学年度最新浙教版九年级数学下册《三角形的内切圆》单元考点练习及答案解析.docx

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学年度最新浙教版九年级数学下册《三角形的内切圆》单元考点练习及答案解析

2.3三角形的内切圆

1.如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（B）

A.△ACD的外心B.△ABC的外心

C.△ACD的内心D.△ABC的内心

（第1题）　　　　（第2题）

2.如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（B）

A.B.

C.D.

（第3题）

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝（D）

A.B.

C.D.2

4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝　125°　.

（第4题）　　　（第5题）

5.如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，－2），点A的坐标是（－3，b），若反比例函数y＝（x<0）的图象经过点A，则k＝－15.

6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，求PQ的长.

（第6题）

【解】　∵四边形ABCD为矩形，

∴△ACD≌△CAB，

∴⊙P和⊙Q的半径相等.

在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝5，

∴⊙P的半径r＝＝1.

如解图，连结PQ，过点Q作QE∥DA，交⊙Q于点E，连结PE.

（第6题解）

∵BC＝3，⊙Q与⊙P的半径都为1，

∴易得PE∥AB.

∴∠QEP＝90°.

在Rt△QEP中，∵QE＝BC－2r＝3－2＝1，EP＝AB－2r＝4－2＝2，

∴PQ＝＝＝.

7.如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.

（第7题）

（1）求△ADE的周长.

（2）求内切圆的面积.

【解】　

（1）连结AF，BO，CO.

∵AC＝AB＝10，BC＝12，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，

∴AF过圆心O且AF⊥BC，AD＝AE，

∴BD＝BF＝CF＝CE＝6，∴AD＝AE＝4.

∵AB＝AC，∴＝.

又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.

∴＝＝＝.∴DE＝×12＝.

∴△ADE的周长为4＋4＋＝.

（2）连结OD.

由

（1），得AF＝＝＝8.

设FO＝r，则AO＝8－r.

∵OD2＋AD2＝AO2，∴r2＋42＝（8－r）2，

∴r＝3，∴内切圆的面积为π×32＝9π.

8.如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG.且⊙O的半径长为1，则下列结论中，不成立的是（A）

（第8题）

A.CD＋DF＝4B.CD－DF＝2－3

C.BC＋AB＝2＋4D.BC－AB＝2

（第8题解）

【解】　如解图，设⊙O与BC的切点为M，连结MO并延长，交AD于点N.

由折叠，知OG＝DG.

∵OG⊥DG，∴∠MGO＋∠CGD＝90°.

又∵∠MOG＋∠MGO＝90°，

∴∠MOG＝∠CGD.

在△OMG和△GCD中，∵

∴△OMG≌△GCD（AAS）.

∴GC＝OM＝1.

∴CD＝MG＝BC－BM－GC＝BC－2.

∵AB＝CD，∴BC－AB＝2.

设AB＝a，BC＝b，AC＝c.

由⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a＋b－c），

∴c＝a＋b－2.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得a2＋b2＝（a＋b－2）2，

整理，得2ab－4a－4b＋4＝0.

又∵BC－AB＝2，即b＝2＋a，代入，得

2a（2＋a）－4a－4（2＋a）＋4＝0，

解得a1＝1＋，a2＝1－（不合题意，舍去）.

∴b＝3＋.

∴BC＋AB＝2＋4.

设DF＝x.

在Rt△ONF中，∵FN＝3＋－1－x＝2＋－x，OF＝x，ON＝1＋－1＝，

∴（2＋－x）2＋（）2＝x2，解得x＝4－.

∴CD－DF＝＋1－（4－）＝2－3，CD＋DF＝＋1＋（4－）＝5.

综上所述，只有选项A不成立.

（第9题）

9.如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOBC.反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC，求k的值.

【解】　如解图，过正方形对角线的交点D作DN⊥BO于点N.设圆心为Q，切点为H，E，连结HQ，QE.

设点D（x，y）.

∵反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC的对角线的交点D，

（第9题解）

∴DO＝CD，NO＝DN.

易得HQ＝QE，HC＝CE，QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB＝90°，

∴四边形HQEC是正方形.

∵半径为4－2的圆内切于△ABC，

∴DQ＝HQ＝4－2.

∵HQ2＋HC2＝QC2，

∴QC2＝2HQ2＝2×（4－2）2＝（4－4）2，

∴QC＝4－4，

∴CD＝4－4＋4－2＝2，∴DO＝2.

∵NO2＋DN2＝DO2＝

（2）2＝8，

∴2NO2＝8，∴NO2＝4，∴DN·NO＝4，

即xy＝k＝4.

（第10题）

10.如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F.

（1）填空：

当AC＝BC（答案不唯一）时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）.

（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r＝1，DE，AC的延长线交于点G，求GF的长.

【解】　

（1）由题意，易得CE＝CF，

∴∠CFE＝∠CEF.

∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，

∴∠A＝（180°－∠C）＝∠CFE，∴EF∥AB.

∴当AC＝BC时，EF∥AB.

（2）连结OE，OF.易得四边形OECF为正方形，

∴CE＝CF＝r＝1，∴EF＝.

∵EF∥AB，CE＝CF，∴AC＝BC.

∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC.

∴r＝1＝＝，解得AC＝2＋.∴BC＝2＋，AB＝2＋2.

∴AD＝AF＝＋1.

∵EF∥AB，∴△GEF∽△GDA.

∴＝，即＝，

解得GF＝＋2.

（第11题）

11.如图，在△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，O为BC上一点，过B，I两点的⊙O交BC于点D，tan∠CBI＝，AB＝6.

（1）求线段BD的长.

（2）求线段BC的长.

【解】　

（1）如解图，连结CI并延长交AB于点E，连结ID.

∵I是△ABC的内心，

（第11题解）

∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB.

又∵AC＝BC，

∴CE垂直平分AB，

∴BE＝AB＝3.

∵∠ABI＝∠CBI，tan∠CBI＝，∴＝＝.

∴IE＝1，∴BI＝＝.

∴DI＝.∴BD＝＝.

（2）∵BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，

∴∠BIC＝90°＋∠A＝90°＋∠ABC＝90°＋∠IBC，

∴∠IBC＝∠BIC－90°.

∵∠DIC＝∠BIC－90°，∴∠IBC＝∠DIC.

又∵∠BCI＝∠ICD，

∴△BIC∽△IDC.∴＝.

∵CI＝CE－IE＝－1，

∴BC＝3（－1），

解得BC＝（负值舍去）.

12.如图①～④，在直角边长分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，在图⑩中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，求S1＋S2＋S3＋…＋S10的值.

（第12题）

【解】　在图①中，∵三角形的两直角边长分别为3和4，

∴斜边长为5，

∴内切圆半径r＝＝1，

∴内切圆面积S＝πr2＝π.

（第12题解）

在图②中标出字母如解图所示.

∵S△ABC＝×3×4＝×5×CD，

∴CD＝.

由勾股定理，得AD＝＝，

∴BD＝5－＝.

同①可得⊙O的半径＝＝，⊙E的半径＝＝，

∴S⊙O＋S⊙E＝π×＋π×＝π.

……

由上述规律可知，在图⑩中，S1＋S2＋S3＋…＋S10＝π.

13.如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△BDE的内心，若∠BFE的度数为整数，则∠BFE至少是多少度？

（第13题）

【解】　∵D是△ABC的内心，

∴AD，BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，

∴∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC.

∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，

∴∠ABC＋∠BAC＝180°－∠ACB，

∴∠BAD＋∠ABD＝∠ABC＋∠BAC＝90°－∠ACB.

∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，

∴∠ADB＝180°－（∠BAD＋∠ABD）＝90°＋∠ACB.

∵E是△ABD的内心，

∴DE是∠ADB的平分线，

∴∠BDE＝∠ADB＝45°＋∠ACB.

同理可得∠BFE＝90°＋∠BDE.

∴∠BFE＝90°＋

＝90°＋22°＋

＝112°＋.

要使∠BFE最小，且度数为整数，则∠ACB＝4°，

此时∠BFE为113°.

故∠BFE至少为113°.