当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f（x）>1的解集为.
（2）由题设可得，f（x）＝
所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1，0），C（a，a＋1），
△ABC的面积为（a＋1）2.
由题设得（a＋1）2>6，故a>2.
所以实数a的取值范围为（2，＋∞）.
[思想方法]
1.绝对值不等式的三种常用解法：
零点分段法，数形结合法，构造函数法.
2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
[易错防范]
1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
（建议用时：
60分钟）
1.设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）求函数y＝f（x）的最小值.
解
（1）法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.
原不等式可化为：
或或
即或或
∴x＜－7或x＞.
∴原不等式的解集为.
法二 f（x）＝|2x＋1|－|x－4|＝
画出f（x）的图象，如图所示.
求得y＝2与f（x）图象的交点为（－7，2），.
由图象知f（x）＞2的解集为.
（2）由
（1）的法二图象知：
当x＝－时，
知：
f（x）min＝－.
2.（2017·长沙一模）设α，β，γ均为实数.
（1）证明：
|cos（α＋β）|≤|cosα|＋|sinβ|，|sin（α＋β）|≤|cosα|＋|cosβ|；
（2）若α＋β＋γ＝0，证明：
|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.
证明
（1）|cos（α＋β）|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤
|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；
|sin（α＋β）|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋
|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.
（2）由
（1）知，|cos[α＋（β＋γ）]|≤|cosα|＋|sin（β＋γ）|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.
3.（2016·镇江模拟）已知a和b是任意非零实数.
（1）求的最小值；
（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，求实数x的取值范围.
解
（1）∵≥＝＝4，∴的最小值为4.
（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤.
由
（1）可知，的最小值为4.
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.
解不等式得－2≤x≤2.
故实数x的取值范围为[－2，2].
4.（2017·广州二测）已知函数f（x）＝log2（|x＋1|＋|x－2|－a）.
（1）当a＝7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值.
解
（1）由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，
①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.
②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.
③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.
∴函数f（x）的定义域为（－∞，－3）∪（4，＋∞）.
（2）不等式f（x）≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，
∵当x∈R时，
恒有|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，
又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，
∴a＋8≤3，即a≤－5，
∴a的最大值为－5.
5.设函数f（x）＝2|x－1|＋x－1，g（x）＝16x2－8x＋1.记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N.
（1）求M；
（2）当x∈（M∩N）时，证明：
x2f（x）＋x[f（x）]2≤.
（1）解 f（x）＝
当x≥1时，由f（x）＝3x－3≤1，
得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，由f（x）＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f（x）≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}.
（2）证明 由g（x）＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，
解得－≤x≤.因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈（M∩N）时，f（x）＝1－x，于是
x2f（x）＋x·[f（x）]2＝xf（x）[x＋f（x）]＝x·f（x）＝x（1－x）＝－≤.
6.（2017·郑州模拟）已知函数f（x）＝|2x－a|＋|2x＋3|，g（x）＝|x－1|＋2.
（1）解不等式：
|g（x）|＜5；
（2）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围.
解
（1）由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解不等式得－2＜x＜4，
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.
（2）因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，
使得f（x1）＝g（x2）成立，
所以{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，
又f（x）＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－（2x＋3）|＝|a＋3|，g（x）＝|x－1|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，
解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.
第2讲 不等式的证明
最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：
比较法、综合法、分析法.
知识梳理
1.不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.
（1）比较法
①求差比较法
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.
②求商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法.
（2）分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等）.这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.
（3）综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.
（4）反证法的证明步骤
第一步：
作出与所证不等式相反的假设；
第二步：
从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.
2.几个常用基本不等式
（1）柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：
设a，b，c，d都是实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（当且仅当ad＝bc时，等号成立）.
②柯西不等式的向量形式：
设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
③柯西不等式的三角不等式：
设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则＋
≥.
④柯西不等式的一般形式：
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则（a＋a＋…＋a）（b＋b＋…＋b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0（i＝1，2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立.
（2）算术—几何平均不等式
若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.
诊断自测
1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”.（ ）
（2）若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0，y＞0.（ ）
答案
（1）×
（2）√
2.（2017·泰安模拟）若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是（ ）
A.x＞yB.x＜yC.x≥yD.x≤y
解析 x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，
所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.
答案 A
3.（2017·聊城模拟）下列四个不等式：
①logx10＋lgx≥2（x＞1）；②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2（ab≠0）；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 logx10＋lgx＝＋lgx≥2（x＞1），①正确.
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
因为ab≠0，与同号，
所以＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，
综上①③④正确.
答案 C
4.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.
解析 由柯西不等式得（ma＋nb）2≤（m2＋n2）（a2＋b2），即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.
答案
5.（2016·全国Ⅱ卷）已知函数f（x）＝＋，M为不等式f（x）<2的解集.
（1）求M；
（2）证明：
当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
（1）解 f（x）＝当x≤－时，由f（x）<2得－2x<2，解得x>－1；
当－当x≥时，由f（x）<2得2x<2，解得x<1.
所以f（x）<2的解集M＝{x|－1（2）证明 由
（1）知，当a，b∈M时，－1从而（a＋b）2－（1＋ab）2＝a2＋b2－a2b2－1＝（a2－1）（1－b2）<0，
即（a＋b）2<（1＋ab）2，因此|a＋b|<|1＋ab|.
考点一 用分析法证明不等式
【例1】设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：
（1）a＋b＋c≥；
（2）＋＋≥（＋＋）.
证明
（1）要证a＋b＋c≥，
由于a，b，c＞0，
因此只需证明（a＋b＋c）2≥3.
即证：
a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：
a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3（ab＋bc＋ca）.
即证：
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2（当且仅当a＝b＝c时等号成立）证得.
∴原不等式成立.
（2）＋＋＝.
由于
（1）中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，
只需证明≥＋＋.
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
【训练1】（2016·宜昌一中月考）已知函数f（x）＝|x－1|.
（1）解不等式f（x－1）＋f（x＋3）≥6；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：
f（ab）＞|a|f.
解
（1）由题意，知原不等式等价为|x－2|＋|x＋2|≥6，
令g（x）＝|x－2|＋|x＋2|，
则g（x）＝
当x≤－2时，由－2x≥6，得x≤－3；
当－2＜x＜2时，4≥6不成立，此时无解；
当x≥2时，由2x≥6，得x≥3.
综上，不等式的解集是（－∞，－3]∪[3，＋∞）.
（2）证明 要证f（ab）＞|a|f，
只需证|ab－1|＞|b－a|，
只需证（ab－1）2＞（b－a）2.
而（ab－1）2－（b－a）2＝a2b2－a2－b2＋1＝（a2－1）·（b2－1）＞0，从而原不等式成立.
考点二 用综合法证明不等式
【例2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
（1）＋＋≥8；
（2）≥9.
证明
（1）∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＋＝＋＋＝2
＝2＝2＋4≥4＋4＝8.
∴＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）.
（2）∵＝＋＋＋1，
由
（1）知＋＋≥8.
∴≥9.
规律方法
（1）综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
（2）在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.
【训练2】（2017·重庆适应性测试）设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.
（1）求证：
2ab＋bc＋ca＋≤；
（2）求证：
＋＋≥2.
证明
（1）因为1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，
所以2ab＋bc＋ca＋＝（4ab＋2bc＋2ca＋c2）≤.
（2）因为≥，≥，≥，
所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2.
考点三 柯西不等式的应用
【例3】已知x，y，z均为实数.
（1）若x＋y＋z＝1，求证：
＋＋≤3；
（2）若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.
（1）证明 因为（＋＋）2≤（12＋12＋12）（3x＋1＋3y＋2＋3z＋3）＝27.
所以＋＋≤3.
当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号.
（2）解 因为6＝x＋2y＋3z≤·，
所以x2＋y2＋z2≥，
当且仅当x＝＝即x＝，y＝，z＝时，
x2＋y2＋z2有最小值.
规律方法
（1）使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.
（2）利用柯西不等式求最值的一般结构为：
（a＋a＋…＋a）≥（1＋1＋…＋1）2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.
【训练3】已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3.求证：
＋＋≥.
证明 由柯西不等式及题意得，
·[（x＋2y＋3z）＋（y＋2z＋3x）＋（z＋2x＋3y）]≥（x＋y＋z）2＝27.
又（x＋2y＋3z）＋（y＋2z＋3x）＋（z＋2x＋3y）＝
6（x＋y＋z）＝18，
∴＋＋≥＝，
当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立.
[思想方法]
证明不等式的方法和技巧：
（1）如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少
升级会员 