股票价格波动的研究.docx
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股票价格波动的研究
I、问题重述
股票市场已经成为中国市场经济体系重要组成部分，股票市场能否健康发展是中国经济稳定发展的重要基础。
股票市场在资源配置、信息传导等方面一直发挥着其独特的作用，具有重要的研究意义。
人们对股票市场进行了深入的研究，认为，股票的价格是随机波动的，这种随机波动是有规律的，而规律是变化的。
纵观股票市场的走势，价格总是呈现剧烈的波动，交替出现波峰波谷、往来反复的特性。
比如上海证券交易所的上证指数从2005年6月6日的998点一直上升到2007年10月16日的6124点形成波峰，之后一路下跌到2008年10月28日的1664点之后才转入上升，形成波谷。
股票价格呈现上升-下跌-上升-下跌的周期循环走势。
一、试建立数学模型讨论股票价格的涨跌的周期性问题，可以选择中国证券市场任何一种股票价格指数（如上证指数、深证成指、创业板指，中证50等）进行讨论。
二、研究表明，股票价格的涨跌受到许多因素的影响，比如国家的政策（经济、财经等）、国家宏观经济状况、上市公司经营情况、交易者的交易行为、心理等。
试建立数学模型分析上述因素对股票价格波动的影响。
三、传统经济学认为：
商品的价格围绕价值波动。
试抽取5只上海证券交易所或深圳证券交易所的股票，结合一、二两问，建立数学模型讨论这种波动，比如价值、波幅、周期、影响波动的因素等。
四、根据上述研究，写一篇短文，给新入市交易的交易者提供建议。
II、问题分析
2.1股票市场价格及其波动性研究意义
作为反映市场所有信息的股票价格是研究的核心，尤其是对股票波动特征的研究，对于衍生工具定价、市场监管、价格预测及风险控制等一系列金融市场中的重要课题都占据了举足轻重的地位。
由于我国股票市场的发展历史较短，且一直表现出极大的不稳定性。
管理层、投资者等各方均对我国股票市场价格波动程度及其变化规律的研究越来越感兴趣。
目前我国股票市场价格波动的研究成果数量较少且多停留在定性的层面。
即使有部分研究者采用数量模型，也局限于单一方面，未形成系统性。
因此，选取具有代表性的股票市场作为研究对象，并从理论到实证，单个模型至多个模型的对比分析，进行深入全面地系统研究，为更好地均衡股票市场格局、引导投资者理性入市、股票市场促进国家宏观经济健康发展、扶正政府在股票市场管理的功能定位以进行有效管理，具有现实的应用价值。
2.2问题分析
问题一：
股票的价格受到经济环境、国家政策等多方面因素的影响，具有很大的波动性，通过对过去20年的股价进行汇总，可以发现股价呈现峰谷交替的周期性变动。
拟选定一种股票价格指数（如上证指数），建立适当模型研究股票价格涨跌的周期性问题；初步判断由于股价的相对不确定性，股价指数具有一定程度上的马氏性，可以选择建立马氏链模型，来对周期有一个判断，之后通过小波分析绘制反映股价周期性的图像，可以印证我们结论的正确性。
问题二：
由第一问的分析可知，股价涨跌是由多方面影响因素的共同作用。
通过结合题意和查阅资料，我们选定国家政策、宏观经济状况、上市公司经营情况、股票行业自身规律、交易者的交易行为和心理流入股市的资金量六个因素来研究各因素对股票市场的影响程度。
考虑到各影响因素难以量化的问题，我们通过文献查阅搜集到一些金融人士对于各因素影响程度的打分汇总的调查报告，拟通过主因子分析法来解决问题，为了验证结论的准确定，可以依据打分情况利用层次分析法验证。
问题三：
股价在各因素的影响下围绕自身价值涨跌，考虑到ARCH模型是一种度量金融时间序列数据波动性的有效工具，拟利用AR系列模型，适当选取五只股票作为样本数据，结合问题一、二，从不同方面研究股价的波动性特征，可着重研究股价随内在价值的偏离与波动及波幅的大小反映不同年份，及股价的波动剧烈程度。
2.3模型基本假设
la：
所采用的数据真实有效，能客观地反映股市波动的具体情况；
lb：
股市在研究时间范围内的变化近似视为连续性变化，可以把股市的各个指标作为时间序列进行分析处理；
lc：
各种影响股市波动的因素对股市影响直接体现在股票的证券指数；
ld：
忽略灾害、政治经济形势、突发事件对股市价格的影响；
2.4模型符号说明
符号说明
指数变化率
上证指数季度变化状态空间
状态转移矩阵
影响股价的因素
日收益率
第日的收盘价
自相关系数
偏自相关系数
日内振幅
第日上证指数最大值
第日上证指数最小值
III、模型一的建立
3.1模型准备
股票周期是指股票市场长期升势与长期跌势更替出现、不断循环反复的过程。
通常包括两种类型：
1.总量水平上的古典型周期，反映股市的熊牛市交替；2.和增长率上的增长型周期，反映股市收益率序列的扩张和收缩交替。
股市周期性运动特征：
1.指股市长期波动的趋势更替，非短期内股价指数的涨跌变化，股市价格每日的涨跌构成股市周期性运动的基础，但不能代表股市周期；2.指股市整体趋于一致的运动，而非个别股票、板块的逆势运动；3.指基本大势的反转或者逆转，非指股价指数短期或局部的反弹和回调；4.指在运动中性质的变化，即由熊市转为牛市或相反情况，非股价指数单纯的数量变化。
尽管存在着随机性的非周期因素的干扰，我国股市的运行仍呈现出峰谷交替的周期性变动特征。
其周期性平均时间可通过随机过程的相关方法计算。
3.2模型建立
lStep1:
选取1995-2015年上证指数的样本数据，计算指数变化率，并将上证指数划分为下跌、盘整和上涨三种状态；得出状态转移矩阵，并根据定理计算出平均周期时间约为5.3年；
lStep2:
为验证step1所得平均周期的合理性与准确性，利用小波分析理论把上证指数收盘价提取出来（即一维分解），把“信号”的粗糙部分提取出来，将类似噪声的数据剔除，而只保留逼近部分即“信号”低频部分（即逼近）；
lStep3:
分析小波分析所得图像，得出股票市场的平均周期约为5.6年，与马氏链模型所得结果接近，验证了模型的准确性；再对模型进行评价分析；
3.3模型求解
3.3.1模型原理
假设上证指数变化具有马氏性。
指数变化率：
r=（上季度末上证指数-本季度末上证指数）/上季度末上证指数。
上证指数季度变化情况三状态：
下跌、盘整和上涨。
设状态空间为S={1,2,3},当r<15%时,S=1,此时上证指数处于下跌状态;当|r|<5%时,S=2,此时上证指数处于盘整状态;当r>5%时,S=3,此时上证指数处于上涨状态。
设状态转移概率矩阵为表示从状态发首次到达状态所经过的时间。
独立同分布,其中表示股市时刻n所处的状态。
显然,是的一个停时。
首先给出定理:
定理:
设则
证明:
下面利用定理的结论分别计算和,把两者相加即得一个完整的股市周期。
选用上证指数1995第1度至2015第2季度的季度数据①计算得状态转移概率矩阵为:
其中表示事件“从状态1到状态1”发生的概率,其它类似。
利用定理结论,得方程组:
解得，；
，得我国股票市场周期的平均持续时间为21.22个季度,股市周期的平均持续时间大约为5.3年。
3.4模型分析与检验
3.4.1基于小波分析理论的检验
小波分析,从数学角度看,属于一种近似计算的方法,用于把某一函数在特定空间内按小波展开和逼近;从工程角度看,小波分析是一种信号与信息处理的工具,是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换作为一种新的多分辨分析方法,可同时进行时域和领域分析,具有时频局部化和多分辨特性,因此特别适合于处理非平稳信号。
本文通过小波分析实现对股票价格涨跌的周期性分析。
首先对1995年第一季度至2015年第二季度的各季度末上证指数收盘价数据进行分析，再进行数据的挖掘。
小波分析技术可以把上证指数收盘价提取出来（即一维分解），把“信号”的粗糙部分提取出来，将类似噪声的数据剔除，而只保留逼近部分即“信号”低频部分（即逼近）。
3.4.2检验周期结果及预测
调用MATLAB小波分析工具箱（具体程序参见附录）分析股票价格涨跌的周期性变化，结果如下：
图1
（1）图（a）显示1995年第一季度至2015年第二季度的各季度末上证指数收盘价格。
图2
（2）图（b）显示1995年第一季度至2015年第二季度的各季度末上证指数涨跌周期，从图中可以估算出，我国股票市场周期的平均持续时间为第29—52季度,共持续23个季度，股市周期的平均持续时间大约为5.6年。
基于小波分析理论所得的平均周期为5.6年，与采用马氏链模型所得股市平均周期5.3年接近。
由此可知，模型所得股市平均周期具有合理性。
3.5模型评价与改进方向
由于股票市场具有很大程度的不确定性，因此上证指数的变化具有马氏性，通过求解指数变化率将指数分为三个状态，模型具有合理性。
且小波分析技术将上证指数收盘价进行一维分解，把“信号”的粗糙部分提取出来，将类似噪声的数据剔除，而只保留逼近部分即“信号”低频部分（即逼近），所得平均周期与马氏链模型所得结果相近，进一步提高了模型的准确性。
本文对上述模型的研究中，可知上海股票市场发展至今，其波动性趋于缓和，但是同国外成熟的股票市场相比，其波动性还相对较高。
就发展趋势而言，随着股票市场的发展，股票市场的周期呈现小幅延长趋势。
为了降低上海股票市场的波动程度，并使其成为真正的资源配置的有效场所，还需要建立其他更加完善的模型。
可以对影响股票市场波动的因素进行研究，建立合理模型为采取更加有效的稳定市场的措施提供依据。
IV、模型二的建立
4.1问题分析
影响股票价格变动的因素很多，并且错综复杂，一般传统金融学认为，基本可分为宏观因素，如：
经济周期、通货膨胀、国际收支、货币供应量、税收、利率等；及微观因素，如公司业绩、行业前景、交易制度和工具、市场心理预期等；还有一些非常因素，如战争、自然灾害、政治局势变动等。
对所有影响因素进行分析几乎是不可能的，因此在综合评价后，选取了六个不同方面，但影响颇大的因素：
国家政策、宏观经济状况、上市公司经营情况、股票行业自身规律、交易者的交易行为、心理流入股市的资金量。
4.2影响机制
图3
4.3模型的建立与实现
4.3.1模型二建立步骤
lStep1:
先参考建立的合理的评估因素体系，综合考虑六个方面的影响因素，利用主因子分析法初步给定各因素对股票涨跌的影响等级；
lStep2:
建立层次分析模型，基于step1所给初步影响等级，给出成对比较矩阵；
lStep3:
通过模型解得成对比较矩阵的最大特征根，并通过了一致性检验；
l对模型进行进一步评价；
4.3.2评估因素体信息的创建
参考如下评价体系：
l针对国内生产总值，经济增长率，经济周期，通货膨胀率，失业率，利率水平，汇率水平，财政政策，货币政策，国际收支，社会心理因素，股票市场自身运动规律，国际金融市场环境，公司的经营情况，流入股市的资金量，风险影响，其他期货债券市场影响，产业与区域因素，新股发行速度，投机程度（泡沫水平）等20个因素构成调查表。
l为提高各因素打分时的区分度与分析的准确度，问卷的打分方式使用0-9打分机制。
l通过信件及拜访方式，调查从事股票运营人员和的专业人员与从事金融研究的经济研究的学术人士共34位。
为使得调查更具随机性，所调查的专业人员分布在上海、深圳、北京、天津等地，尽可能实现调查样本的分散性与合理性。
l回收全部调查结果之后，采用主因子分析方法与主成分分析方法，从设计的20项中推导出。
影响目前中国股市的最主要的因子以及它们的层次与权重关系。
4.3.3模型建立与求解
将最终的统计结果汇总，平均值小于5的指数，视作影响不明显的因素予以剔除，且为避免所选择影响因素的交叉处性，合理将音响因素进行合并处理，最终确定影响因素如下：
1、国家政策，2、宏观经济状况，3、上市公司经营情况，4、股票行业自身规律，5、交易者的交易行为、心理，6、流入股市的资金量。
将这6项指标的打分结果所构成的矩阵即为A，结果如下：
以上各项分别表示6个指标所对应的34个评分所组成的行向量。
用表示的转置矩阵，令。
解得矩阵的6个特征根分别是34.9,83.5,137.1,189.1,329,7608.5。
六个特征根的总和为
的统计意义是：
第主因子的贡献率。
解得各主因子的贡献率分别为：
0.0042,0.0100,0.0164,0.0226,0.0393,0.9077
由于后三项的累积贡献率
基于统计学的角度，后三个特征根对应的规范化特征向量可以充分地代表所有因素的意向。
为了使得框架清晰，需要尽可能减少指标的交叉性。
采用主成分分析，得出0.7077,0.3977是第一个向量对应的主成分的系数；第二个特征向量中-0.4804,0.7682是对应主成分的系数；而第三个特征向量的分量之间差别不大。
无法通过主成分分析来剔除，。
为了使得各因素比较专一地归属于某个主因子，减少过多的交叉关系，本模型采用较为合理的分配策略。
三维空间中，最理想的规范正交基底是单位向量,,,它们的非0向量分布在不同的向量空间上，且任何一组规范的正交的基底度可以通过旋转使得它们与坐标向量重合。
但是这样做过于繁琐，且精确度不能保证，因此选择了较为简单的处理方法：
将三个向量的每个分量逐一比较，绝对值大，就将对应的因素分配给那个向量。
最终得到三个新的正交向量如下：
以上新的向量可以近似认为是三个特征根所对应的“特征向量“特征向量”，分别称为第一、二、三主因子。
由可知，第4、6项指标包含在第一主因子，这两项指标分别为4、交易者的交易心理与心理，6、流入股市的资金量；由可知，第3、5指标包含在第二主因子，分别为3、上市公司经营情况，5、股票市场自身的运动规律；由可知，第1、2指标包含在第三主因子，分别为1、国家政策，2、国家宏观经济情况。
为了进一步分析各指标的重要程度，需要计算各指标的权重，采用方法：
用各指标在特征向量中对应数值的绝对值，除以该特征向量所有数值绝对值的总和。
具体结果如下：
影响因素
所属主因子
所占权重
影响比例
对股票涨跌影响等级
国家政策
六
0.513
46.57%
★★★★★★
国家宏观经济状况
六
0.487
44.2%
★★★★★
上市公司经营情况
五
0.3848
1.51%
★★★
交易者的交易行为与心理
四
0.6432
1.45%
★★
股票市场自身的运动规律
五
0.6152
0.81%
★
流入股票市场的资金量
四
0.3598
2.42%
★★★★
表1各因素影响等级
如上表所示，各因素对股票涨跌的影响等级由大至小排列为：
国家政策，国家宏观经济状况，流入股票市场的资金量，上市公司经营情况，交易者的交易行为与心理，股票市场自身的运动规律。
4.3.4层次分析模型
4.3.5建立层次结构模型
在本文中只需要得到不同影响因素对于股票价格波动的影响程度，即权重，不需要进行决策。
因此，本文对AHP模型进行改进，将准则层和方案层合并为一个层，如下图所示：
图4
构造成对比较阵。
令依次表示国家政策，国家宏观经济状况，上市公司经营情况，交易者的交易行为和心理，股票市场自身的运动规律和流入股市的资金量6个影响因素的准则。
结合主因子分析中问卷调查所得到的打分数据，采用以上所述评估体系，并且根据主因子分析法初步得出以上因素对股票价格波动的不同影响等级，分别采用1-9标度法对各因素之间的差别进行评估。
用成对比较法得到的成对比较矩阵如图所示：
计算矩阵A的最大特征根
4.4模型的一致性检验
一致性指标：
查表确定相应的平均随机一致性指标：
计算的过程是：
对于固定的，随机地构造正互反阵（它的元素从1-9，1-1/9中随机取值），然后计算的一致性指标。
由于是非常不一致的，它的非常大，所以应构造相当多的，用它们的的平均值作为随机一致性指标。
Saaty对于不同的，用100-500个样本算出的指标如下表：
1234567891011
000.580.901.121.241.321.411.451.491.51
表2
计算一致性比率：
，认为矩阵A有满意一致性。
4.5模型的评价
模型评价体系合理：
通过信件及拜访方式，调查从事股票运营人员和的专业人员与从事金融研究的经济研究的学术人士。
为使得调查更具随机性，所调查的专业人员分布在上海、深圳、北京、天津等地，尽可能实现调查样本的分散性与合理性；
为了进一步降低层次分析模型的主观性，先采用主因子分析方法初步确定所考虑的六方面影响因素的影响等级，再根据此结果选用1-9比较尺度，给定成对比较矩阵，最终通过了一致性检验，模型所得结果具有较强的合理性，能比较准确地比较出各因素对股票涨跌的影响程度。
V、模型三的建立
5.1股票价格波动的成因
股票作为一种特殊的商品，其价格与一般商品有共性的特点，有理论上计算出的内在价值和通过市场供求形成的实际市场价格。
股票的市场价格相对于其内在价值的偏离。
产生了股票市场的波动。
这种波动有其积极的作用：
正是由于股价的波动，才能使得买卖双方的交易持续发展，才能实现市场的流动性，达到资源的有效配置。
同时，股票市场上也充斥着各种非理性的波动，使得股价波动幅度和频率大，使得整个市场的投机色彩加剧，蕴藏的风险增加，对股票市场带来不利影响。
因此，股票市场价格波动的本质原因，是由于股票的市场价格偏离其内在价值，从而产生股票市场价格的波动。
5.1.1股票市场价格的决定
影响股票市场价格波动的因素很多，包括宏观经济因素、微观经济因素、非经济因素等。
但总体而言，都是通过影响股票市场的供求关系，最终影响股票价格的决定。
正常情况下，股票市场价格与其内在价值是有偏离的，偏离图像大致如下：
图5股票市场价格与内在价值偏离图
但股票价格的波动特征不仅取决于内在价值，还受到各影响因素不同等级的影响，从而波动周期、振幅等特征均有所变化。
5.2模型三的建立
5.2.1ARCH模型（自回归条件异方差模型）
设是因变量，是解释变量构成的列向量，是随机干扰项，存在如下回归方程：
一式为基本回归方程；二式表明误差项服从期望值为0，方差为的正态分布；三式表明的方差由一个常数和前一时刻的残差平方组成。
5.2.2样本数据的选取与平稳性检验
本文采用上海证券交易所从1995年至2015年间的5支不同类别股票每天的收盘数据来反映波动情况，数据来源于同花顺软件，并导入到matlab中进行处理。
考虑到1995年之前，市场还处于初创时期，市场规模非常小，供需矛盾十分突出，加上市场参与者各方面风险意识淡薄，非理性行为比较普遍，为了避免异常数据的干扰，时间跨度取为1995年至2015年。
在对时间序列进行分析时，一个重要的前提是所采用的数据必须具有平稳性，否则则会产生谬误回归或分析的谬误等问题。
通过平稳性检验，我们得知5支股票每日的收盘价不具有时序平稳性，这就会导致收盘价的方差可能随时间的增加而趋于无限，这是不符合我们的模型假定的。
因此，在研究股票市场波动性的实证分析中，波动性一般都采用收益率的方差或标准差来衡量。
在本文中，我们根据每日收盘数据计算出市场的日收益率以作为研究的基础数据。
日收益率的计算公式为:
其中代表t日的收盘价，代表收益率的百分比数值。
以宝诚股份600892为例，由此公式我们可以得到下面的日收益率图：
图6
为保证时间序列{}的平稳性，对1996年1月1日至2015年8月13日共4335天的日收益率进行平稳性检验。
采用的检验模式为有漂浮项但无趋势项：
其中：
为白噪声，，，为各变量的系数。
零假设：
本模型以浦发银行的股票为例，对上证综合指数日收益率做ADF检验，所得检验结果如下表所示：
t-Statistic
Prob.*
AugmentedDickey-Fullerteststatistic
-61.76216
0.0001
Testcriticalvalues:
1%level
-3.431923
5%level
-2.862120
10%level
-2.567122
表3
以上检验结果显示在显著性水平为1%（麦金农临界值为-3.4358），5%（-0.8631），10%（-2.5676）时，均有检验统计量小于麦金农临界值的结论。
因此接受零假设：
，拒绝时间序列存在单位根的假设，即时间序列是平稳的，以时间序列进行深入研究是可行的。
其他股票的ADF检验与浦发银行类似，此处便不再赘述。
5.3均值方程的设定
均值方程的设定是进行ARCH模型估计的第一步。
对所取五只股票的样本数据进行分析，并运用matlab求得各样本数据的自相关函数（ACF）和偏自相关函数进行分析判断，发现在所取时间段内放入市场日收益率与其如下阶数的自相关性比较强：
图7
可以发现在所选择的时段，五只股票的市场日收益率分别与其1、12阶，1、4阶，1、13阶，12、17阶，1、8阶的自相关性比较强。
且如上图所示，大于在95%置信度水平下的标准误0.0468的，则拒绝自相关系数为零的假设。
下面以宝诚股份为例给出日收益率的自相关系数和偏自相关系数的表格与直方图，其他股票相关数据参加附录。
宝诚股份600892日收益率的自相关系数和偏自相关系数
图8宝诚股份600892日收益率的自相关系数和偏自相关系数直方图
图9
通过以上对收益率序列的自相关结果进行初步识别，估计均值方程服从的AR模型为：
分别为各只股票自相关系数最大的对应阶数。
运用最小二乘法对该模型进行估计，再对残差序列进行分析，得出其残差序列已经不存
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