高中数学必修4第一章三件函数同步练习及单元检测复习课合集Word文档下载推荐.docx
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C．MPD．M∩P＝∅
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
二、填空题
7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．
8．经过10分钟，分针转了________度．
9．如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______________________________．
10．若α＝1690°
，角θ与α终边相同，且－360°
<
θ<
，则θ＝________.
三、解答题
11．在0°
～360°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1）－150°
；
（2）650°
（3）－950°
15′.
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
能力提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合（用0°
到360°
间的角表示）．
14．设α是第二象限角，问是第几象限角？
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·
，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：
（1）α为任意角．
（2）k·
与α之间是“＋”号，k·
－α可理解为k·
＋（－α）．
（3）相等的角，终边一定相同；
终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°
的整数倍．
（4）k∈Z这一条件不能少．
第一章 三角函数
1．1.1 任意角
答案
知识梳理
1．
（1）一条射线 端点 旋转
（2）逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转
2．第几象限角 3.α＋k·
，k∈Z 整数个周角
作业设计
1．C 2.A
3．D [锐角θ满足0°
90°
而B中θ<
，可以为负角；
C中θ满足k·
k·
＋90°
，k∈Z；
D中满足0°
，故A＝D.]
4．C [特殊值法，给α赋一特殊值－60°
，
则180°
－α＝240°
故180°
－α在第三象限．]
5．B [对集合M来说，x＝（2k±
1）45°
，即45°
的奇数倍；
对集合P来说，x＝（k±
2）45°
的倍数．]
6．D [由k·
＋180°
α<
＋270°
，k∈Z，
得·
·
＋135°
，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．]
7．x轴的正半轴
8．－60
9．{α|k·
≤α≤k·
＋120°
，k∈Z}
10．－110°
或250°
解析 ∵α＝1690°
＝4×
＋250°
，∴θ＝k·
，k∈Z.∵－360°
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°
.
11．解
（1）因为－150°
＝－360°
＋210°
，所以在0°
范围内，与－150°
角终边相同的角是210°
角，它是第三象限角．
（2）因为650°
＝360°
＋290°
范围内，与650°
角终边相同的角是290°
角，它是第四象限角．
（3）因为－950°
15′＝－3×
＋129°
45′，所以在0°
范围内，与－950°
15′角终边相同的角是129°
45′角，它是第二象限角．
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·
＋30°
≤α<
＋105°
，k∈Z}．
②{α|k·
＋285°
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·
∪{α|k·
，k∈Z}＝{α|2k·
2k·
∪{α|（2k＋1）180°
（2k＋1）180°
＝{α|2k·
或（2k＋1）·
＝{α|k·
13．解 终边落在y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°
，k∈Z}，终边落在
y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°
，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°
，k∈Z}∪{α|α＝240°
，k∈Z}＝{α|α＝60°
＋2k·
k∈Z}∪{α|α＝60°
＋（2k＋1）·
＋n·
，n∈Z}．
14．解 当α为第二象限角时，
∴30°
＋·
60°
当k＝3n时，30°
，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°
，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°
300°
，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角．
1.1.2 弧度制
1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
（1）角度制：
规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：
把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
（3）角的弧度数求法：
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：
____________；
这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
＝________rad
2πrad＝________
＝______rad
πrad＝________
1°
＝______rad≈
0.01745rad
1rad＝______≈57°
18′
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α（0<
2π）为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝________
l＝______
扇形的面积
S＝________
S＝______＝______
1．集合A＝与集合B＝的关系是（ ）
A．A＝BB．A⊆B
C．B⊆AD．以上都不对
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2B．sin2C.D．2sin1
3．扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其中心角的弧度数是（ ）
A．1或4B．1或2C．2或4D．1或5
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（ ）
A．∅
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使|θ|最小的θ值是（ ）
A.B．－C.πD．－π
6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（ ）
A．1∶3B．2∶3C．4∶3D．4∶9
7．将－1485°
化为2kπ＋α（0≤α<
2π，k∈Z）的形式是________．
8．若扇形圆心角为216°
，弧长为30π，则扇形半径为____．
9．若2π<
4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈（－4π，4π），则α＝________________.
11．把下列各角化成2kπ＋α（0≤α<
2π，k∈Z）的形式，并指出是第几象限角：
（1）－1500°
（2）π；
（3）－4.
12．已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？
最大面积是多少？
13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
（1）若α＝60°
，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值c（c>
0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：
每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；
反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°
＝π”这一关系式．易知：
度数×
＝弧度数，弧度数×
＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
1．
（1）
（2）半径长 1rad （3）|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0
2．2π 360°
π 180°
°
3. αR αR2 lR
1．A
2．C [r＝，∴l＝|α|r＝.]
3．A [设扇形半径为r，圆心角为α，
则，
解得或.]
4．C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．D [∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.]
6．B [设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S内切＝πr2.
S扇形＝αr2＝×
×
a2＝×
9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.]
7．－10π＋π
解析 ∵－1485°
＝－5×
＋315°
∴－1485°
可以表示为－10π＋π.
8．25
解析 216°
＝216×
＝，l＝α·
r＝r＝30π，∴r＝25.
9.π或π
解析 －π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.
10．－，－，，
解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π.
11．解
（1）－1500°
＝－1800°
＋300°
＝－10π＋，
∴－1500°
与π终边相同，是第四象限角．
（2）π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．
（3）－4＝－2π＋（2π－4），
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×
（40－2r）r＝20r－r2＝－（r－10）2＋100.
∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，
此时θ＝＝＝2rad.
13．4
解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.
14．解
（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°
＝，R＝10，∴l＝αR＝（cm）．
S弓＝S扇－S△＝×
10－×
102×
sin60°
＝50（cm2）．
（2）扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝·
R2＝（c－2R）R＝－R2＋cR＝－（R－）2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
1.2.1 任意角的三角函数
（二）
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sinx的定义域是______；
余弦函数y＝cosx的定义域是______；
正切函数y＝tanx的定义域是_____________________________________________________________．
2．三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线）于T点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：
sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______.
1.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
2．角α（0<
2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为（ ）
A.B.C.D.或
3．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是（ ）
A．sinα＋cosα>
1B．sinα＋cosα＝1
C．sinα＋cosα<
1D．不能确定
4．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（ ）
A．sin1>
sin1.2>
sin1.5
B．sin1>
sin1.5>
sin1.2
C．sin1.5>
sin1
D．sin1.2>
sin1>
5．若0<
2π，且sinα<
，cosα>
，则角α的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.∪
6．如果<
，那么下列不等式成立的是（ ）
A．cosα<
sinα<
tanαB．tanα<
cosα
C．sinα<
cosα<
tanαD．cosα<
tanα<
sinα
7．在[0,2π]上满足sinx≥的x的取值范围为________．
8．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sinα<
cosα}，则A∩B＝________________.
9．不等式tanα＋>
0的解集是______________．
10．求函数f（x）＝lg（3－4sin2x）的定义域为________．
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
（1）sinα≥；
（2）cosα≤－.
12．设θ是第二象限角，试比较sin，cos，tan的大小．
13．求函数f（x）＝＋ln的定义域．
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：
tanα.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；
余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
1．2.1 任意角的三角函数
（二）
1．R R {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
2．MP OM AT MP OM AT
1．C
2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．]
3．A [设α终边与单位圆交于点P，
sinα＝MP，cosα＝OM，
则|OM|＋|MP|>
|OP|＝1，即sinα＋cosα>
1.]
4．C [∵1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，
∴sin1.5>
sin1.]
5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D正确．]
6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<
MP<
AT，即cosα<
tanα.]
7.
8.∪
9.
解析 不等式的解集如图所示（阴影部分），
∴.
10.，k∈Z
解析 如图所示．
∵3－4sin2x>
0，∴sin2x<
，∴－<
sinx<
∴x∈∪（k∈Z）．即x∈（k∈Z）．
11．解
（1）
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域（图1阴影部分），即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
（2）
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图2阴影部分），即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
12．解 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<
2kπ＋π（k∈Z），故kπ＋<
kπ＋（k∈Z）．
作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<
2kπ＋（k∈Z）时，cos<
sin<
tan.
2kπ＋π（k∈Z）时，sin<
cos<
13．解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示，
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sinα，AT＝tanα.
因为S△AOP＝OA·
MP＝sinα，
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·
AT＝tanα，
又S△AOP<
S扇形AOP<
S△AOT，
所以sinα<
tanα，即sinα<
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
（一）
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式
（一）及其应用．
1．任意角三角函数的定义
设角α终边上任意一点的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________，即：
sin（α＋k·
2π）＝______，cos（α＋k·
2π）＝________，
tan（α＋k·
2π）＝________，其中k∈Z.
1．sin780°
等于（ ）
A.B．－C.D．－
2．点A（x，y）是300°
角终边上异于原点的一点，则的值为（ ）
3．若sinα<
0且tanα>
0，则α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．角α的终边经过点P（－b,4）且cosα＝－，则b的值为（ ）
A．3B．－3C．±
3D．5
5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f（x）＝＋＋的值域是（ ）
A．{－3，－1,1,3}B．{－3，－1}
C．{1,3}D．{－1,3}
6．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（ ）
A.B.C.D.
7．若角α的终边过点P（5，－12），则sinα＋cosα＝______.
8．已知α终边经过点（3a－9，a＋2），且sinα>
0，cosα≤0，则a的取值范围为________．
9．代数式：
sin2cos3tan4的符号是________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<
0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
11．求下列各式的值．
（1）cos＋tanπ；
（2）sin630°
＋tan1125°
＋tan765°
＋cos540°
12．已知角α终边上一点P（－，y），且sinα＝y，求cosα和tanα的值．
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