北师版 七年级数学上册 13 截一个几何体 教材解读Word文档格式.docx

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1.重点：

截面的定义和形状．

2.难点：

利用截面解决实际问题．

知识全解

知识点1截面

（1）截面的概念：

用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．

（2）正方体的截面：

根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.

知识警示：

（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.

（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．

知识拓展

正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.

【试练例题1】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）

思路导引：

首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；

又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：

B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．

知识方法：

截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．

知识点2几种常见几何体的截面

（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．

（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．　　　　　　

（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.

知识警示：

（1）用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形.

（2）用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆.

【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（）

几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．

答案C用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；

圆柱体的轴截面是矩形；

过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；

过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．

方法：

平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．

易错易混辨析

易错点1：

在切截的过程中，不注意切截方向，导致截面形状判断错误

【易错典例1】如图1-3-7，用一个垂直于长方体底面的平面去截长方体，截面应为（）

解：

因为垂直于长方体底面的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．故选B．

易错总结：

判断被截物体截面的形状，要特别注意切截的方向，不同的切截方向所产生的截面的形状有可能是不同的．

易错点2：

立体观念不强，用平面截一个几何体时，分类讨论不全面

【易错典例2】用一个平面去截一个正方体，截得的多边形从边数来看，可能有哪些结果？

请画出这些结果．

如图1-3-8（注意：

看不见的线要画成虚线）．

（1）用一个平面去截一个正方体，所得的多边形有多种情况，需分类讨论，且不可遗漏.

（2）当平面截过同一顶点的三个面时，截得三角形，且这样的三角形肯定是锐角三角形.平面截正方体所得的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，但不可能是没有一对对边平行的四边形.平面截正方体所得的多边形至多为六边形，且每条边正好是平面与正方体的六个面相交所得.

基础经典全析

题型1截正方体问题

【题型典例1】如图1-3-9，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（）

A.①与②B.③与④C.①与③④D.①与②，③与④

据图形可知①②都是截面与正方体的面平行，而③④的截面都是长为正方体的一个面的对角线的长，宽为正方体的棱长的长方形．

答案：

由图形可知截面相同的是①与②，③与④．故选D．

正方体截面的形状与截面的角度和方向有关，要认真观察和思考，这里最好是动手切截．

题型2截圆柱问题

【题型典例2】如图1-3-10，圆柱体被一个平面所截，其截面的形状不可能的是（）

根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．

当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；

当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；

当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；

所以截面的形状不可能是A．故选A．

可从截面与轴截面的不同位置关系得到截面的不同形状．

题型3截圆锥问题

【题型典例3】如图1-3-11，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（）

经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形．

经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形，故选B．

判断几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．

题型4由截面判断几何体的形状

【题型典例4】用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图1-3-12所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是.

根据当截面的角度和方向不同时，截面不相同可判断几何体的形状．

圆柱．平面倾斜竖截圆柱侧面和底面截圆柱截得到图①；

平面倾斜圆柱底面截圆柱截得到椭圆；

平面竖截圆柱得到长方形；

平面平行圆柱底面截圆柱可以得到一个圆．故该几何体可能是圆柱．

由截面①②④可以推断几何体不是多面体，可能是圆柱、圆锥或圆台，由截面③可以推断该几何体可能是圆柱．

综合创新探究

题型5判断截后剩余图形的顶点数、棱数、面数

【题型典例5】如图1-3-13，一正方体截去一角后，剩下的几何体有____个面，____条棱（）

A．6，14B.7，14C.7，15D.6，15

由图可知：

截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即可求得．

截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即剩下的几何体由7个面，15条棱，故选C．

本题结合截面来判断多面体的顶点数、棱数、面数，这里一般可利用欧拉公式．

题型６复杂的正方体的切截问题

【题型典例６】如图1-3-14，是正方体被分割后的一部分，它的另一部分是（）

解答此类问题要从正方体分割后的一部分入手来观察分析，我们会发现截口呈“F”形，因此只要在四个选项中寻找相应的“F”即可．

B

解决正方体的切截问题，应利用认知的角度来感知三维世界的“空间”，最好是动手制作切截模型来验证.

题型7截面知识在生产、生活中的应用

【题型典例7】

④

②

①

某车间要切割一些外形是长方体的物体，但该种物体的内部构造不详．于是工人师傅决定用一组水平的平面切截这个物体，得到了一组（自下而上）的截面，截面形状如图所示1-3-15，这个长方体的内部构造可能是什么？

通过观察可以发现：

在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆和点．

这个长方体的内部构造为：

长方体中间有一圆锥状空洞．

由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．

7和-1

．

备战中考

用一个平面去截一个几何体后判断截面的形状是本节的考点，但中考中考查的量不大，主要目的是考查同学们的空间想象能力，题型一般以填空题、选择题为主，分值为3~6分，难度较小.

考法1几何体的切截问题

中考典例1用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（）

A.圆柱B.圆锥C.三棱柱D.正方形

（2010．宁夏中考．第4题．3分）

看所给选项的截面能否得到三角形即可．

A选项中圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；

B选项中圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；

C选项中三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；

D选项中正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意.故选A．

点拨：

本题考查常见几何体的截面的形状，注意正方体的截面经过几个面就可得到几边形．

变式练习1用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（）

A．球B.圆锥C.圆柱D.正方体

根据圆锥、圆柱、球、正方体的形状特点判断即可．

答案:

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．故选D．

（2008．广东茂名中考．第4题．3分）

新题精炼

基础巩固

1．如图1-3-16是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为图中的（）

2．用一平面截下面的几何体，无法得到长方形截面的是（）

A.正方体B.长方体C.圆锥D.圆柱

３．一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是（　　）

A.四棱柱B.三棱柱C.五棱柱D.以上都有可能

４．如图1-3-17所示，用一个平面沿与棱平行的方向去截一个棱柱，则截面的形状应为（）

A．梯形B.正方形C.平行四边形D.长方形

5．如图1-3-18所示，用平面去截下列几何体，能截得长方形、三角形、等腰梯形三种形状的截面，这个几何体是（）

6.用一个平面截一个正方体，截面最多是____________边形．

7.下列图形：

①等腰三角形；

②矩形；

③正五边形；

④正六边形中，只有三个是可以通过切正方体（如图1-3-19）面得到的切口平面图形，这三个图形的序号是_________．（请填序号）

知识点1

题型1

知识点2

题型4

题型5

题型6

8.如图1-3-20，下列正方体被一刀切入一部分，写出剩下部分几何体的名称．

能力提升

9.如图1-3-21，一刀将藕切断，所得的截面开头像（）

10.把一个正方形的一个角切去，得到的图形可能是①一个三角形②一个四边形③一个五边形④一个六边形．其中正确的是（）

A．①②B.③④C.②③D.①②③

11.如图1-3-22，一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，为探明其内部结构，给其“做CT”，用一组水平的平面去截这个物体，从上至下的五个截面依次如图所示，则这个物体可能是下列选项中的哪一个？

（）

A

C

D

题型1、2

题型2

题型7

12.如图1-3-23，，将正方体沿面AB′C剪下，则截下的几何体为．

13.如图1-3-24，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为．

14.如图1-3-25，有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造面看不到，当分别用一组平面沿水平方向（自上而下）和竖直方向（自左而右）截这个物体时，得到了如图所示的

（1）

（2）两组形状不同的截面，请你试着说出这个物体的内部构造．

15.如图1-3-26

（1）的正方体，它的平面展开图为图1-3-26

（2），四边形APQC是切正方体的一个截面.问截面的四条线段AC、CQ、QP、PA分别在展开图的什么位置上？

题型6、7

新题精炼参考答案

基础巩固：

1.D思路导引：

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．故选D．

本题考查正方体的截面．正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形或其他的弧形．

2．C思路导引：

根据正方体、长方体、圆锥、圆柱的特点判断即可．圆锥的截面可以是椭圆，圆（截面与底面平行），三角形（截面经过圆锥的顶点）但是无法得到长方形的截面．故选C．

3．D思路导引：

三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能，关键是看切的位置．三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能．故选D．

4．D思路导引：

由图中棱柱的形状和截面的角度可知，两组对边平行，可先确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．竖截棱柱，截面垂直于两底，那么截面就应该是个矩形．故选D．

5．D思路导引：

圆台的截面不能得到长方形；

圆锥的截面不能得到长方形；

圆柱的截面不能得到等腰梯形；

当截面经过正方体的3个面时，得到三角形，当截面与正方体的一个面平行时得到长方形，当截面经过正方体的一个正方形的对角的顶点，经过4个面，又与对面斜交时，可得到等腰梯形，故选D．

6．六思路导引：

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此最多可以截出六边形．∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，∴最多可以截出六边形．

7.①②③思路导引：

根据正方体的特性即截面图的定义即可解．解答：

正方体利用斜截面可以截得等腰三角形和正六边形，当截面与经过相对棱的面成45°

时就可得到．当截面与棱平行时，得到的切口就是矩形．故答案为①②③．

8．

（1）三棱柱

（2）圆柱（3）五棱柱．思路导引：

先得到立体图形被一刀切入一部分的剩下部分几何体，再针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．根据图示可知，剩下部分几何体的名称依次为：

（1）三棱柱

（2）圆柱（3）五棱柱．

本题考查了截图和立体图形的认识，熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．　

9．B思路导引：

根据藕的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况作答．解答：

一刀将藕切断，由藕的特点可知，横切就是椭圆和中间的小孔．故选D．

10．D思路导引：

根据截线经过的不同的位置可得剩余图形的相应的形状．当截线为经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；

当截线为经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；

当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；

所以正确的是①②③，故选D．

11．B思路导引：

在圆柱内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、再由小圆逐渐变成大圆．所以这个圆柱的内部构造为：

圆柱中间有一双侧圆台状空洞．故选B．

12．三棱锥思路导引：

由图可以很明显的看出沿面AB′C剪下后，截面是三角形，截下的几何体为三棱锥．

13．600思路导引：

由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的．因此，剩下图形的表面积=10×

10×

6=600．故应填600．

14.这个圆柱的内部构造为：

圆柱中间有一球状空洞，即空心球．思路导引：

在圆柱内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点；

从左往右由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点．故其内部构造为空心球．

15.截面的四条线段AC、CQ、QP、PA分别在展开图中的位置如图1-3-27.思路导引：

将图1-3-26

（2）中未标的顶点标上，分别在对应面上确定对应线段即可.点拨：

解决本题关键是设法找准两图中的对应面.