走向高考高考一轮总复习人教A版数学101.docx
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走向高考高考一轮总复习人教A版数学101
基础巩固强化
一、选择题
1．（文）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关
[答案] C
[解析] 简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等．
（理）（2013·潍坊模拟）为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A．1000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动是样本
D．样本容量是100
[答案] D
[解析] 本题主要考察对基本概念的理解，考察对象是运动员的年龄，故总体、个体、样本都应是运动员的年龄，因此A、B、C都不对，选D.
2．为了了解参加一次知识竞赛的3204名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析] 因为3204＝80×40＋4，所以应随机剔除4个个体，故选C.
3．（文）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3:
4:
7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为（ ）
A．50B．60
C．70D．80
[答案] C
[解析] n×
＝15，解得n＝70.
（理）一工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是（ ）
A．12000B．6000
C．4000D．8000
[答案] D
[解析] 由分层抽样的性质知，这批产品中甲、乙、丙3条生产线生产的新产品数量也成等差数列，再由等差数列性质知，乙生产线生产的产品数量为
＝8000.
4．（2013·哈尔滨模拟）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1、a3、a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
A．13,12B．13,13
C．12,13D．13,14
[答案] B
[解析] 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a3＝8，a1a7＝a
＝64，（8－2d）（8＋4d）＝64，（4－d）（2＋d）＝8,2d－d2＝0，又d≠0，∴d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为
＝13，中位数为
＝13，故选B.
5．（2013·安徽理，5）某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机咨询了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
[答案] C
[解析] 五名男生成绩的平均数为
（86＋94＋88＋92＋90）＝90，
五名女生成绩的平均数为
（88＋93＋93＋88＋93）＝91，
五名男生成绩的方差为s
＝
＝8，
五名女生成绩的方差为s
＝
＝6，
所以s
>s
，故选C.
6．（文）
（1）某学校为了了解2013年高考数学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．
（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．
Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．
问题与方法配对正确的是（ ）
A．
（1）Ⅲ，
（2）ⅠB．
（1）Ⅰ，
（2）Ⅱ
C．
（1）Ⅱ，
（2）ⅢD．
（1）Ⅲ，
（2）Ⅱ
[答案] A
[解析]
（1）总体是有明显差异的三个构成部分，故应采用分层抽样法．
（2）总体容量与样本容量都比较小，宜采用简单随机抽样法．
（理）问题：
①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：
Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．
其中问题与方法能配对的是（ ）
A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②ⅠD．①Ⅲ，②Ⅱ
[答案] C
[解析] ①容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，②总体与样本都较少，可用随机抽样法．故选C.
二、填空题
7．（2013·武汉模拟）用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．
[答案] 6
[解析] 按系统抽样的定义，设第一组抽取号码为x，则第16组抽取的号码为x＋（16－1）×
＝126，∴x＝6.
8．（2013·沈阳质检）沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________．
[答案] 33
[解析] 由于分层抽样各层抽样比相等．
∴
＝
，∴n＝33.
9．（文）（2012·浙江文，11）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
[答案] 160
[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为
＝
，所以样本中男生数应为560×
＝160.
（理）（2013·福建漳州模拟）某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80～90分数段应抽取________人．
[答案] 20
[解析] 各分数段人数的比例为0.01:
0.02:
0.03:
0.04＝1:
2:
3:
4，故抽取50人，80～90分数段应抽取
×50＝20（人）．
三、解答题
10．（文）有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为5、8、9、9、9；B班5名学生得分为6、7、8、9、10.
（1）请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；
（2）如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．
[解析]
（1）∵A班的5名学生的平均得分为（5＋8＋9＋9＋9）÷5＝8，方差s
＝
[（5－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2＋（9－8）2＋（9－8）2]＝2.4；
B班的5名学生的平均得分为（6＋7＋8＋9＋10）÷5＝8，方差s
＝
[（6－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2＋（10－8）2]＝2.
∴s
>s
.
∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．
（2）从B班5名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为2的样本共有不同抽法有10种，∵总体平均数为
＝
×（6＋7＋8＋9＋10）＝8，∴其中样本6和7,6和8,8和10,9和10的平均数满足条件，故所求的概率为
＝
.
（理）为预防禽流感病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
（3）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．
[解析]
（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽取B组疫苗有效的概率约为其频率，即
＝0.33，
∴x＝660.
（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，则应在C组抽取个数为
×500＝90.
（3）设测试不能通过的事件为A，C组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y，z），由
（2）知y＋z＝500，且y，z∈N，所有基本事件有：
（465,35），（466,34），（467,33），（468,32），（469,31），（470,30）共6个，
若测试不能通过，则77＋90＋z>2000×（1－0.9），即z>33，
事件A包含的基本事件有：
（465,35），（466,34）共2个，∴P（A）＝
＝
，故不能通过测试的概率为
.
能力拓展提升
一、选择题
11．（2012·大连部分中学联考）某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员抽8人，高级管理人员中抽2人．由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为
，选C.
12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60）的同学有30人，若想在这n个人中抽取50个人，则在[50,60）之间应抽取的人数为（ ）
A．10B．15
C．25D．30
[答案] B
[解析] 根据频率分布直方图得总人数
n＝
＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60）之间应抽取的人数为50×
＝15.
13．（2013·新课标Ⅰ理，3）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样D．系统抽样
[答案] C
[解析] 因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
二、填空题
14．（2013·皖南八校第二次联考）某班有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
[答案] 37
[解析] 组距为
＝5，第八组抽得号码为（8－3）×5＋12＝37.
15．（2014·锦州期中）某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n＝________.
[答案] 6
[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为
，分层抽样的比例是
，抽取的工程师人数为
×6＝
，技术员人数为
×12＝
，技工人数为
×18＝
，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为（n＋1）时，总体需剔除1人，系统抽样的间隔为
，因为
必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
三、解答题
16．（文）郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升，决定组织部分学科教师参加市达标课活动，规定用分层抽样的方法，先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教师参加，各学科教师人数分布表如下：
学科
语文
英语
政治
历史
地理
人数
24
24
15
12
9
抽取人数
8
8
a
b
c
（1）求a、b、c的值；
（2）若要在历史和地理学科已抽取的教师中，随机选取两名教师参加市教学技能竞赛，求抽取的两位教师全是历史教师的概率．
[解析]
（1）因为语文、英语、政治、历史、地理这5个学科的总人数之比为8:
8:
5:
4:
3，所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为8人、8人、5人、4人、3人．
故a＝5，b＝4，c＝3.
（2）将历史教师分别记为x1、x2、x3、x4，地理教师分别记为y1、y2、y3，
则抽取两位教师可以是（x1，y1），（x1，y2），（x1，y3），（x2，y1），（x2，y2），（x2，y3），（x3，y1），（x3，y2），（x3，y3），（x4，y1），（x4，y2），（x4，y3），（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x2，x3），（x2，x4），（x3，x4），（y1，y2），（y1，y3），（y2，y3），共21种情况；
抽取的两位教师全是历史教师有（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x2，x3），（x2，x4），（x3，x4），共6种情况．
所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为
＝
.
（理）（2013·长安一中模拟）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.
编号
分组
频数
频率
第一组
[160,165）
5
0.050
第二组
[165,170）
x
0.350
第三组
[170,175）
30
y
第四组
[175,180）
20
0.200
第五组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1
（1）求出频率分布表中x、y的值，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在
（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A考官面试的概率．
[解析]
（1）由题可知，第2组的频数x＝0.35×100＝35人，
第3组的频率为y＝
＝0.300，
频率分布直方图如下：
（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：
×6＝3人，
第4组：
×6＝2人，
第5组：
×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．
（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．
第4组至少有一位同学入选的有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（B1，B2），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），9种可能，所以其中第4组的2名同学中至少有一名学生被A考官面试的概率为
＝
.
考纲要求
1．理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．
3．了解分层抽样和系统抽样方法．
补充说明
1．总体、个体、样本
把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体．从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本．
2．随机抽样
抽样时保持每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样条件的抽样是随机抽样．
3．简单随机抽样需满足：
（1）抽取的个体数有限；
（2）逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取．
4．随机数法
a．随机数表．
随机数表是由0,1,2，…，9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．
b．用随机数表抽样的步骤．
第一步：
将总体中的个体编号．为了保证抽取样本有很好的代表性，编号时位数要相同．
第二步：
选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置．
第三步：
获取样本号码．随机确定一个读数方向，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等，重复的号码跳过．直到获取全部号码为止．
5．分层抽样
分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．
备选习题
1．（2013·贵州六校联考）为了参加2013贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：
班级
高三（7）班
高三（17）班
高二（31）班
高二（32）班
人数
12
6
9
9
（1）现采取分层抽样的方法是从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；
（2）该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三（7）班和高三（17）班抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率．
[解析]
（1）由题知，应从高三（7）班中抽出12×
＝4人，
应从高三（17）班中抽出12×
＝2人，
应从高二（31）班中抽出12×
＝3人，
应从高二（32）班中抽出12×
＝3人．
（2）记高三（7）班抽出的4人为A1、A2、A3、A4，高三（17）班抽出的两人为B1、B2，则从这6个人中抽出2人的基本事件有：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）、（B1，B2）共15个．
记“抽出的2人来自同一班”的事件C，则事件C含：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A2，A3）、（A2，A4）、（A3，A4）、（B1，B2）共7个，
故P（C）＝
.
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