万有引力定律在天文学上的应用Word文件下载.docx
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2．了解万有引力定律在天文学上的应用．
学习目标完成过程
一、导入新课
上节课我们共同学习了万有引力常量的测定．现在请同学们回忆下面几个问题：
1．卡文迪许用什么装置来测定万有引力常量？
其实验原理是什么？
2．为什么扭秤装置能测定相互作用很小的万有引力，其巧妙之处何在？
回忆上节所学，找出问题答案．
1．卡文迪许用扭秤装置来测定引力常量．其实验原理是力矩平衡．
2．扭秤装置所以能测定很小的万有引力，其根本原因是通过小平面镜及T型架的横杆对万有引力的作用效果进行了放大．
万有引力常量的测出，使万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用．这节课我们就共同来学习万有引力定律在天文学上的应用．
二、新课教学
（一）天体质量的计算
A．基础知识
请同学们阅读课文第一部分--天体质量的计算．同时考虑下列问题．
1．万有引力定律在天文学上有何用处？
2．应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？
3．求解天体质量的方程依据是什么？
学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案．
1．当测定出万有引力常量后，我们便可应用万有引力定律计算天体的质量．使以前看似不可能的事变为现实．
2．应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：
根据环绕天体的运动情况，求出其向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解．
3．从前面的学习知道，天体之间存在着相互作用的万有引力，而行星（或卫星）都在绕恒星（或行星）做近似圆周的运动，而物体做圆周运动时合力充当向心力，故对于天体所做的圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力，这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在．
B．深入探究
请同学们结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识，加以讨论、综合．然后思考下列问题．
1．天体实际做何运动？
而我们通常可认为做什么运动？
2．描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
3．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？
4．应用天体运动的动力学方程--万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式？
各是什么？
各有什么特点？
5．应用此方法能否求出环绕天体的质量？
分组讨论，得出答案．
1．天体实际运动是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．
2．在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v，角速度ω，周期T三个物理量．
3．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法．即：
a．a心＝
b．a心＝ω2·
r
c．a心＝4π2r/T2
4．应用天体运动的动力学方程--万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程，即
a．F引＝G
＝F心＝ma心＝m
．
即：
G
①
b．F引＝G
＝F心＝ma心＝mω2r
＝mω2·
r②
c．F引＝G
＝m
③
从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：
a．M＝v2r/G．
b．M＝ω2r3/G．
c．M＝4π2r3/GT2．
上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度ω，周期T时求解中心天体质量的方法．
以上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示万有引力常量．
5．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．
C．教师总结
从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量，而不能求解环绕天体的质量．而在求解中心天体质量的三种表达式中，最常用的是已知周期求质量的方程．因为环绕天体运动的周期比较容易测量．
从前面的学习我们知道，当物体静止在地面上时，万有引力同时产生两个作用效果，一是物体的重力，一是物体随地自转的向心力，而随地自转的向心力非常小，故有：
F引
mg
而当物体绕地球运转时，不再有随地自转的向心力．此时有：
F引＝mg
综上所述，我们可知，
这也是这一章中，除动力学方程外的又一重要方程．
既然万有引力可以充当向心力，且它又等于物体的重力，所以我们便可得到另一个重要的方程：
mg＝F心
综合以上，在这一章中我们所用的方程总共有三个，即：
F引＝F心
D．基础知识应用
1．求解中心天体质量时，列方程的依据是________．
2．把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道，平均半径为1.5×
108km，已知引力常量为：
G＝6.67×
10-11N·
m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？
（结果取一位有效数字）
参考答案：
1．万有引力充当向心力
2．2×
1030kg
分析：
题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：
地球绕太阳一周为365天．
故：
T＝365×
24×
3600s＝3.15×
107s
由万有引力充当向心力可得：
G
M＝
＝
kg
＝2×
（二）发现未知天体
请同学们阅读课文第二部分--发现未知天体，考虑以下问题：
1．应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上起什么作用？
2．应用万有引力定律发现了哪些行星？
阅读课文，从课文中找出相应的答案：
1．应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体．
2．海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的．
人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的？
人们在长期的观察中发现天王星的实际运转轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在未知行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另一颗行星的轨道，进而在计算的位置上观察到新的行星．
万有引力定律的发现，为天文学的发展起到了积极的作用，用它可以来计算天体的质量，同时还可以来发现未知天体．
1．太阳系的第八颗行星--海王星是________国的________于________（时间）发现的．
2．太阳系的第九颗行星--冥王星是________（时间），应用万有引力定律发现的．
1．德；
加勒；
1846年9月23日
2．1930年3月14日
三、知识反馈
1．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系．下列判断正确的是（ ）
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v2与R成正比，则环是小卫星群
C．若v与R成反比，则环是连续物
D．若v2与R成反比，则环是小卫星群
2．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为________．
3．某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？
4．一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T．求该行星的质量和平均密度．
1．AD 2．3g/4πGR
3．星球表面的重力加速度g＝
人造星体靠近该星球运转时：
mg＝G
（M：
星球质量，m：
人造星体质量）
所以v′＝
4．设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M．宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动．
＝m（
）2R
所以M＝
又v＝
πR3
所以
ρ＝
四、小结
学习本节的解题思路如下：
F引＝mg．
mg＝F心
五、作业
1．阅读本节内容．
2．课本P110
（1）
3．思考题：
已知地球的半径为R，质量为M地，月球球心到地球球心的距离r月地＝60R＝3.8×
108m，月球绕地球运行周期T＝27.3天，地球对物体的重力加速度g0＝9.8m/s2，试证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力．
月球绕地球做半径为r月地的匀速圆周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地球对物体的引力是同性质的力，则由牛顿运动定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月为：
地球上物体的重力加速度g为
由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知：
a月′＝ω2r月地＝（
）2·
r月地
＝（
）2×
3.8×
108m/s2＝2.69644×
10-3m/s2
已知地球表面的重力加速度g0＝9.8m/s2
由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比，跟由同性质的万有引力对它们提供的向心力所获得的向心加速度之比近似相等．所以，地球对月球的引力跟地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力．
六、板书设计
七、本节优化训练设计
1．（1997年全国）某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运行的周期是T，已知引力常量为G，这个行星的质量是________．
2．（2001年春季）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
3．行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明ρT2为一个常数．
4．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球，它的半径R应多大？
5．质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物体所处的高度．（已知地球的平均半径为R）
1．分析：
本题考查应用万有引力定律计算天体质量，行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力．
解：
由于 G
r，得M＝
2．分析：
此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其他天体对其不产生影响．
两星球周期相同，有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如右图所示．
设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，两星到圆心的距离分别为L1和L2，由于万有引力提供向心力．
故有 G
①
②
由几何关系知：
L1＋L2＝R③
联立解得 M1＋M2＝
3．分析：
将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供．
设半径为R，则密度ρ与质量M、体积V的关系为
M＝ρV＝ρ
对卫星，万有引力提供向心力
整理得ρT2＝
为一常量．
4．分析：
题设条件指出，物体在赤道上恰好完全失重，这是由于该星球自转所造成的．在赤道上平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球
′
自转所需向心力．随物体向星球极地移动，其视重将增大．在极地位置，物体所需向心力为零．
设行星的半径为R，在赤道上质量为m的物体随星体自转，物体受力如上图所示，根据牛顿第二运动定律得mg′-FN＝mω2R
依题FN＝0，所以g′＝ω2R．
在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍，可知g′＝0.01g
自转周期与地球相同，即T′＝T＝8.64×
104s，
可知该星球半径为
5．分析：
本题考查地球表面物体所受重力的大小与万有引力之间的关系．物体所受的重力可近似看成等于地球对它的万有引力．
在地面附近有G1＝G
，
在离地h高度处有 G2＝G，
由题意知＝2，
解得：
h＝（-1）R．
●备课资料
一、天体密度的计算
要想计算天体的密度，设天体半径已知，即可得到天体的体积，再求得天体的质量、天体的密度就可求得．
求天体质量时，首先应以此天体作为中心天体，具体求解时可有两条思路：
a．F引＝F向，b．F引mg．
a．F引＝F向，即Gr，得：
M＝（其中：
M为中心天体质量，m为环绕天体质量，T为环绕天体的绕行周期，r为环绕天体的轨道半径）
设中心天体的半径为R，则其体积为V＝πR3．
所以ρ＝
如果环绕体在中心体表面运行，则r＝R，
b．F引mg，即G＝mg，得M＝（其中：
g为中心体表面或附近的重力加速度）
设中心体半径为R，则体积V＝πR3
二、科学家发现太阳系第十大行星
英国天文学家约翰·
默里博士可能发现了太阳系第十大行星．
这颗奇异的行星极为遥远，与目前已知太阳系最远的行星冥王星相比，它的公转轨道大约比冥王星远1000倍．这颗行星与太阳的距离是地球到达太阳距离的3万倍．默里博士的这个发现源自彗星理论，每一颗彗星都是受外力驱动才进入太阳系的，以致被我们观察到．默里博士研究了13颗彗星的运行轨道后，他认为存在着一个巨大物体的作用，将那些彗星送入了现在的运行轨道．
这颗行星可能是在别处诞生的一颗新星，在银河系漫游时被太阳系的行星系统捕捉到了．这颗肉眼观测不到的行星体积是已知太阳系最大行星木星的几倍以上．
这颗行星环绕太阳运行一周需要600万年的时间．这一速度可以解释人们以前为什么没有发现它的原因：
它的移动速度极为缓慢．
三、对天体运动问题的分析
（一）万有引力定律与天体圆运动问题的分析方法
1．万有引力定律
若两个质量分别为m和M的质点相距r，则其间相互作用的万有引力的大小为F＝GmM/r2①．应该明确的是：
（1）①式中的G被称为引力常量，其值为G＝6.67×
m2/kg2．
（2）①式适用于两个质点间万有引力大小的计算，而对于两个质量分布均匀的球体间的万有引力大小的计算，也可用①式，只是式中的r应理解为两球心间的距离．
2．天体圆运动问题的分析方法
对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体（M）做圆运动的天体（m）来说，其圆运动问题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点来进行，即GmM/r2＝man．式中的向心加速度an＝v2/r＝rω2＝4π2r/T2．至于an应取何种表达形式，应依具体问题来确定．
已知月球绕地球转动周期为T，轨道近似为圆，月、地间距离为r．则地球的质量M为多大？
分析与解 对于这种典型的“天体圆运动问题”的分析，我们把握住“引力充当向心力”的分析要点，同时考虑到题设条件中给出了周期T，因此可以用T来表示向心加速度．于是有GmM/r2＝4π2rm/T2．可解得地球质量为M＝4π2r3/GT2．
（二）开普勒行星运动定律与天体椭圆运动问题的分析方法
1．开普勒行星运动定律
第一定律：
行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上．
第二定律：
行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．即vrsinθ＝常量①．式中v为行星的运动速度，r为从太阳引向行星的矢径，θ则为速度与矢径之间的夹角．
第三定律：
行星绕太阳做椭圆运动的公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．即T2/R3＝4π2/GM②．式中G为引力常量，M则为太阳的质量．
2．天体椭圆运动问题的分析方法
若把适用于行星绕太阳做椭圆运动的开普勒定律推广到一般的绕中心天体（M）做椭圆运动的天体（m）上，开普勒定律的形式不变．只是此时①式中的“常量”成了一个与新的中心天体相关的常量；
②式中的M也成了新的中心天体的质量而不再是太阳的质量了．于是，对于一般的天体的椭圆运动问题的分析，则可以依靠推广了的开普勒定律．当然，在一些较为特殊的天体椭圆运动问题中，有时也可以利用“位置的特殊性”和“轨道的对称性”而借助于万有引力定律来分析．
如图所示，卫星绕质量为M的地球做椭圆运动，在近地点和远地点处与地心分别相距a和b，则卫星在通过近地点和远地点时其运动速度大小之比为v1∶v2＝________．卫星从近地点运动到远地点所经历的最短时间为t＝________．
解析：
对于这种一般的天体椭圆运动问题，通常是利用开普勒定律来分析求解的．由开普勒第二和第三定律分别有：
v1a＝v2b＝k（常量）．T2/（）3＝4π2/GM．由此便可分别解得：
卫星在近地点和远地点处运动速度大小之比为v1∶v2＝b∶a ①；
卫星从近地点到达远地点所经历的最短时间为t＝T＝②．
当然，此例中①式给出的结论亦可由万有引力定律求得．由万有引力定律可得，卫星在近地点和远地点处分别有
式中的R为椭圆轨道在近地点和远地点这两个对称的特殊位置处的曲率半径．由上式便可求得v1与v2之比如①式所给出．
四、万有引力定律应用时应分清的几个概念
1．天体半径和卫星轨道半径
在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小．卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径．一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径．当卫星贴近天体表面运行时，可近似认为轨道半径等于天体半径．
一宇宙飞船到某星球上探测，宇航员想知道该星球的密度，而身边只有一块手表，他该怎么办呢？
当宇宙飞船绕着星球运行时，可将其视为该星球的一颗卫星，根据关系式GMm/r2＝mr4π2/T2（这里r是宇宙飞船的轨道半径），而ρ＝（R为星球半径）．因此要想求得星球的密度必须使飞船的轨道半径r＝R，才能得出ρ＝3π/GT2．所以宇航员只要让飞船贴近该天体的表面绕行一周，用手表测出周期，即可求得星球的密度．
2．自转周期和公转周期
自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间．一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天．在应用中要注意区别．
已知太阳光射到地球需时t＝500s，地球同步卫星的高度h＝3.6×
104km．试估算太阳和地球的质量．
设太阳质量为M1，地球质量为M2，地球同步卫星质量为m．由地球绕太阳做圆周运动知：
GM1M2/r2＝M2r4π2/T2，求得M1＝①．①式中r＝vt，v为光速．
再根据地球同步卫星绕地球做圆周运动得：
＝m（R地＋h），得M2＝．②
①②代入数据可求得M1、M2＝．注意T、T′分别是地球的公转周期和自转周期．
当然，也有的天体自转周期和公转周期相同，如月球的自转周期等于它绕地球的公转周期，故月球总是以同一面朝向地球．
3．同步卫星和一般卫星
地球同步卫星和其他地球卫星虽然都绕地球运行，但它们之间却有着明显的区别．
地球同步卫星是相对于地球静止，和地球自转具有相同周期的卫星，它的周期T＝24h．由于卫星受到的地球引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道平面平行的其他平面，它一定位于赤道的正上方．如我国发射的电视转播卫星，不是定点在北京上空或其他什么地点的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亚上空．根据牛顿第二定律GMm/r2＝mω02r，得r＝．可见同步卫星离地心的距离是一定的，代入数据得r＝4.24×
104km，且线速度v＝rω0＝3.08×
103m/s也是一定的，其绕行方向与地球自转同向．
而一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度最大值为v＝7.9km/s，最小周期大约85min，轨道也可以是任意的，轨道平面一定通过地球球心．
同步卫星离地距离r，运行速率v1，加速度a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则（ ）
A．a1/a2＝r/RB．a1/a2＝R2/r2
C．v1/v2＝R2/r2D．v1/v2＝
同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据a＝rω2知a1/a2＝r/R．第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行的速度，同步卫星也属于一种卫星，故速率v＝，所以v1/v2＝，本题应选AD．
4．赤道上的物体和近地卫星
放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用，一个是地球对它的万有引力，另一个是地面对物体的支持力．这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即G-N＝mR0ω2，这里N＝mg．
物体的向心加速度a＝R0ω20.034m/s2，远小于地面上物体的重力加速度g＝9.8m/s2，故在近似计算中可忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力大小相等．
绕天体运行的卫星，只受一个力即万有引力，卫星上物体处于完全失重状态，故F＝mg′＝ma．卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g′，对近地卫星来讲g′＝g＝9.8m/s2．
地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在
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