完整word版因式分解竞赛题含答案doc.docx
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完整word版因式分解竞赛题含答案doc
因式分解
序号公式
x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
1
（十字相乘法）
记忆特征
（1）常数项两数积
（2）一次项系数两数和
（3）二次项系数为1
2
a2-b2=（a-b）（a+b）
（平方差公式）
a2+2ab+b2=（a+b）2
3a2-2ab+b2=（a-b）2
（完全平方公式）
4
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2（完全平方公式扩展）
a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3
（1）三数平方和
（2）两两积的2倍
5a3-3a2b-3ab2+b3=（a-b）3
（完全立方公式）
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
6
a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
对照完全平方公式相互加强记忆
（1）近似完全平方公式
（2）缺项之完全立方公式
23
（a+b）[（a+b）-3ab]=（a+b）-3ab（a+b）
7
a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）
对照公式4相互加强记忆
（1）
短差长和；
8
an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2++abn-2+bn-1）
n=整数
（2）
a指数逐项递减
1；
（平方差公式扩展）
（3）
b指数逐项递增
1；
（4）
长式每项指数和恒等于n-1。
（1）
短式变加长式加减相间；
9
an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1）
n=偶数
（2）
a指数逐项递减
1；
（立方差公式扩展）
（3）
b指数逐项递增
1；
（4）
每项符号b指数决定偶加奇减。
10
an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1）
n=奇数
对比公式9的异同
（立方和公式扩展）
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰
当地选择公式．
例1分解因式：
（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
（2）x3-8y3-z3-6xyz；
解
（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）
=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny
2+（y2）2]
=-2xn-1yn（x2n-y2）2
=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）
2．
1
（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）
=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．
例2分解因式：
a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．分析我们已经知道公式
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．
这个
式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
3
3
解原式=（a+b）-3ab（a+b）+c-3abc
=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）
2
2
=（a+b+c）［（a+b）-c（a+b）+c
]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a
2+b2+c2-ab-bc-ca）．
说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多
有用的结论，例如：
我们将公
式（6）变形为a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3
≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
※※变式练习
1分解因式：
x15+x14+x13++x2+x+1．
分析这个多项式的特点是：
有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．
解因为
x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+x2+x+1），
所以
2
说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变
形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合
并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需
要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项
式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多
项式能用分组分解法进行因式分解．
例3分解因式：
x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1将常数项8拆成-1+9．
3
=（x3-1）-9x+9
2
=（x-1）（x+x+1）-9（x-1）
2
=（x-1）（x+x-8）．
解法2将一次项-9x拆成-x-8x．
3
=（x3-x）+（-8x+8）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法3
将三次项x3拆成9x3
-8x
3．
3
3
原式=9x-8x-9x+8
=（9x
3
3
-9x）+（-8x+8）
=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法4
添加两项-x2+x2．
原式=x3
-9x+8
=x3
-x
2+x2
-9x+8
2
=x（x-1）+（x-8）（x-1）
2
=（x-1）（x+x-8）．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
3
※※变式练习
1分解因式：
（1）x9+x6+x3-3；
（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；
（3）（x+1）
4
+（x
2
2
4
-1）
+（x-1）；
（4）a3b-ab3+a2+b2+1．
解
（1）将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1
=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）
=（x
3
6
3
3
3
+1）+（x
3
-1）（x
+x+1）+（x
-1）（x
-1）
=（x3-1）（x6+2x3+3）
=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．
（2）将4mn拆成2mn+2mn．
原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn
2222
=mn-m-n+1+2mn+2mn
2222
=（mn+2mn+1）-（m-2mn+n）
=（mn+1）2-（m-n）2
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．
（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4
=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2
=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．
（4）添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
3322
=（ab-ab）+（a-ab）+（ab+b+1）
2
=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b+1）
2
=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b+1）
=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）
=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．
说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
4
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例4分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）-12．
分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一
个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解设x2+x=y，则
原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10
=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）
=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
例5分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90
=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90
=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．
令y=2x2+5x+2，则
原式=y（y+1）-90=y2+y-90
=（y+10）（y-9）
=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）
=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．
※※变式练习
1.分解因式：
（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．
解设x2+4x+8=y，则
原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）
=（x2+6x+8）（x2+5x+8）
=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．
说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需
要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法
5
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式
（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即：
-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］
=（x+2y-3）（2x-11y+1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并
在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；
（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；
（2y-3）（-11y+1）=-22y
2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
6
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的
和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：
（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；
（2）x2-y2+5x+3y+4；
（3）xy+y2+x-y-2；
（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解
（1）
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．
（2）
原式=（x+y+1）（x-y+4）．
（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=（y+1）（x+y-2）．
（4）
原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．
说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如anxn+an-1xn-1++a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并
用f（x），g（x），等记号表示，如
f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，，
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）
2
×1+2=0；
f
（1）=1-3
f（-2）=（-2）
2-3×（-2）+2=12．
若f（a）=0
，则称a为多项式f（x）的一个根．
7
定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个
因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x）要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2分解因式：
x3-4x2+6x-4．
分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约
数：
±1，±2，±4，只有
f
（2）=23-4×22+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．
322
=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）
=（x-2）（x2-2x+2）．
解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），
所以
原式=（x-2）（x2-2x+2）．
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
8
※※变式练习
1.分解因式：
9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：
2
所以，原式有因式9x-3x-2．
解9x4-3x3+7x2-3x-2
4322
=9x-3x-2x+9x-3x-2
232
=（9x2-3x-2）（x2+1）
=（3x+1）（3x-2）（x2+1）
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解
为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进
行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的
应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式
中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几
个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字
母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因
式分解的方法叫作待定系数法．
例3分解因式：
x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
9
分析由于
（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y），
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=（x+2y+m）（x+y+n）
22
=x+3xy+2y+（m+n）x+（m+2n）y+mn，
解之得m=3，n=1．所以
原式=（x+2y+3）（x+y+1）．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
※※变式练习
1.分解因式：
x4-2x3-27x2-44x+7．
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能
是±1，±7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式．
解设
原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）
=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
10
所以
原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，
d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出
待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
四、巩固练习：
1.分解因式：
（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）．
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项
式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解原式=[（x+y）2
2
-4xy[（x+y）
2
．令
，
xy=v
，则
-xy]
-2xy]
x+y=u
2
2
2
原式=（u-v）-4v（u-2v）
422
=（u2-3v）2
222
=（x+2xy+y-3xy）
五、真题精解：
1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以（x-1）（x-2）时所得的余数是什么？
（第12届“希望杯”试题）
解：
设原式=（x-1）（x-2）（ax+k）+（mx+n），当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，
解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以（x-1）（x-2）时的余数为x-1
2）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）
解：
原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为（x+1）（x+2），故可设原式=[（x+1）+ay][（x+2）+by]，将其展开得：
x2+（a+b）xy+aby2+3x+（2a+b）y+2，与原式对比系数得：
a+b=-2,ab=k,2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3
3）如果x3+ax2+bx+8有两个因式
x+1和x+2，求a+b的值。
（美国犹他州中学竞赛试题）
解法1：
设原式=（x+1）（x+2）（x+k）
，展开后得：
x3+（3+k）x
2+（3k+2）x+2k，对比原式系数得a=3+k,b=3k+2,8=2k，
所以a+b=4k+5=16+5=21
解法2：
因当x=-1或x=-2时，原式=0，分别代入后得
a-b+8=0,4a-2b+8=0，解得a=7,b=14，故a+b=14
真题实练：
11
1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A.（x+1）（x-1）=x2B.（a-b）（m-n）=（b-a）（n-m）C.ab-a-b+1=（a-1）（b-1）D.m2-2m-3=m（m-2-3/m）
（第8届“希望杯”试题）（提示：
本题简单，因式分解的概念）
2．下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（）
①a2b2-a2-b2-1
②x3-9ax2+27a2x-27a3
③x（b+c-d）-y（d-b-c）-2c+2d-2b
④3m（m-n）+6n（n-m）
⑤（x-2）2+4x
A.①②③B.②③④
C.③④⑤
D.①②④
（第10届“希望杯”试题）（提示：
立方差公式、提取公因式，但排除法最快）
3．设b≠c，且满足（
）（a-b）+
（b-c）=a-c，则
的值（
）
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.正负号不确定
（第1
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