一个较符合实际的解作为最优解。

首先，必须确定总风险损失率（）的可能范围。

显然最大的就是将所有的钱都投入到风险损失率最大的项目中去，而最小的风险就是将所有的钱都存入银行中去，这时没有风险，即风险为0。

所以对于第一个例子，的可能范围是[0,5.5%]。

为了准确反映风险与收益的关系，在0到0.055之间取100个分度，来代入到上面的线性规划（模型二）中去，分别求解相应的最大总平均收益率，以及最大收益时资金的分配情况。

运用MATLAB进行求解我们得到101组值，将部分列表（如表3）。

c表示总风险损失率的上限。

表3：

总风险损失率上限c与最大总平均收益率的关系表（＝4）

序号

c（%）

（%）

0.0000

100.00

0.00

5.0000

0.0550

91.02

2.20

3.67

1.00

2.12

6.4179

0.1100

82.04

4.40

7.33

2.00

4.32

7.8358

3

0.1650

73.05

6.60

11.00

3.00

6.35

9.2537

4

0.2200

64.07

8.80

14.67

4.00

8.46

10.6716

5

0.2750

55.09

18.33

5.00

10.58

12.0896

…

10

0.5500

10.18

22.00

36.67

10.00

21.15

19.1791

11

0.6050

1.20

24.20

40.33

23.07

20.5970

12

0.6600

26.40

44.00

10.09

19.51

20.9640

13

0.7150

28.60

47.67

12.58

11.15

21.1693

0.7700

30.80

51.33

11.08

6.79

21.3747

0.8250

33.00

55.00

7.43

4.57

21.5800

44

2.4200

96.80

3.20

26.7440

45

2.4750

99.00

26.9200

2.5300

27.0000

47

2.5850

99

5.4450

100

5.5000

从表中我们可以看到随着c的增加，也相应的增加，这说明风险越大，收益也越大。

而随着收益的增加，投资由银行逐渐向项目集中。

事实上当=2.53%时，就达到了最大值，这说明实际投资的风险最大为2.53%，如果企业对风险的要求很低，完全可以接受2.53%的风险损失率，那么可将所有资金都投入第一个项目。

然而实际上对于一个企业来说，风险与收益是必须统筹兼顾的，那么既然是高风险高回报，能不能找到一个比较好的结合点，使投资风险比高一些呢？

经过作图观察，与c并不是线性关系，这里将风险与收益的关系图通过上面列出的101个点画出，得到如下曲线：

图1投资风险上限c与投资收益关系图（＝4）

很显然，图中的曲线是由三段线段组成的折线，有两个转折点，分别为A（0.61,20.59）、B（2.5,27）。

根据此图，我们可以看出：

（1）在OA段，随着公司能接受的风险上限的增加，公司的最大收益增长很快。

在A点处＝20.7％。

（2）在AB段，随着公司能接受的风险上限的增加，公司的最大收益的增长速度相对较慢。

在B点处达到最大值27％。

（3）在BC段，随着公司能接受的风险上限的增加，不再增加。

也就是说，OA段、AB段上的所有点（不只是画出的点）都是符合公司选择要求的，即风险尽可能小、收益尽可能大，反映在模型中，即解向量满足以下两个方程：

其中（,）是在OA、AB线段上的所有点。

这样，我们便解出了多目标规划模型（模型一）的非劣解解空间。

虽然OA、AB线段上的所有点都符合要求，但在此我们特别地给出一种投资方案。

“通用性较强”的投资分配方案

“通用性较强”的投资分配方案是指：

对于不很保守、又不很贪心的决策者都能接受的方案。

从图上明显可以看出A点是“通用性较强”的方案。

因为OA段总平均收益率随着可接受风险损失率增长速度很快，之后AB段增长速度明显放缓。

“通用性较强”的分配方案（A点）如下：

1.19

24.2

23.27

此时，总风险损失率上限＝0.61％,总平均收益率g＝20.59％。

第二组数据的求解

同样地，我们用同上面类似的方法借助于计算机对于一组给定的总风险损失率代入上述的线性规划里去，对总平均收益进行最大值求解得到。

然后比较这些值，从中选择一个较符合实际的解作为最优解。

根据题目中的16个项目（包括存入银行）的不同的风险损失率，和问题1类似很容易得到总风险损失率（）的取值范围。

即[0,68%]。

为了准确反映风险和收益之间的函数关系，表示公司可接受的风险的上限，我们让它在[0,68%]之间取100个分度，代入上述线性规划模型，用MATLAB分别求解相应的最大总平均收益率，以及最大收益时资金的分配情况。

同样将得到101组值，部分列表（如表4）：

表4：

总风险损失率上限c与最大总平均收益率的关系表（＝15）

c（%）

（）

0.0000

1.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000

0.6800

0.36940.01260.01130.01620.17850.01740.01000.02040.01280.01700.02190.12360.01480.12830.02960.0162

5.4009

1.3600

0.01740.03240.02520.02270.03240.07840.03490.02000.04070.02550.03400.04390.24730.02960.25660.0591

10.3019

2.0400

0.00000.04860.03780.03400.04860.00000.05230.03000.06110.03830.05100.06580.01470.04430.38490.0887

14.2053

2.7200

0.00000.06480.05040.04530.06480.00000.06970.04000.08140.05100.06800.08770.00000.05910.19940.1183

17.3384

3.4000

0.00000.08100.06300.05670.08100.00000.08720.05000.10180.06380.08500.10900.00000.07390.00000.1478

20.4467

6.8000

0.00000.00000.00000.11330.13770.00000.00000.10000.20360.12760.17000.00000.00000.14780.00000.0000

31.7134

7.4800

0.00000.00000.00000.12470.05140.00000.00000.11000.22400.14030.18700.00000.00000.16260.00000.0000

32.6447

8.1600

0.00000.00000.00000.13600.00000.00000.00000.12000.20950.15310.20400.00000.00000.17740.00000.0000

33.3777

8.8400

0.00000.00000.00000.14730.00000.00000.00000.13000.14360.16590.22100.00000.00000.19220.00000.0000

33.8175

9.5200

0.00000.00000.00000.15870.00000.00000.00000.14000.07780.17860.23800.00000.00000.20700.00000.0000

34.2573

10.2000

0.00000.00000.00000.17000.00000.00000.00000.15000.01190.19140.25500.00000.00000.22170.00000.0000

34.6971

29.9200

0.00000.00000.00000.49870.00000.00000.00000.44000.00000.00000.06130.00000.00000.00000.00000.0000

39.1653

30.6000

0.00000.00000.00000.51000.00000.00000.00000.45000.00000.00000.04000.00000.00000.00000.00000.0000

39.2850

31.2800

0.00000.00000.00000.52130.00000.00000.00000.46000.00000.00000.01870.00000.00000.00000.00000.0000

39.4047

31.9600

0.00000.00000.00000.53270.00000.00000.00000.46730.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000

39.5211

67.3200

0.00000.00000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000

43.4000

68.0000

根据表2中列出的c和的101组对应值可画出关于c的函数图像。

如图2所示：

图2投资风险上限c与投资收益关系图（＝15）

图2和图1对比分析可看出，收益率的最优值仍旧随着允许风险损失率的增加而增加，仍旧不是线性函数，但是增加的趋势有所不同。

图1中的曲线基本上由三条折线段组成，随的变化率变化比较明显。

而图2中的曲线随的变化率变化的相对平坦。

只有在点（68，43.4）处随的变化的斜率突然减小。

和图1一样，由图2可得到投资问题的非劣解空间，即所有满足以下方程的解向量：

其中，（,）是图2中点O（0,5）到点C（68,43.4）之间的所有的点（不只是画出的点）。

具体分析因为在C点以后，随着允许风险损失率上限的进一步提高，最大收益已经不再提高而保持不变。

所以在C点以后的点均为劣解，而从点O（0,5）到点C（68,43.4）之间均在不同程度上满足不同情况的公司。

对比较注重风险的公司可把投资点选在O点的附近，因为O点附近的允许风险损失率上限比较低；

而偏重收益的公司可以把投资点选在C点附近，因为C点附近的收益率较高。

但是，任何一种选择必然不能即获得风险的最低值，又获得收益率的最高值。

而这一点也恰恰符合了实际情况：

高收益必然伴随着高风险。

“通用性较强”的投资分配方案：

同样地，作为一个实际的企业，必然要求风险与收益统筹兼顾，不能极端地偏向任何一端，所以我们用类似与求解第一组数据的方法来求解上述数据。

在第一组数据的风险投资图中，可以明显的看出随增长率的转折点，而在上述这组数据图中随增长率没有明显的变化。

所以并不能够完全的照搬上面的做法来作出决策。

由此，我们定义：

;

其中和分别表示和的效用函数，我们利用这两个效用函数作出风险损失率上限率和最佳收益率的效用函数曲线（如下图所示）在O点和C点之间（因为在C点以后不再随着增加而增加）。

由上式可以看出和分别是把两个目标函数从最低值到最高值之间看为单位1，而和是在区间[0,1]之间取值（即通过归一化而得出的结果）。

这样函数上的点就有了实际的意义，其横纵坐标分别表示决策所占整个目标值的权重。

我们由上述归一化的结果而得到的效用函数曲线，观察可得到在靠近O点的附近点增长的比增长的要快，在C点的附近增长的比增长的要慢。

从投资的实际情况来解释就是在O点附近承受的风险上限增加一点，就可以换得较高的收益增长，而在C点附近承受的风险上限增加许多，确只能换来较低的收益增长。

作为一个风