人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的应用一》复习讲义.docx
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人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组的应用一》复习讲义
二元一次方程组的应用
（一）
知识导图
实际问题
设未知数，列方程组数学问题
（二元或三元一次方程组）
解代入法方加减法
程（消元）
组
实际问题的答案
检验数学问题的解
（二元或三元一次方程组的解）
基础知识点
一道应用题，一般的，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组时，由于把思考量分摊到了两个方程上，降低了列方程思考的难度，但解方程过程的运算量较大．
在列二元一次方程组解应用题时，要注意题中必有两个条件，各用来列一个二元一次方程，构成方程组．
重点题型1
【和差倍分（比例）问题】
例题1：
顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少人？
解：
设，，依题意得：
变式练习1-1：
夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
变式练习1-2：
现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底．一个盒身与两个盒底配成一个盒子，问：
用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
变式练习1-3：
某校春季运动会比赛中，八年级
（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：
（1）班与（5）班得分比为6:
5；乙同学说：
（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分。
若设
（1）班得
x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）
6x5y
A．
x2y40
6x5y
B．
x2y40
5x6y
C．
x2y40
5x6y
D．
x2y40
重点题型2
【整数解】
例题2：
（1）①已知二元一次方程5x+3y＝22．填表：
x
0
1
2
3
4
5
y
②求出方程的非负整数解．
（2）一根长20米的钢管，刚好截成若干根长3米和2米的规格的钢管，则共几种不同的截法？
变式练习2-1：
假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（）
A．5种B．4种C．3种D．2种
变式练习2-2：
某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威．可租用的汽车有两种：
一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载．
（1）请你给出所有的租车方案；
（2）若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由．
变式练习2-3：
小明有36枚硬币，共24元，求其中1角、5角、1元的硬币各有多少枚？
两步一回头
1．设“●”、“■”表示两种不同的物体，现用天平称了两次，如图所示，那么这两种物体的重量分别为：
、．
2．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳
市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（）．
A．129B．120C．108D．96
3．有人问某男孩，有几个兄弟，几个姐妹，他回答说：
“我的兄弟和姐妹一样多．”再问他妹妹有几个兄弟，几个姐妹，她回答说：
“我的兄弟是姐妹的2倍．”若设兄弟x人，姐妹y
人，则可列出方程组：
．
4．某车间有56名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓16个或螺母24个，问怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母按1:
2配套设生产螺栓为x人，生产螺母为y人，生产的螺栓和螺母按1:
2配套，则方程可列为（）
xy56
A．
216x24y
xy56
B．
224y16x
xy56
C．
216y24x
xy56
D．
24x16y
5．父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父亲的年龄是（）
A．20B．30C．40D．50
问题探究
【重叠、包含数量关系，韦恩图】
例题3：
阅读以下材料，回答问题．题目中的数量有包含或重叠关系时，可以用韦恩图来表示题中的数量关系．约翰韦恩（JohnVenn）
是十九世纪英国的哲学家和数学家，他在1881年发明了以其名字命名的韦恩图．在剑桥大学的Caius学院的彩色玻璃窗上保留着对他的这个发明的纪念．韦恩图是形如下图的封闭曲线，可以直观的表示数量
之间的关系．
（1）九年级（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：
物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，试用图1，分析题目中的数量关系，求这两种实验都做对的有
（）
A．17人B．21人C．25人D．37人
（2）（初中联赛试题改编）某班参加一次智力竞赛，共A、B、C三道题，每题或者得满分或者得0分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题A的人数与答对题B的人数之和为29，答对题A的人数与答对题C的人数之和为25，答对题B的人数与答对题C的人数之和为20，求这个班有多少人？
（3）（CMO试题）在某次数学竞赛中共有甲，乙，丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少选做一题．在所有没解出甲题的同学中，解出丙题的人数的2倍，解出甲题的人数比余下的人数多一人，只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
拓展延伸
1．2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100枚，金牌数位列世界第一．其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少7枚．问金、银、铜牌各多少枚？
2．如图，周长为68的长方形ABCD被分成7个形状大小一样的小长方形，求长方形ABCD的面积．
3．现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
4．某中学新建了一栋4层的教学大楼每层有8间教室，进出这栋大楼共有四道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同．安全检查中，对四道门进行了测试：
当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：
建造这4道门是否符合安全规定，请说明理由．
课堂加油站
一般情况下，对于二元一次方程组
，当
时，利用加减消元法，可推出解二元一次方程组的公式法：
，
．可用公式法求出一个未知数后，再代入求另一个
未知数．
课后练习
1．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人．下面所列的方程组正确的是（）
xy34
A．
x12y
xy34
B．
x2y1
xy34
C．
2xy1
x2y34
D．
x2y1
2．某次足球比赛的记分规则如下：
胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了14
场，其中负5场，共得19分．若设胜了x场，平了y场，则可列出方程组：
．
3．某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，则这所中学现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少人？
课堂小测
1．已知x的2倍比y大30，y的3倍比x的4倍少20．求x，y两数．则可得方程组：
．
2．买苹果和梨共100千克，其中苹果的重量是梨的重量的2倍少8千克，求苹果和梨各买多少？
若设买苹果x千克，买梨y千克，则列出的方程组应是（）
xy100
A．
y2x8
xy100
B．
y2x8
xy100
C．
x2y8
xy100
D．
x2y8
3．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（）
A．10g，40g
B．15g，35gC．20g，30gD．30g，20g
4．一个长方形的周长是10，长比宽的2倍少1，若设长为x，宽为y，则所列的方程组正确的是（）
xy10
A．
y2x1
xy10
B．
x2y1
xy5
C．
y2x1
xy5
D．
x2y1
5．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3:
2，求两种球各有多少个？
若设篮球有x个，排球有y个，依题意得到的方程组是（）
x2y3
A．
3x2y
x2y3
B．
3x2y
x2y3
C．
2x3y
x2y3
D．
2x3y
6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（）
A．3场B．4场C．5场D．6场
7．若买2支圆珠笔，1本日记本需4元；买1支圆珠笔，2本日记本需5元，则买4支圆珠笔，4本笔记本需元．
8．已知一个两位数，它的十位数字x比个位数字y大1，若颠倒个位与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数，则下面所列的方程组正确的是（）
xy1
A．
（xy）（yx）9
xy1
C．
10xy10yx9
xy1
B．
10xyyx9
xy1
D．
10xy10yx9
9．某顾客在商场搞活动期间购买了甲、乙两种商品，分别是以7折和9折的优惠购买的，共付款386元，这两种商品原价和为500元，则甲、乙两商品的原价分别是（）
A．320元，180元B．300元，200元
C．330元，170元D．310元，190元
10．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本2元，乙种笔记本每本3元，每种笔记本至少买6本，则张老师刚好用完
50元购买笔记本的方案共有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【参考答案】
重点题型1
例题1：
解：
设到德庆的人数为x人，到怀集的人数为y人
xy200
x133
依题意，得方程组：
x2y1
解这个方程组得：
y67
答：
到德庆的人数为133人，到怀集的人数为67人．
变式练习1-1：
调价前碳酸饮料每瓶3元，果汁饮料每瓶4元．
变式练习1-2：
解：
设用x张铁皮做盒身，用y张做盒底．则xy190
8x222y
答：
用110张铁皮做盒身，用80张铁皮做盒底．
，解得x110；
y80
变式练习1-3：
D
重点题型2
x2
例题2：
（1）①填表略；②
y4
（2）3种
变式练习2-1：
C
变式练习2-2：
解：
（1）设乘8人的车为x辆，乘4人的车为y辆，则8x＋4y＝36，2x＋y＝18
所有租车方案如下：
一
二
三
四
五
8人车
0
1
2
3
4
4人车
9
7
5
3
1
（2）8人车平均每人37.5元，4人车平均每人50元，8人车最多时，即租
4辆8人车，1辆4人车，费用最小，答：
略．
变式练习2-3：
1角、5角、1元枚数分别为：
0、24、12或5，15，16或10、6、20
两步一回头
题号
1
2
3
4
5
答案
30，40
D
x1y
x2（y1）
A
D
问题探究
例题3：
（1）C；
（2）20人；
（3）设解出甲、乙、丙三题的学生的分别为A、B、C，用韦恩图表示，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生，如图，人数分别为：
a，b，c，d，e，f，g表示．根据题意，列出方程组，解得：
b＝6，即解出乙题的有6人．
拓展延伸
1．金牌51枚，银牌21枚，铜牌28枚
2x5y
x10
2．解：
设小长方形的长为x，宽为y，则
2（2xxy）68
10×4×7＝280，答：
长方形ABCD的面积为280．
，解得
y4
3．B
4．
（1）120名，80名；
（2）4道
课堂小测
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2xy30
3y4x20
D
C
D
C
C
12
D
A
B
课后练习
xy514
1．B2．
3xy19
3．初中生1400人，高中生2800人
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