完整版提公因式法分解因式典型例题.docx
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完整版提公因式法分解因式典型例题
因式分解
（1）
一知识点讲解
知识点一：
因式分解概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：
因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.
因式分解与整式乘法关系：
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
整式乘法
（a+b）‘=a2+2ab+b2
因式分解
a2+2ah+b2=（a+b）2
（a-by=a2-2ab+b2
a2-2ab+b2=（a-b）2
（a+b）（a-b）=a2-b2
a2-b2=（a+b）（a-b）
（x+3y）（x-3y）=x2-9y2
x2-9y2=（x+3yXr-3y）
知识点二：
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：
（短除法）
例如：
求20,36,80的最人公（约）数？
址大公倍数？
2
20
36
80
2
20
36
80
2
10
18
40
2
10
18
40
5
5
9
20
5
9
20
1
9
4
2、寻找公因式的方法:
3a2y-3ay+6y,
d（x-yf+b（x-y）2+（X-y）3,
-27a2b3+36aib2+9a2b
1•确定公因式的系数
当多项式中备项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的瑕人公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的垠大公因数。
2.确定相同字母
公肉式的字母是各项都含有的字母
3.看次数
相同字母的指数取址低次数
4.看整体
如果多项式中含冇相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。
5.看符号
若多项式的首项是则公因式的符号一般为负。
知识点三：
因式分解的方法（重点）
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.提取公因式法：
如果多项式的各项含方公肉式，那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言:
ma+mh+me=m（a+/?
+c）
3•提公因式的步骤:
（1）确定公因式
（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）另〜因式-牆
4•注意事项：
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块h考察因式分解的概念
1.
（2017春峰城区期末）卜列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
2.（2017秋扰宁县期末）卜•列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
A.+2x+3=（x+l）‘+2
B、（牙+yXx_y）=x2-y2
C.x2-xy+y2=（x-y）2
D、2x-2y=2（x-y）
3.（2017秋姑苏区期末）卜列从左到右的运算足因式分解的是（）
A、2d'-2a+l=2a（d-l）+l
B、（x_yXx+yXF—y?
C.9x:
-6x+l=（3x-l）2
D、x2+y2=（x-y）2+2xy
4.（2017秋华徳县校级期末）卜列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
A、3x+2y-l=5x-l
B、（3a+2b）（3d-2b）=9d‘一4b‘
.’1
c、X"+X=X"（1+-）
X
D、2x2-8y2=2（x+2yXx-2y）
5.（2017春新城区校级期中）卜列各式从左到右的变形是因式分解的是（）
A.a（a-b）=a2-ab
B、a2-2a+l=a（a-2）+1
C.x2-x=x（x-l）
D.X）&-x2y=x（y2-xy）
6.（2016秋濮阳期末）卜列式子中，
从左到右的变形是因式分解的是（）
A、（x-l）（x-2）=x'-3兀+2
B、x2-3x+2=（x-l）（x-2）
C、x'+4x+4=x（x-4）+4
D.x2+y2=（x+y）（x-y）
模块2:
考察公因式
1.（2017春抚宁县期末）多项式15加”+5加讪一20〃7”的公因式是（）
A.5mnB.5m2n2
C.5m2nD.5/n/r
2.（2017春东平县期中）把多项式一&初怙+16d'b廿一2滋％疋分解因式，应提的公因
式是（）
A、-8a'bcB、C、-4ahcD、24a'b'c‘
3.（2017秋凉州区末）多项式a2-9与亍一3。
的公因式是（）
A.d+3C>d—3
B.d+1D.d—1
4.（2017春邵阳县期中）多项式Sxn,yn~l-12x3,nyn的公因式是（）
A.xmynB.
C.4x,9lynD.
5.（2016春深圳校级期中）多项式-5〃用+25加十-10皿丫各项的公因式是（
）
D、-a2ci2b-ab2
7•观察下歹U各组录弋子：
①2d+b和d+b：
②5〃?
（a-b）和一d+b：
③3（d+b）和一d-b：
④x'-y'和x'+y'。
其中有公因式的是（）
A.©®
B、②®C、③®D.®®
模块3：
利用提公因式法分解因式
1因式分解的第一种类型：
直接提取公因式
1、分解因式：
（1）
（3）6d（d+b）-4b（a+b）
x2-3%
（2）-2x:
+18x2）-4x）l：
（4）--abc+-ab2-a2be
55
2因式分解的第二种类型：
变形后提取公因式
2.分解因式：
（1）3a（x-y）-6b（y-x）
（2）-a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）
3因式分解的第三种类型：
分组后提取公因式
3.分解因式：
<1）nix-my+iix-ny
（2）2a+4b-3ma-6mb
JOr
模块4：
提公因式法的综合应用
类型1：
利用提公因式法进行简便计算
（2）36.8x||+l|x20.2-2xl|
1•利用简便方法计算：
（1）3.2x200.9+4.7x200.9+200.9x2.1
类型2：
利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式，在计算求值：
（2x-l）'（3x+2）-（2x-l）（3x+2）‘-x（l-2x）（3x+2）其中x=l.5
3-（20】6秋唐河县期末）已知：
—015,说-第，求弘於的值。
4.已知d+b=-4,ab=2,求务项式4a'b+4ab：
一4a—4b的值。
5.若卬员+1=0,用因式分解法求一cibWb—ab'—b）的值.
7.不解方程组rX+J=6,求7）G-3y）‘一2（3y-_r）‘的值。
"一3〉，=1
类型3：
拔高培优题型
8.（2015杭州模拟）己知（19x—31）（13x—17）—（17-13x）（llx—23）町因式分解成（ar+b）（30x+c）,其中a、b.c均为整数，求a+b+c的值。
9.已知多项式F+2012F+201U+2012有•一个因式为F+Q+1,另一个因式为x2+fcv+2012,求a+b的值。
10.求证:
320W-4x32015+10x32014能被7整除。
11.己知a,b,c满足a/?
+d+/?
=Z>c+b+c=cd+c+a=3,求（a+l）（b+l）（c+1）的值。
（a、b、c都是正整数）
12.（学霸题中题★★★）若x2-x-l是处'+加'+1的一个因式，则b的值为（）
A、-2B、-1C、0D、2
13.（2017合肥月考***）要使多项式x2-2x-n能分解为两个整系数一次多项式之积,
则不人于100的自然数”的个数为（）
A、8B、9C、10D、11
14.（2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+X+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[l+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）‘
（1）上述分解因式的方法是,共应用了次。
（2）若分解l+x+x（x+l）+x（x+l）‘+...+x（x+l）'004,则需应用上述方法次，结果
是。
—
（3）分解因式：
l+x+x（x+l）+x（x+l）‘+...+x（x+l）"（〃为正整数）。
一、选择题
1.（2017开县一模）当a,b互为相反数时，代数式a2+ah-4的值为（）
A、4B、0C、-3D、-4
2.（2016秋乳山期末）边长为a,b的长方形周长为12,面积为10,则a2b+ab2的值为（）
3.（2017春蚌埠期末★）计算：
（一2严°+（-2严7所得的结果是（）
A、-2B、2C、-22016D、2：
016
4.（2017春乐亭县期末）（-8）2014+（-8）2013能被卜•列数整除的是（）
A、3B、5C、7D、9
5.（2017春源城区校级月考）把多项式p2（a-l）+p（l-a）分解因式的结果是（）
A、@_1"+。
）B、C、D、p（a_l）（p+l）
6.（2017春阳谷县期末）把X/，+3+XM+1分解因式得（）
A、y,+1（x2+l）B、x'\x5+x）C、x（x"“+x”）D、xn+1（.r:
+x）
7.（2017春北湖区校级期中）整式a'（a'-l）-a'+l的值（）
A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、结果的符号不确定
8.（2016赵县模拟）若ab=-3,ci-2h=5,则a2b-2ah2的值是（）
A、-15B、15C、2D、-8
9.（2016春高密市期末）将3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是（）
A、3x-9yB、3x+9yC、ci-bD、3（a-b）
10.（2016春临清市期末）计算（一3）"'+2x（-3）'i,得（）
A、3心B、（一3）”円C、一（一3）心d、（-3）m
11.（2016春深圳期末）若a+b=3.ab=-2,则代数式a2b+ab2的使为（
A、1B、-1C、-6D、6
12.（2016秋美兰区校级期中）若d+b=—5,c=2,则—dc—bc等于（）
A、10B、~10C、3D、—3
13.（2016秋简阳市期中）如果多项式mx+A^I分解为〃心一刃，则4为（）
A、mB、-myC、-yD、my
14.（2016春深圳期中）若a-b=2,=贝iab2-ci2b的值为（）
A、6B、5C、一6D、一5
15.（2016春港南区期中）设P=a‘（一a+b-c）,Q=-a（a2-ab-^ac）,则P与0的关系是（）
A、P=QB、P>QC、P16.（2016春锡山区校级月考）计算：
22014-（-2）2015的结果是（）
A、22015B、22014C、-22014D、3x22014
17.（2016春宿州校级月考）卜列运算中，因式分解正确的是（）
A、-m2+nui-m=-m（m+/?
-1）B、9abc-6a2b2=3/?
t（3-2ab）
C、3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）D、—ab?
+—a2b=—ab（a+b）
2.2,
18.（2015春杭州期末）多项式（x+2）（2x_l）_（x+2）可以因式分解成（x+zn）（2x+n）,
则in-n的值是（）
A、2B、-2C、4D、-4
19.（2015春莲湖区校级月考）把多项式3m（x-y）-2（y-x）2分解囚式的结來是（）
A、（x-y）（3m-2x-2y）B、（x-y）Qni-2x+2y）
C、（x-）'）（3〃7+2x-2y）D、（y-x）（3m+2x-2y）
二、填空题
1.（2016潍坊模拟）分解因式：
a4h-6ayh+9a2b=<>
2.（2017潍坊）因式分解：
x2-2x+（x-2）=。
3.（2017崇安区一模）分解因式（x+y）'—3（x+y）的结果是。
4.（2016秋内江期末）因式分解：
（x+y），-2y（x+y）二。
5.（2016滨海县二模）分解因式：
〃7（x-y）+〃（y-x）二o
6.（2017春酹陵市期末）因式分解：
6（x-3）+x（3-x）=o
7.（2017春碑林区校级期中）分解因式2〃7（〃7--8〃厂（〃—加）二«
8.（2016陕西校级三模）分解因式:
（3a-b\a+b）-ab-b2=。
9.（2017沂源县一模）因式分解（a+b）（a+b-l）-a-b+1的结果为。
10.（2016春寿光市期末）计算：
-5652x0.13+4652x0.13二。
11.（2015秋孟津县期末）简便计算：
121x0.13+12.1x0.9+1.21x12二。
12.（2017春宜兴市期中）把多项式-16疋+40十），提出一个公因式-8疋后，另一个因式
是O
13.（2016安徽模拟）已知长和宽分别为的长方形，其而枳等于15,周长等于16,则
2a~b+lab1-。
14.（2016北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式
16.（2015秋黄山期末）若a=2,a-2bc=3,贝^2a2-4abc的值为。
17.（2016秋望谟县期末）已知x+y=10,xy=16,则x'y+xy'的值为。
18.（2017春临泽县校级期中）若m-n=3,mn=-2,则4nrn-4nm24-1的值为
19.（2017秋越秀区期末）化简：
«+1+a（a+1）+a（a+1）2+...4-a（a+1）99=
三、解答题。
1.（2015春乐平市期末）若a+b=_3,=求丄a'b+a'b'+Lab'的值。
22
2.用提公因式法将下列各式分解因式:
（1）（a-b）（x-y）-（Z?
-a）（x+y）
（2）x（a-x）（a-y）—y（x-a）（y-a）
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