北师大数学八年级下培优组卷平移与旋转.docx

北师大数学八年级下培优组卷平移与旋转.docx

《北师大数学八年级下培优组卷平移与旋转.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学八年级下培优组卷平移与旋转.docx（41页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

北师大数学八年级下培优组卷平移与旋转

北师大数学八年级下培优组卷-平移与旋转

1．如图，已知Rt△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）．将△ABC平移，使点A与点M（2，3）重合，得到△MNP．

（1）将△ABC向　　　　个单位长度，然后再向　　　　个单位长度，可以得到△MNP．

（2）画出△MNP．

（3）在

（1）的平移过程中，线段AC扫过的面积为　（只需填入数值，不必写单位）．

【分析】

（1）利用网格特点和平移的性质得出答案；

（2）再利用

（1）中平移的性质得出△MNP；

（3）先由AC平移到A1C1，再由A1C1平移到MP，所以线段AC扫过的部分为两个平行四边形，于是根据平行四边形的面积公式可计算出线段AC扫过的面积．

【解答】解：

（1）将△ABC向右平移5个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△MNP；

故答案为：

右，5，上，1；

（2）如图所示：

△MNP，即为所求；

（3）线段AC扫过的面积为：

4×5+1×6＝26．

故答案为：

26．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：

确定平移后图形的基本要素有两个：

平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形

2．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1．

（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．

（3）在x轴上找一点P，满足点P到点C1与C2距离之和最小，并求出P点的坐标．

【分析】

（1）分别将点A、B、C向右平移2个单位，然后顺次连接；

（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）利用最短路径问题解决，首先作C1点关于x轴的对称点C3，再连接C2C3与x轴的交点即为所求．

【解答】解：

（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；

（2）如图所示，△A2B2C2为所求做的三角形；

（3）∵C1坐标为（﹣1，2），C3坐标为（﹣1，﹣2），

∴C2C3所在直线的解析式为：

y＝

x﹣

，

令y＝0，则x＝

，

∴P点的坐标（

，0）．

【点评】本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）在x轴上求点P的坐标，使|PA﹣PB|的值最大．

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）延长BA，交x轴于P，利用三点共线求差最大得出P点位置．

【解答】解：

（1）如图所示：

△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：

△A2B2C2，即为所求；

（3）如图所示，此时|PA﹣PB|的值最大，P点坐标为：

（﹣2，0）．

【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换和轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．

4．四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝AD，线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC、ED．

（1）求证：

AC＝DE；

（2）若DC＝4，BC＝6，∠DCB＝30°，求AC的长．

【分析】

（1）连接BD，根据等边三角形的性质以及旋转的性质，即可得到△ABC≌△DBE（SAS），进而得出AC＝DE；

（2）连接CE，根据∠BCE＝60°，∠DCB＝30°，可得∠DCE＝90°，再根据DC＝4，BC＝6＝CE，运用勾股定理即可得到DE的长，进而得出AC的长．

【解答】解：

（1）如图，连接BD，

∵∠DAB＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝DB，∠ABD＝60°，

∵线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，

∴CB＝EB，∠CBE＝60°，∴∠ABC＝∠DBE，

在△ABC和△DBE中，

，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE；

（2）如图，连接CE，

由CB＝EB，∠CBE＝60°，可得△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，

又∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，

∵DC＝4，BC＝6＝CE，∴Rt△DCE中，DE＝

＝2

，

∴AC＝2

．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：

对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

5．将两块全等的三角板如图①楔放，其中∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠A'＝∠A＝30°．

（1）将图①中的△A'B'C顺时针旋转45°得图②，点P'是A'C与AB的交点，点Q是A'B'与BC的交点，

求证：

CP'＝CQ；

（2）在图②中，若AP'＝3，求CQ长．

【分析】

（1）由“ASA”可证△A′CQ≌△ACP′，可得CP′＝CQ；

（2）由直角三角形的性质和全等三角形的性质可求CP′＝CQ

．

【解答】解：

（1）∵将△A′B′C顺时针旋转45°，

∴∠ACA′＝45°，AC＝A′C，∠A＝∠A′，

∵∠A′CB′＝∠ACB＝90°，

∴∠BCA′＝∠ACA′＝45°，且AC＝A′C，∠A＝∠A′，

∴△A′CQ≌△ACP′（ASA）

∴CP′＝CQ；

（2）如图②，过点P′作P′E⊥AC，

∵∠A＝30°，AP′＝3，P′E⊥AC，

∴P′E＝1.5，

∵∠ACA′＝45°，P′E⊥AC，

∴CE＝P′E＝1.3，

∴P′C＝

，∴CP1＝CQ＝

．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△A′CQ≌△ACP′是本题的关键．

6．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．

（1）求∠A的度数；

（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．

【分析】

（1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；

（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD＝

＝

，即可得出∠CAD＝30°，进而得出α的度数．

【解答】解：

（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，

∴CB＝CB′

∵点B′可以恰好落在AB的中点处，

∴点B′是AB的中点．

∵∠ACB＝90°，

∴CB′＝

AB＝BB′，

∴CB＝CB′＝BB′，

即△CBB′是等边三角形．

∴∠B＝60°．

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＝30°；

（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD＝

AC．

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，sin∠CAD＝

＝

，

∴∠CAD＝30°，

∵CA＝CA′，

∴∠A′＝∠CAD＝30°．

∴∠ACA′＝120°，即α＝120°．

【点评】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．

7．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．

（1）求证：

AD＝DE；

（2）求∠DCE的度数；

（3）若BD＝1，求AD，CD的长．

【分析】

（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；

（2）利用四边形的内角和即可求出结论；

（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．

【解答】

（1）证明：

∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE

∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，

∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∵△ABC为等边三角形

∴∠BAC＝60°

∴∠DAE＝60°

∴△ADE为等边三角形，

∴AD＝DE，

（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°

∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，

（3）∵△ADE为等边三角形

∴∠ADE＝60°

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°

又∵∠DCE＝90°

∴DE＝2CE＝2BD＝2，

∴AD＝DE＝2

在Rt△DCE中，

．

【点评】此题是旋转的性质，主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△ADE是等边三角形．

8．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．

（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝　　；

（2）试探索：

在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？

若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；

（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．

【分析】

（1）求出∠COE的度数，即可求出答案；

（2）分为两种情况，根据∠AOC＝90°和∠DOE＝60°求出即可；

（3）根据∠AOE＝7∠COD、∠DOE＝60°、∠AOC＝90°求出即可．

【解答】解：

（1）∵OC⊥AB，

∴∠AOC＝90°，

∵OD在OA和OC之间，∠COD＝20°，∠EOD＝60°，

∴∠COE＝60°﹣20°＝40°，

∴∠AOE＝90°+40°＝130°，

故答案为：

130°；

（2）在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，

有两种情况：

①如图1、∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠COE＝60°，

∴∠AOD﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，

②如图2、∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+∠COD，∠COE＝∠DOE+∠DOC＝60°+∠DOC，

∴∠AOD﹣∠COE＝（90°+∠COD）﹣（60°+∠COD）＝30°，

即△ODE在旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；

（3）如图1、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，

∴90°+60°﹣∠COD＝7∠COD，

解得：

∠COD＝18.75°，

∴∠AOE＝7×18.75°＝131.25°；

如图2、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，

∴90°+60°+∠COD＝7∠COD，

∴∠COD＝25°，

∴∠AOE＝7×25°＝175°；

即∠AOE＝131.25°或175°．

【点评】本题考查了角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键，题目比较好，难度不大．

9．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上（网格线的交点）．

（1）请在如图所示的网格平面内建立适当的平面直角坐标系，使点A坐标为（﹣1，2），

点B的坐标为（﹣5，2）；（画出直角坐标系）

（2）点C的坐标为（　　，　　）（直接写出结果）

（3）把△ABC先向下平移6个单位后得到对应的△A1B1C1，再将△A1B1C1沿y轴翻折至△A2B2C2；

①请在坐标系中画出△A2B2C2；

②若点P（m，n）是△ABC边上任意一点，P2是△A2B2C2边上与P对应的点，写出点P2的坐标为（　　，　　）；（直接写出结果）

③试在y轴上找一点Q，使得点Q到A2，C2两点的距离之和最小，此时，QA2+QC2的长度之和最小值为　　．（在图中画出点Q的位置，并直接写出最小值答案）

【分析】

（1）建立适当的平面直角坐标系，根据点A坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（﹣5，2）即可画出直角坐标系；

（2）根据坐标系即可写出点C的坐标；

（3）把△ABC先向下平移6个单位后得到对应的△A1B1C1，再将△A1B1C1沿y轴翻折至△A2B2C2；

①即可在坐标系中画出△A2B2C2；

②若点P（m，n）是△ABC边上任意一点，P2是△A2B2C2边上与P对应的点，即可写出点P2的坐标；

③根据对称性即可在y轴上找一点Q，使得点Q到A2，C2两点的距离之和最小，进而可以求出QA2+QC2的长度之和最小值．

【解答】解：

（1）∵点A坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（﹣5，2），

如图所示：

即为所画出的直角坐标系；

（2）根据坐标系可知：

点C的坐标为（﹣2，5），

故答案为：

﹣2，5；

（3）把△ABC先向下平移6个单位后得到对应的△A1B1C1，

再将△A1B1C1沿y轴翻折至△A2B2C2；

①如图即为坐标系中画出的△A2B2C2；

②点P（m，n）是△ABC边上任意一点，

P2是△A2B2C2边上与P对应的点，

∴点P2的坐标为（﹣m，n﹣6），

故答案为：

﹣m，n﹣6；

③根据对称性可知：

在y轴上找一点Q，使得点Q到A2，C2两点的距离之和最小，

∴连接A2C1交y轴于点Q，此时QA2+QC2的长度之和最小，

即为A2C1的长，A2C1＝3

，

∴QA2+QC2的长度之和最小值为3

．

故答案为：

3

．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换、勾股定理、轴对称﹣最短路线问题、折叠问题，解决本题的关键是综合利用以上知识．

10．已知△ABC为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）．将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE．连结DE、BE．

（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系．

（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明．

【分析】

（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，由旋转的性质得：

∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，得出∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°，求出∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°，在Rt△ABF中，由三角函数得出

＝sin60°＝

，AB＝

AF＝

AF，即可得出结论．

【解答】解：

（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，

由旋转的性质得：

∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）EB+DB＝

AF；理由如下：

由

（1）得：

△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°，

∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°，

∵AF⊥EB，

∴∠AFB＝90°，

在Rt△ABF中，

＝sin60°＝

，

∴AB＝

AF＝

AF，

∵AD+DB＝AB，

∴EB+DB＝AB，

∴EB+DB＝

AF．

【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键．

11．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．

（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；

（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

【分析】

（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，由旋转的性质得：

∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，得出∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE，即可得出结论；

（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．由△ACD≌△BCE，推出∠CBE＝∠A＝60°，推出点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：

当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD＝CE＝CF，利用勾股定理求出CF即可．

【解答】解：

（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，

由旋转的性质得：

∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE．

（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠A＝60°，

∴点E的运动轨迹是直线BE，

根据垂线段最短可知：

当点E与F重合时，AE的值最小，

此时CD＝CE＝CF，

∵∠ACB＝∠CBE＝60°，

∴AC∥EF，

∵AF⊥BE，

∴AF⊥AC，

∴CF＝

＝

＝2

，

∴CD＝CF＝2

【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键．

12．

（1）已知a为正整数，关于x的不等式组

的整数解仅2、3、4，则a的最大值是　　．

（2）如图，△ABC中，AC＝

，∠A＝45°，∠B＝30°，P是BC边上一点（不含端点），将PC绕着点P逆时针旋转得到PC′，旋转角α（0＜α＜180°），若旋转过程中，点C′始终落在△ABC内部（不包含边上），则PC的取值范围是　　．

【分析】

（1）首先解不等式组，用a表示出不等式组的解集，根据不等式的整数解仅有3，4，5，即可确定a的值，从而求解；

（2）过C作CD⊥AB于D，过P作PH⊥AB于H，设CP＝x＝PC'，则BP＝12﹣x，PH＝

（12﹣x），依据旋转过程中，点C′始终落在△ABC内部（不包括边上），即可得到PC'＜PH，即x＜

（12﹣x），进而得出PC的取值范围．

【解答】解：

（1）解不等式组

得：

﹣

＜x≤

，

∵整数解仅有2，3，4，

∴1≤﹣

＜2，解得：

﹣40＜a≤﹣20，

∴a的最大值为﹣20，故答案为：

﹣20；

（2）如图，过C作CD⊥AB于D，过P作PH⊥AB于H，

∵AC＝6

，∠A＝45°，∠B＝30°，

∴AD＝CD＝6，BC＝2CD＝12，

设CP＝x＝PC'，则BP＝12﹣x，PH＝

（12﹣x），

∵旋转过程中，点C′始终落在△ABC内部（不包括边上），

∴PC'＜PH，即x＜

（12﹣x），

解得x＜4，

又∵PC＞0，∴0＜PC＜4，

故答案为：

0＜PC＜4．

【点评】本题考查了不等式的整数解，旋转的性质、等腰直角三角形、含30°角直角三角形的性质的应用．解题时注意旋转前后的对应关系，对应点到旋转中心的距离相等．

13．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．

（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图

（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；

（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图

（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．

【分析】

（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CBE，根据三角形的外角的性质得到∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．根据旋转的性质得到AF＝AD，∠DAF＝120°．根据全等三角形的性质得到AQ＝QE，于是得到结论．

【解答】

（1）补全图形图1，

证明：

在△ABD和△BEC中，

∴△ABD≌△BEC（SAS）

∴∠BAD＝∠CBE．

∵∠APE是△ABP的一个外角，

∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；

（2）补全图形图2，

，

证明：

在△ABD和△BEC中，

∴△ABD≌△BEC（SAS）

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠APE是△ABP的一个外角，

∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．

∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，

∴AF＝AD，∠DAF＝120°．

∵∠APE＝60°，

∴∠APE+∠DAP＝180°．

∴AF∥BE，

∴∠1＝∠F，

∵△ABD≌△BEC，

∴AD＝BE．

∴AF＝BE．

在△AQF和△EQB中，

△AQF≌△EQB（AAS），

∴AQ＝QE，

∴

，

∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，

且AE＝BC，CD＝BD．

∴AE＝CD，

∴

．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

14．

（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．

求：

①旋转角的度数　　；

②线段OD的长　　；

③求∠BDC的度数．

（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？

请给出证明．

【分析】

（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；

②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；

③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；

（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝

OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．

【解答】解：

（1）①∵△ABC为等边三角形，

∴BA＝BC，∠ABC＝60°，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD＝∠ABC＝60°，

∴旋转角的度数为60°；

②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴BO＝BD，

而∠OBD＝60°，

∴△OBD为等边三角形；

∴OD＝OB＝4；

③∵△BOD为等边三角形，

∴∠BDO＝60°，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴CD＝AO＝3，

在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，

∵32+42＝52，

∴CD2+OD2＝OC2，

∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，

∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；

（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，

∴△OBD为等腰直角三角形，

∴OD＝

OB，

∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，

∴OA2+2OB2＝OC2，

∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．

【点评】本题考查了旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、