届第一轮复习二次方程13.docx
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届第一轮复习二次方程13
2014届第一轮复习
-------二次方程
（1）
考纲要求
命题趋势
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的解法．
3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
4．会列一元二次方程解决实际问题.
结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.
知识梳理
一、一元二次方程的概念
1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：
直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：
通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）变形为
2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．
3．公式法：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时，x＝____________.
4．用因式分解法解方程的原理是：
若a·b＝0，则a＝0或__________．
三、一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式是__________．
2
．（1
）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个__________实数根；
（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个__________实数根；
（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）__________实数根．
四、一元二次方程根与系数的关系
1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.
五、实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数；（3）找__________；（4）列方程；（5）__________；（6）检验；（7）写出答案．
自主测试
1．一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根
2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）
A．2B．－2C．4D．－4
3．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1＋a%）2＝148B．200（1－a%）2＝148C．200（1－2a%）＝148D．200（1－a2%）＝148
4．已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__________.
5．解方程：
x2＋3＝3（x＋1）．
考点一、一元二次方程的有关概念
【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2＋
＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．（x－1）（x＋2）＝1D．3x2－2xy－5y2＝0
解析：
由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0；选项D中含有两个未知数．
方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：
①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.
触类旁通1已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．－2B．2C．5D．6
考点二、一元二次方程的解法
【例2】解方程x2－4x＋1＝0.
分析：
本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．
解：
解法一：
移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即（x－2）2＝3，由此可得x－2＝±
，x1＝2＋
，x2＝2－
.
解法二：
a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝（－4）2－4×1×1＝12＞0，x＝
＝2±
.
方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化
选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数（或常数）之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．
触类旁通2解方程：
x2＋3x＋1＝0.
考点三、一元二次方程根的判别式的应用
【例3】关于x的一元二次方程x2＋（m－2）x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0
B．8C．4±
D．0或8
解析：
b2
－4ac＝（m－2）2－4（m＋1）＝0，解得m1＝0，m2＝8.故选D.
方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：
（1）不解方程，判定根的情况；
（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；（3）应用判别式证明方程根的
情况．
触类旁通3已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是（ ）
A．n2－4mk＜0B．n2－4mk＝0C．n2－4mk＞0D．n2－4mk≥0
考点四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】已知关于x的方程x2－2（k－1）x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：
（1）依题意，得b2－4ac≥0，即[－2（k－1）]2－4k2≥0，解得k≤
.
（2）解法一：
依题意，得x1＋x2＝2（k－1），x1x2＝k2.
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2（k－1）＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤
∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－（x1x2－1），即2（k－1）＝－（k2－1）．解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤
，∴k＝－3.综合①②可知k＝－3.
解法二：
依题意，可知x1＋x2＝2（k－1）．由
（1）可知k≤
，∴2（k－1）＜0，即x1＋x2＜0.
∴－2（k－1）＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤
，∴k＝－3.
方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：
①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．
触类旁通4若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ）
A．4B．3C．－4D．－3
考点五、用一元二次方程解实际问题
【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
解：
设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得6.4（1＋x）2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×（1＋25%）＝12.5.
答：
2011年的年产量为12.5万辆．
方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．
触类旁通5商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降
价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
1．（2012河北）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x＋2）2＝3B．（x－2）2＝3C．（x－2）2＝5D．（x＋2）2＝5
2．（2012江西南昌）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．1B．－1C．
D．－
3．（2012湖南株洲）已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为（ ）A．b＝－1，c＝2B．b＝1，c＝－2C．b＝1，c＝2D．b＝－1，c＝－2
4．（2012四川成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1＋x）＝121B．100（1－x）＝121C．100（1＋x）2＝121D．100（1－x）2＝121
5．（2012贵州铜仁）一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．
6．（2012浙江绍兴）把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？
如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
1．关于x的方程（m2－2）x2＋（m＋2）x＝0是一元二次方程的条件是（ ）
A．m≠2B．m≠±2C．m≠
D．m≠±
2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x＋1）2＝6B．（x＋2）2＝9C．（x－1）2＝6D．（x－2）2＝9
3．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－2
4．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（ ）
A．p＞0且q＞0B．p＞0且q＜0C．p＜0且q＞0D．p＜0且q＜0
5．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为______
____．
6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．
7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则
＋
的值是__________．
8．解方程：
x（x－2）＋x－2＝0.
9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：
打九折销售；
方案二：
不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
1．（2013•湛江）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．
12（1+a%）2=5
B．
12（1﹣a%）2=5
C．
12（1﹣2a%）=5
D．
12（1﹣a2%）=5
2．（2013•宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．
k＜1
B．
k＞1
C．
k=1
D．
k≥0
3．（2013•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．
0
B．
2
C．
﹣2
D．
4
4．（2013•潍坊）已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（ ）
A．
当k=0时，方程无解
B．
当k=1时，方程有一个实数解
C．
当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解
D．
当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．
5．（2013•威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．
m≥﹣
B．
m≥0
C．
m≥1
D．
m≥2
6．（2013•天水）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．
11
B．
11或13
C．
13
D．
以上选项都不正确
7．（2013•天水）从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是（ ）
A．
100m2
B．
64m2
C．
121m2
D．
144m2
8．（2013•台湾）若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为
±
，其中a、b为两数，则a+b之值为何？
（ ）
A．
B．
C．
3
D．
5
9．（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．
x2+1=0
B．
x2+x+1=0
C．
x2﹣x+1=0
D．
x2﹣x﹣1=0
10．（2013•普洱）方程x2﹣2x=0的解为（ ）
A．
x1=1，x2=2
B．
x1=0，x2=1
C．
x1=0，x2=2
D．
x1=
，x2=2
11．（2013•宁夏）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（ ）
A．
﹣1
B．
2
C．
1和2
D．
﹣1和2
12．（2013•南平）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是（ ）
A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根
C．
没有实数根
D．
无法确定
13．（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．
2018
B．
2008
C．
2014
D．
2012
14．（2013•泸州）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
5
B．
﹣5
C．
1
D．
﹣1
15．（2013•丽水）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．
x﹣6=﹣4
B．
x﹣6=4
C．
x+6=4
D．
x+6=﹣4
16．（2013•兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（ ）
A．
（x+1）2=0
B．
（x﹣1）2=0
C．
（x+1）2=2
D．
（x﹣1）2=2
17．（2013•兰州）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．
7600（1+x%）2=8200
B．
7600（1﹣x%）2=8200
C．
7600（1+x）2=8200
D．
7600（1﹣x）2=8200
18．（2013•黄冈）已知一元二次方程x2﹣6x+C=0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
8
19．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）
A．
﹣1
B．
9
C．
23
D．
27
20．（2013•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．
168（1+x）2=128
B．
168（1﹣x）2=128
C．
168（1﹣2x）=128
D．
168（1﹣x2）=128
21．（2013•广州）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（ ）
A．
没有实数根
B．
有两个相等的实数根
C．
有两个不相等的实数根
D．
无法判断
22．（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A．
5个
B．
6个
C．
7个
D．
8个
23．（2013•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）
A．
x2+2x+1=0
B．
x2+1=0
C．
x2=2x﹣1
D．
x2﹣4x﹣5=0
24．（2013•宜昌）[背景资料]一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．
[问题解决]
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；
（3）在
（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有
的人自带彩棉机采摘，
的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？
25．（2011•滨州）依据下列解方程
的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：
原方程可变形为
（ _________ ）
去分母，得3（3x+5）=2（2x﹣1）．（ _________ ）
去括号，得9x+15=4x﹣2．（ _________ ）
（ _________ ），得9x﹣4x=﹣15﹣2．（ _________ ）
合并，得5x=﹣17．（ _________ ）
（ _________ ），得x=
．（ _________ ）
26．（2011•连云港）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km．求提速后的火车速度．（精确到1km/h）
27．（2006•吉林）已知关于x的方程3a﹣x=
+3的解为2，求代数式（﹣a）2﹣2a+1的值．
28．（2009•莱芜）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补．企业数据显示，截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%．
（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？
（2）如果销售家电的平均价格为：
彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的
倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？
29．（2005•烟台）为庆祝第29届北京奥运圣火在泉州站传递，甲、乙两校联合准备文艺汇演．甲、乙两校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套及以上
每套服装的价格
60元
50元
40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？
（3）如果甲校有9名同学抽调去参加迎奥运书法比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
2014届第一轮复习
-------二次方程
（2）
1．（2013•安顺）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
2
D．
﹣2
2．（2012•湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．
5500（1+x）2=4000
B．
5500（1﹣x）2=4000
C．
4000（1﹣x）2=5500
D．
4000（1+x）2=5500
3．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．
k＞
B．
k≥
C．
k＞
且k≠2
D．
k≥
且k≠2
4．（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（
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