完整word版因式分解超全方法1.docx
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完整word版因式分解超全方法1
因式分解的常用方法
第一部分：
方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
、提公因式法.：
ma+mb+mc=m（a+b+c）
、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
2222
（1）（a+b）（a-b）=a2-b2a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）（a±b）2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=（a±b）2；
22333322
（3）（a+b）（a-ab+b）=a+ba+b=（a+b）（a-ab+b）；
22333322
（4）（a-b）（a+ab+b）=a-ba-b=（a-b）（a+ab+b）．
下面再补充两个常用的公式：
2222
（5）a+b+c+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
例.已知a，b，c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是（）
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
例2、分解因式：
2ax10ay5bybx
（二）分组后能直接运用公式
22
例3、分解因式：
x2y2axay
例4、分解因式：
a22abb2c2
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2（pq）xpq（xp）（xq）进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么基本规律？
式，求符合条件的a.
例5、分解因式：
x25x6
例6、分解因式：
x27x6
（二）二次项系数不为
1的二次三项式一一
ax2
bx
C
条件：
（1）
a
a〔a2
a1
C1
（2）
c
C1C2
a
X
2
C2
（3）
b
C2
a?
C1
b
a〔C2
a2C1
分解结果：
ax
2bx
c=（a1xc1）（a2x
C2）
例7、
分解因式：
3x2
11x10
分析：
1..-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：
3x2
11x
10=（x2）（3x5）
练习
7、分解因式:
（1）
5x27x6
2
（2）3x27x2
2
（3）10x17x3
2
（4）6y11y10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。
1x：
8b
1"…-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
a28ab128b2=a2[8b（16b）]a8b（16b）
=（a8b）（a16b）
综合练习10、
（1）8x67x31
（2）12x211xy15y2
22
（3）（xy）3（xy）10（4）（ab）4a4b3
（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2
222222
（7）x4xy4y2x4y3（8）5（ab）23（ab）10（ab）
22non2
（9）4x4xy6x3yy10（10）12（xy）11（xy）2（xy）
思考：
分解因式：
abcx2（a2b2c2）xabc
五、换兀法。
例13、分解因式
（1）2005x2（200521）x2005
2
（2）（x1）（x2）（x3）（x6）x
解：
（1）设2005=a，则原式=ax2（a21）xa
=（ax1）（xa）
=（2005x1）（x2005）
（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
222
原式=（x7x6）（x5x6）x
设x2
5x
6A,
则x2
7x
6A
2x
•••原式:
=（A
2x）A
x2=A
22Axx2
=（A
x）2=（x
26x
6）2
练习13、分解因
式（
1）（x2
xy
y2）2
4xy（x
22、
y）
（2）（x2
3x
2）（4x2
8x
3）90
222222
（3）（a1）（a5）4（a3）
例14、分解因式
（1）2x4x36x2x
观察：
此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式
22
=x2（2x2
x6
1
12211
2）=x2（x2）（x）6
x
x
xx
设x-
t,则x
2
1t2
2i
2
x
x
•原式
=x22（t2
2）t
6
22
=x2t
t10
2221-
=x2t5t2=x2x5x2xx
=x-2x
2
.1
5x•x—
2=
=2x
25x
2x22x1
x
x
=（x1）
2（2x
1）（x2）
（2）
X44x：
32
x
4x
1
解：
原式=
-2.2
-x（x
4x
41
1--）
2=x
2x
1
2
1
4x—1
xx
x
x
设X
1
-y，
则x
1
y
2
x
x
•••原式=
22
=x（y
4y
3）=x2（y
1）（y
3）
2
1
1
2
/2
3x1
=x（x
—
1）（x—3）
=x
x
1x
x
x
练习
14、
（1）
6x47x3
36x27x
6
（2）
x42x3
x212（x
x2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分
•解因式
（1）
3x
3x24
解法
1——
拆项。
解法
2—
添项。
原式
=x3
13x2
3
原式=
3=x
3x2
4x
4x
4
=
（x
1）（x2x
1）
3（x1）（x1）
=
x（x
23x
4）
（4x
4）
=
（x
1）（x2x
1
3x3）
=
x（x
1）（x
4）
4（x
1）
=
（x
2
1）（x4x
4）
=
（x
1）（x2
4x
4）
=
（x
2
1）（x2）
=
（x
1）（x
2）2
（2）
9x
6x
x3
3
解:
原式=
（x9
1）（
x61）（x31）
=
（x3
1）（x6
x31）（x3
1）（x3
1）
（x3
1）
=
（x3
1）（x6
x31x31
1）
=
（x
1）（x2
x1）（x62x3
3）
练习
15、
分解因式
（1）
3x
9x
8
（2）（x1）4
（x2
1）2
（x
1）4
（3）
4x
7x2
1
（4）x4x2
2ax
1
2a
（5）
4x
4y
（x
y）4
（6）2a2b2
2a2c2
2b
2c2
a4b4c
七、待定系数法。
例16、分解因式x2xy6y2x13y6
分析：
原式的前3项x2xy6y2可以分为（x3y）（x2y），则原多项式
a3c
a
b
c
7
14,
4
•••b23c
2c8
•-ab=21
解得
练习17、
（1）
分解因式x23xy
10y2
x
9y
2
（2）
分解因式x23xy
2y2
5x
7y
6
（3）
已知：
x22xy
3y2
6x
14y
p能分解成两个一次因式
之积，求常数p并且分解因式。
（4）
k为何值时，x2
2xy
ky2
3x
5y2能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典一:
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解
因式。
2分解因式：
m3-4m=.
3、分解因式：
x2-4y2=•
4、分解因式：
x24x4=。
n,22.,
5、将x-yn分解因式的结果为（x+y）（x+y）（x-y），贝Un的值
为.
22几2几2
6、若xy5,xy6，则xyxy=,2x2y=。
二、选择题
7、多项式15m3n25m2n20m2n3的公因式是（）
A、5mnb、5m2n2c、5m2nd、5mn2
&下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
.a3a3a29口a2b2abab
A、B、
2———
3
2
m2m3mm2
Ca4a5aa4
5
D、
m
10.下列多项式能分解因式的是
（
）
22
（A）x-y（B）x+1（C）x
22
+y+y
2
（D）x-4x+4
2
11.把（x—y）—（y—x）分解因式为（）
A.（x—y）（x—y—1）B.（y—x）（x—y—1）
C.（y—x）（y—x—1）D.（y—x）（y—x+1）
12•下列各个分解因式中正确的是（）
222
A.10abc+6ac+2ac=2ac（5b+3c）
222
B.（a—b）—（b—a）=（a—b）（a—b+1）
C.
D.
x（b+c—a）—y（a—b—c）—a+b—c=（b+c—a）（x+y—1）
2
（a—2b）（3a+b）—5（2b—a）=（a—2b）（11b—2a）
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,
—2
A.2B.4C.2yD.4y
三、把下列各式分解因式：
那么
k应为（
14、nxny
15
、4m29n2
16、mmn
17
、a32a2bab2
18、
x2
16x2
19
22
9（mn）16（mn）；
五、解答题
20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
d45cm，外径D75cm,长I3m。
利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土？
（取3.14，结果保留2位有效数字）
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。
（1）x21x1x1
⑵x41x21x1x1
⑶x81x41x21x1x1
⑷x161x81x41x21x1x1
经典二：
、*•
因式分解小结
知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7.因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2x1
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
X5X4X和X2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，
此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式（X5X4X3）（X2X1）
X3（X2X1）（X2X1）
（X31）（X2X1）
（X1）（X2X1）（X2X1）
解二：
原式=（X5X4）（X3X2）（X1）
X4（X1）X2（X1）（X1）
（X1）（X4X1）
（X1）[（X42X21）X2]
（X1）（X2X1）（X2X1）
2.通过变形达到分解的目的
例1.分解因式X33X24
解一：
将3X2拆成2X2X2，则有
原式X32X2（X24）
X2（X2）（X2）（X2）
（X2）（X2X2）
2
（X1）（X2）2
解二：
将常数4拆成13，则有
原式X31（3X23）
（X1）（X2X1）（X1）（3X3）
（X1）（X24X4）
2
（X1）（X2）2
分析：
现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
22
证明：
（x24）（x210x21）100
（x
2）（x
2）（x
3）（x
7）
100
（x
2）（x
7）（x
2）（x
3）
100
（x2
5x
14）（x2
5x
6）
100
设yx25x，则
原式（y14）（y6）100y28y16（y4）2
无论y取何值都有（y4）20
（x24）（x210x21）100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
例：
分解因式：
（a2bc）3（ab）3（bc）3
分析：
本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：
设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
原式（AB）3A3B3
A33A2B3AB2B3A3B3
22
3A2B3AB2
3AB（AB）
3（ab）（bc）（a2bc）
说明：
在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
2222
a26ab9b2c210bc25b
中考点拨
例1.在
ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0
求证：
ac2b
证明：
222
a16bc6ab10bc0
0
即（a3b）2（c5b）20
（a8b
c）（a
2b
c）0
ab
c
a8b
c，
即a
8bc0
于是有a
2b
c
0
即ac2b
说明：
此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不
能丢分。
例2.已知：
x
1
2,则x
31
x
3x
解：
x3+
x
（x
$（x2x
1丄
x
）
（x
1
）[（x
x
丄）2
x
21]
2
1
2
说明：
利用x2
1
2（x
x
-）2
x
2等式化繁为易。
题型展示
1.若x为任意整数，求证：
（7x）（3x）（4x2）的值不大于100。
解:
（7x）（3x）（4x2）100
（x
7）（x
2）（x
3）（x
2）
100
（x2
5x
14）（x
25x
6）
100
[（x2
5x）
8（x2
5x）
16]
（x2
5x
4）2
0
2
（7x）（3x）（4x2）100说明：
代数证明问题在初二是较为困难的问题。
一个多项式的值不大
于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2.将
a2（a1）2（a2a）2分解因式，并用分解结果计算6272422。
解：
a2（a1）2（a2a）2
a2a22a1（a2a）2
2（a2a）1（a2a）2
22
（a2a1）2
22222
6272422（3661）24321849
说明：
利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
1.分解因式：
1）3x5
10x48x3
3x2
10x8
2）
（a2
3a
3）（a2
3a1）
5
3）
2x
2xy
3y2
3x5y
2
4）
3x
7x
6
2.已知：
xy6,xy1,求：
x3y3的值。
3.矩形的周长是28cm两边x,y使x3x2yxy2
积。
y30，求矩形的面
4.求证：
n35n是6的倍数。
（其中n为整数）
5.已知：
a、b、c是非
a2b2c21，a』丄）b（11）c（11）3，求
becaab
零实数，且
a+b+c的值。
6.已知：
a、b、c为三角形的三边，比较a2b2
c2和4a2b2的大小。
经典三：
因式分解练习题精选
一、填空：
（30分）
2
1、若x2（m3）x16是完全平方式，则m的值等于
22
2、xxm（xn）则m=n=
3、2xy2与12x6y的公因式是—
mn2224
4、若xy=（xy）（xy）（xy），则m=，n=
235
5、在多项式3y?
5y15y中，可以用平方差公式分解因式的
有，其结果是。
6、若x22（m3）x16是完全平方式，则m=。
7、x2（）x2（x2）（x）
2200420052006
8、已知1xx2x2004x20050,则x2006.
2
9、若16（ab）2M25是完全平方式M=。
10、x26x__（x3）2，x2___9（x3）2
22
11、若9xky是完全平方式，则k=。
22
12、若x24x4的值为0，则3x212x5的值是。
22
14、若xy4,xy6则xy
15、方程x4x0，的解是。
二、选择题：
（10分）
1、多项式a（ax）（xb）ab（ax）（bx）的公因式是（）
A、一a、B、a（ax）（xb）C、a（ax）D、a（xa）
22
2、若mxkx9（2x3），则m,k的值分别是（）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、
3、下列名式：
x2y2,x2y2,x2y2,（x）2（y）2,x4y4中能
用平方差公
式分解因式的有（）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
1111
4、计算（1^2）（1十）（1齐）。
10?
）的值是（）
1
A、B、
2
1^111,C.,D.
201020
三、分解因式：
（30分）
432
1、x42x35x2
6^2
2、3x3x
4、x2
4xy14y2
_5
5、x
x
6、x3
1
2
7、ax
bx2
bxaxba
4
8、x
18x2
81
42
9、9x36y
10、（x1）（x2）（x3）（x4）24
四、代数式求值（15分）
4，求x、y的值
2、若x、y互为相反数，且（x2）2（y1）2
b2）的值
3、已知ab2，求（a2b2）28（a2
五、计算：
（15）
3
（
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