高中数学选修21创新培优作业含答案111页第三章 空间向量与立体几何全章 教师用书.docx

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高中数学选修21创新培优作业含答案111页第三章空间向量与立体几何全章教师用书

3．1.1　空间向量及其加减运算

[学习目标]　

1.空间向量的概念，空间向量的几何表示和字母表示.

2.空间向量的加减运算及运算律，向量减法的几何意义．

知识点一　空间向量

（1）空间向量的定义

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

（2）空间向量及其模的表示方法

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.

（3）特殊向量

名称

定义及表示

零向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量

模为1的向量叫做单位向量

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

知识点二　空间向量的加法、减法

类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算（如图）：

＝＋＝a＋b；

＝－＝a－b.知识点三　空间向量加法的运算律

空间向量的加法运算满足交换律及结合律：

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

题型一　空间向量的概念

例1　判断下列命题的真假．

（1）空间中任意两个单位向量必相等；

（2）方向相反的两个向量是相反向量；

（3）若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

（4）向量与的长度相等．

解　

（1）假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．

（2）假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．

（3）假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．

（4）真命题．因为与仅是方向相反，但长度是相等的．

反思与感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．

跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，

（1）试写出与相等的所有向量；

（2）试写出的相反向量；

（3）若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．

解　

（1）与向量相等的所有向量（除它自身之外）有，及共3个．

（2）向量的相反向量为，，，.

（3）||＝3.

题型二　空间向量的加减运算

例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（　　）

①－－；

②＋－；

③－－；

④－＋.

A．①②B．②③

C．③④D．①④

答案　A

解析　

（1）－－＝－＝；

（2）＋－＝＋＝；

（3）－－＝－＝－＝≠；

（4）－＋＝＋＋＝＋≠，故选A.

反思与感悟　运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：

（1）向量加法的三角形法则：

“首尾相接，指向终点”；

（2）向量减法的三角形法则：

“起点重合，指向被减向量”；（3）平行四边形法则：

“起点重合”；（4）多边形法则：

“首尾相接，指向终点”．

跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是________（填序号）．

①（＋）＋；②（＋）＋；③（＋）＋；④（＋）＋.

答案　①②③④

解析　①（＋）＋＝＋＝；②（＋）＋＝＋＝；③（＋）＋＝＋＝；④（＋）＋＝＋＝.所以所给四个式子的运算结果都是.

题型三　空间向量加减运算的应用

例3　已知平行六面体ABCDA′B′C′D′.求证：

＋＋＝2.

证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

∴＝＋，＝＋，＝＋，

∴＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）

＝2（＋＋）．

又∵＝，＝，

∴＋＋＝＋＋＝＋＝，

∴＋＋＝2.

反思与感悟　利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和（差）向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．

跟踪训练3　在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段．

（1）＋＋；

（2）＋－.

解　如图．

（1）＋＋＝＋＝.

（2）＋－

＝＋－＝－＝.

图中，为所求.

1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　a＝b⇒|a|＝|b|；|a|＝|b|D⇒/a＝b.

2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有（　　）

A．7个B．3个C．5个D．6个

答案　A

解析　||＝||＝||＝||＝||＝||

＝||＝||.

3．下列说法中正确的是（　　）

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定是＋＝

答案　B

解析　若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B正确；空间向量的减法不满足结合律，故C不正确；在▱ABCD中，才有＋＝，故D不正确．故选B.

4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．－a＋b＋cB.a＋b＋c

C．－a－b＋cD.a－b＋c

答案　A

解析　＝＋＝（－）＋

＝－a＋b＋c.

5．下列命题中正确的个数是________．

①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；

②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若a，b，c为任意向量，则（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；

④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内．

答案　3

解析　由单位向量的定义知|a|＝|b|＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确．

1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．

2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．

一、选择题

1．下列命题中，假命题是（　　）

A．任意两个向量都是共面向量

B．空间向量的加法运算满足交换律及结合律

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

答案　D

解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．

2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于（　　）

A．a＋b－cB．c－a－b

C．c＋a－bD．c＋a＋b

答案　B

解析　如图，

∵＋＋＋＝0.

即a＋b＋－c＝0，

∴＝c－a－b.

3．下列各命题：

①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

④有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为（　　）

A．2B．3

C．4　D．5

答案　B

解析　①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

4．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是（　　）

A．a＝－bB．a∥b

C．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|

答案　C

解析　表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选择项易知C满足题意．

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝x＋y（＋），则（　　）

A．x＝1，y＝B．x＝1，y＝

C．x＝，y＝1D．x＝1，y＝

答案　D

解析　∵＝＋＝＋

＝＋＝＋（＋），

∴x＝1，y＝.故选D.

6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别是（　　）

A.，－B．－，－

C．－，D.，

答案　A

解析　由于＝＋＝＋（＋）

＝＋＋，

所以m＝，n＝－，故选A.

7．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是（　　）

A.＋＋＋＝0

B.＋＋＋＝0

C.＋＋＋＝0

D.－＋＋＝0

答案　B

解析　易知四边形EFGH为平行四边形，

所以＋＋＋＝＋＋＋

＝＋＝0.

8.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是（　　）

A.与B.与

C.与D.与

答案　D

解析　∵＝，∴||＝||，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝.故应选D.

二、填空题

9.如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________（用a，b，c表示）．

答案　a＋b＋c

解析　＝＋＝＋＋

＝a＋b＋c.

10．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，下列四个式子中计算正确的是________（填序号）．

①－＝；②＝＋＋；③＋＝；④＋＋＋＝.

答案　①②③

解析　①－＝＋＝，正确；

②＋＋＝＋＋＝，正确；

③＋＝＝，正确；

④＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋0＝，错误．

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果等于________．

答案　

解析　－＋＝－＋＝＋＝.

12．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状是________．

答案　平行四边形

解析　∵＝＋，∴＋＝＋，

∴＝，∴BC綊AD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

三、解答题

13.如图，在四面体ABCD中，E，F，H分别为棱CD，AD，BC的中点，连接BE，DH，交于点G，则G为△BCD的重心，连接AG，HF，化简下列各式：

（1）＋＋；

（2）（＋－）．

解　

（1）如图，连接EF，

∵G是△BCD的重心，

∴||＝||.

又∵＝，

∴由向量加法的三角形法则可知

＋＋

＝＋＋

＝＋＝，

即＋＋＝.

（2）如图，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，AH，则四边形APHQ为平行四边形．

∵＝，＝，＋＝，

＝，

∴（＋－）＝＋－

＝＋－＝－＝.

3.1.2　空间向量的数乘运算

[学习目标]　1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及推论.3.理解共面向量定理及推论．

知识点一　空间向量的数乘运算

（1）向量的数乘：

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

（2）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：

分配律：

λ（a＋b）＝λa＋λb，结合律：

λ（μa）＝（λμ）a.

知识点二　共线向量

（1）共线向量定义

表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或平行向量，记作a∥b.

（2）两向量共线的充要条件

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

（3）共线向量的推论

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①.其中向量a叫做直线l的方向向量．在l上取＝a，则①式可化为＝＋t，②.此推论可以用来判断任意三点共线．

知识点三　共面向量

（1）共面向量的概念

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

（2）三个向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb.

题型一　空间向量的数乘运算

例1　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

（1）；

（2）；（3）＋.

解　

（1）∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

（2）∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋

＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

（3）∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋

＝－a＋（a＋c＋b）＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

∴＋＝（a＋b＋c）＋（a＋c）

＝a＋b＋c.

反思与感悟　用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解．如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘．

跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：

（1）；

（2）；（3）；（4）.

解　

（1）∵P是CA′的中点，

∴＝（＋）＝（＋＋）

＝（a＋b＋c）．

（2）∵M是CD′的中点，

∴＝（＋）＝（＋2＋）

＝（a＋2b＋c）．

（3）∵N是C′D′的中点，

∴＝（＋）

＝[（＋＋）＋（＋）]

＝（＋2＋2）＝a＋b＋c.

（4）∵CQ∶QA′＝4∶1，

∴＝＋＝＋（－）

＝＋＝＋＋

＝a＋b＋c.

题型二　向量共线问题

例2　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？

解　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋

＝＋＋.①

又∵＝＋＋＋

＝－＋－－，②

①＋②得2＝，

∴∥，即与共线．

方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，

∴＝－＝（＋）－

＝（＋）－（＋）

＝（－）＝（－）＝.

∴∥，即与共线．

反思与感悟　判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.

跟踪训练2　设两非零向量e1、e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3（e1－e2）．试问：

A、B、D是否共线，请说明理由．

解　∵＝＋＝（2e1＋8e2）＋3（e1－e2）

＝5（＋），

∴＝5，又∵B为两向量的公共点，

∴A、B、D三点共线．

题型三　向量共面问题

例3　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：

向量，，共面．

证明　因为M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋.

同理＝＋.

所以＝＋＋

＝＋＋

＝＋＝＋.

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．

反思与感悟　利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．

跟踪训练3　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC所在的平面内．

解　

（1）∵＝＋＋，

∴＋＋＝3，

∴－＝（－）＋（－），

∴＝＋＝－－，

∴向量，，共面．

（2）由

（1）知向量，，共面，

三个向量又有公共点M，

∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内．

1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则（　　）

A．a＝b＝0B．λ＝μ＝0

C．λ＝0，b＝0D．μ＝0，a＝0

答案　B

解析　∵a，b是两个不共线的向量，

∴a≠0，b≠0，∴只有B正确．

2．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段BA的延长线上

D．点P不一定在直线AB上

答案　A

解析　∵0

3.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于（　　）

A.a－b＋c

B．－a＋b＋c

C.a＋b－c

D.a＋b－c

答案　B

解析　＝＋＋

＝a＋（b－a）＋（c－b）

＝－a＋b＋c.

4．下列命题中，正确命题的个数为（　　）

①若a∥b，则a与b方向相同或相反；

②若＝，则A，B，C，D四点共线；

③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R）．

A．0B．1C．2D．3

答案　A

解析　当a，b中有零向量时，①不正确；＝时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb（λ，μ∈R），故③不正确．

5．设M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则＝________.

答案　（c－b）

解析　如图，＝

＝×（＋）＝（c－b）．

空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题．

一、选择题

1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是（　　）

A．共线向量B．共面向量

C．不共面向量D．既不共线也不共面向量

答案　B

解析　如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面．

2．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R且λ，μ≠0），则（　　）

A．a∥e1B．a∥e2

C．a与e1，e2共面D．以上三种情况均有可能

答案　C

解析　若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，

∴te1＝λe1＋μe2，∴（t－λ）e1＝μe2，

则e1与e2共线，不符合题意．

同理，a与e2也不平行．

由向量共面的充要条件，知C正确．

3．下列命题中是真命题的是（　　）

A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量，满足||>||，且与同向，则>

D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥

答案　D

解析　A错．因为空间任意两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．

B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．

C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．

D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，

故∥正确．

4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）

A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D

答案　A

解析　∵＝a＋2b，

＝＋＝2a＋4b＝2（a＋2b）＝2，

∴∥，由于与有一公共点B，

∴A、B、D三点共线．

5．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（　　）

A.＋＝B.－＝

C.＝D．||＝||

答案　C

解析　由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．

6．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点（　　）

A．不共面B．共面

C．不一定共面D．无法判断是否共面

答案　B

解析　＝＋＋

＝＋（＋）＋（＋）

＝＋＋，

∴－＝＋，

∴＝＋.

由共面的充要条件知P、A、B、C四点共面．

7.如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则等于（　　）

A.－

B.＋

C.＋

D.－

答案　C

解析　由平面向量的三角形法则，得＝＋.

又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，

所以＝＋＝＋（－）

＝＋.

二、填空题

8．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________．

答案　－8

解析　因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，

又A，B，D三点共线，

由共线向量定理得＝，所以k＝－8.

9．空间非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的实数k＝________.

答案　±1

解析　令ke1＋e2＝λ（e1＋ke2）得

⇒k＝1或k＝－1.

10．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．

①已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

③若a与b共线，则a与b所在直线平行；

④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z（其中x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面．

答案　3

解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，①正确；

若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故②不正确；

由向量平行知③不正确；

由空间向量共面知④不正确．

故共有3个命题不正确．

11．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.

答案　

解析　∵a，b，c三向量共面，

∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，

即7i＋5j＋λk＝m（2i－j＋3k）＋n（－i＋4j－2k）．

∴∴λ＝.

三、解答题

12.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示，.

解　＝＋＋

＝－a＋c＋

＝－a＋c＋（a＋b）

＝－a＋b＋c，

＝＋＝＋

＝－b－a＋b＋c

＝－a－b＋c.

13.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．

解　∵＝＋＋

＝－＋－－

＝－＋＝－＋（＋）

＝－＋（＋）

＝－＋＋（－）

＝－＋＋，

∴x＝，y＝－.

3．1.3　空间向量的数量积运算

[学习目标]　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．

知识点一　空间向量的夹角

定义

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

记法

〈a，b〉

范围

〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b

知识点二　空间向量的数量积

（1）定义

已知两个非零向量a，b，则则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

（2）数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

（λa）·b＝λ（a·b）

交换律

a·b＝b·a

分配律

a·（b＋c）＝a·b＋a·c

（3）数量积的性质

两个

向量数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0

②若a与b同向，则a·b＝|