天津市数学中考模拟2425题专项练习.docx
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天津市数学中考模拟2425题专项练习
4）
（2014 河东一模）（24）如图 1，点 A 是 x 轴正半轴上的动点，点 B 坐标为 （0 ， ， M 是线
段 AB 的中点，将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90︒ 得到点 C ，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足
为 F ，过点 B 作 y 轴的垂线与直线 CF 相交于点 E ，点 A 关于直线 CF 的对称 点为点 D ，
连结 AC ， BC ， CD ，设点 A 的横坐标为 t （Ⅰ）当 t = 2 时，求 CF 的长；
（Ⅱ）当 t 为何值时，点 C 落在线段 BD 上；
（Ⅲ）如图 2，当点 C 与点 E 重合时，△ CDF 沿 x 轴左右平移得到△ C'D'F ' ，再将
A ，
B ， C' ， D' 为顶点的四边形沿 C'F ' 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无
缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C' 的坐标．
y
y
BE
B C C'
M
C
M
O
A F D x
图 1
O
A F D F' D' x
图 2
第 （ 24 ）
（2014 河东一模）（25）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = - 1
2
x2 + bx + c （ b ， c 为
-3）
常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 （0， 1） ， C 的坐标为 （4， ，
直角顶点 B 在第四象限．
（Ⅰ）如图，若该抛物线过 A ， B 两点，求抛物线的函数解析式；
（Ⅱ）平移（Ⅰ）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点
Q .取 BC 的中点 N ，连接 NP ， BQ ．试探究PQ
NP + BQ
该最大值；若不存在，请说明理由．
是否存在最大值？
若存在，求出
y
C y C
O
N
O
N
第（25）题
（2014 河东一模）（24）（本小题 10 分）
）
解 ：
（ Ⅰ ） 当 t = 2 时 ， OA = 2 ， 因 为 点 B 坐 标 为 （ 0，4 ， 所 以 OB = 4 ， 又 因 为
∠BOA = ∠BAC = ∠AFC = 90︒ ，所以 Rt △ BOA ∽ Rt △ AFC ，由 AB = 2 AC ，所以
，即
BOOAAB422
（Ⅱ）当 OA = t 时，因为 Rt △ BOA ∽ Rt △ AFC ，所以 CF = 1 t ， AF = 2 ，进而有
2
FD = 2 ， OD = t + 4 ，因为点 C 落在线段 BD 上，所以 Rt △ BOD ∽ Rt △ CFD ，所以
FDCF
=
ODBO
，即
1
t
= 2 ，整理得 t 2 + 4t - 16 = 0 ，解得 t = 2 5 - 2 ， t = -2 5 - 2
1 2
（舍），
所以当 t = 2 5 - 2 时，点 C 落在线段 BD 上；7 分
4）4）4）
（Ⅲ）点 C' 的坐标为 （12， ， （8 ， ， （ 2， ．10 分
（2014 河东一模）（25）（本小题 10 分）
解：
-3）
（Ⅰ）因为 A 的坐标为 （0， 1） ， C 的坐标为 （4， ，
则 | AC |=（4 - 0）2 + （-1 - 3）2 = 4 2 ，又△ ABC 为等腰直角三角形 ∴ AB = BC = 4 ，
-
即点 B 的坐标为 （4 ， 1） ，将 A ， B 两点代入抛物线解析式有
⎧c = -1
⎪
⎨ 1⎨
⎪⎩- 2 ⨯16 + 4b + c = -1
1
∴ y = -x2 + 2 x - 13 分
2
（Ⅱ）因为点 A 在直线 AC 上，所以当顶点 P 在直线 AC 上滑动，平移后抛物线与 AC 另
一交点 Q 就是 A 点沿直线 AC 滑动同样单位后的点．由 AP = 2 2 ，则顶点 P 移动后得到
的 PQ = 2 2 .
若PQ有最大值，即 NP + BQ 有最小值，
NP + BQ
如下图，取 AB 中点 M ，连结 QM ， NM ，由 N 为 BC 中点
y B'
P C
O
A
H
Q
N
M B
x
∴ NM 为 AC 边中位线，∴ NM ∥ AC 且 NM = 1 AC = 2 2 = PQ
2
∴ MN ∥ PQ 且 NM = PQ ，∴ MNPQ 为平行四边形
即 PN = QM∴ NP + BQ = QM + BQ
作点 B 关于直线 AC 对称的点 B' ，连 B'Q , B'M
B'M 交 AC 于点 H ，由对称性易知 B'Q = BQ ，
∴ NP + BQ = QM + BQ = QM + B'Q ≥ B'M ，
仅当点 Q 与点 H 重合时，等号成立，
即 NP + BQ 有最小值且最小值为 B'M ，
连结 B'B ，在等腰直角三角形 ∆ABB' 中，
AB' = 4 ， AM = 1 AB = 2 ，∴由勾股定理得 B'M = 2 5 ，
2
∴PQ
NP + BQ
最大值存在，且最大值为
2 2 10
=
2 5 5
．
（2014 河西一模）（24）（本小题 10 分）
在数学中，通过类比联想、引申拓展的方法研究典型题目，可达到解一题知一类的
目的．下面是一个案例，请补充完整．
B
E
A
B
E
A B
E
A
C
C
F D G D
F
C
图 1图 2图 3
原题：
如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF＝45°，
连接 EF，则 EF＝BE＋DF，试说明理由．
（Ⅰ）思路梳理：
∵ AB＝CD，
∴ 把△ABE 绕点 A 逆时针旋转
°至ADG，可使 AB 与 AD 重合．
∵ ∠ADC＝∠B＝90°，
∴ ∠FDG＝180°，点 F、D、G 共线．
根据 SAS，易证△AFG≌△AFE，得 EF＝BE＋DF．
（Ⅱ）类比引申：
如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点 E、F 分别在边 BC、
CD 上，∠EAF＝45°．若 ∠B、∠D 都不是直角，则当 ∠B 与 ∠D 满足等
量关系______________________时，仍有 EF＝BE＋DF．
（Ⅲ）联想拓展：
如图
，在ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 E、F 均在边 BC 上，
且∠EAF＝45°．猜想 BE、EF、FC 应满足的等量关系，并写出推理过程．
）
（2014 河西一模）（25 （本小题 10 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=
1
4
1
（x﹣m）2﹣ m2+m 的顶点为 A，与 y
4
轴的交点为 B，连结 AB，AC⊥AB，交 y 轴于点 C，延长 CA 到点 D，使 AD=AC，连结 BD．作
AE∥x 轴，DE∥y 轴．
（Ⅰ）当 m=2 时，求点 B 的坐标；
（Ⅱ）求 DE 的长？
（Ⅲ）① 设点 D 的坐标为（x，y），求 y 关于 x 的函数关系式？
② 过点 D 作 AB 的平行线，与第（Ⅲ）① 题确定的函数图象的另一个交点为
P，当 m 为何值时，以 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形？
24．本小题满分 10 分．
解：
（Ⅱ）∠B＋∠D＝180°．（或填：
互补）（2 分）
（Ⅲ）BE2＋FC2＝EF2．（4 分）
∵ AB＝AC，
∴ 把△ABE 绕 A 点逆时针旋转 90°至△ACG，可使 AB 与 AC 重合.
∵ △ABC 中，∠BAC＝90°，
B
A
∴ ∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝90°，即∠FCG＝90°.
E
∴ FC2＋CG2＝FG2．（6 分）
在△AFG 与△AFE 中，
F
C
G
∠FAG＝∠FAC＋∠CAG＝∠FAC＋∠BAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵ AE＝AG，AF＝AF，
∴ △AFG≌△AFE．（8 分）
∴ EF＝FG．
又∵CG＝BE，
∴ BE2＋FC2＝EF2．（10 分）
25．本小题满分 10 分．
解：
（Ⅰ）当 m=2 时，y=
1
4
（x﹣2）2+1，
1
4
（Ⅱ）延长 EA，交 y 轴于点 F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，∴ AF=AE．
∵点 A（m，﹣
1 m2+m），点 B（0，m），
4
∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2m2，
44
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ ABF∽△DAE．（3 分）
∴
BF AE
=
AF DE
1
m 2
，即：
， ∴ DE=4．（4 分）
m DE
（Ⅲ）①∵点 A 的坐标为（m,﹣
1 m2+m）， ∴点 D 的坐标为（2m,﹣ m2+m+4），
4 4
1xx
4422
∴所求函数的解析式为：
y=﹣x2+x+4．（6 分）
162
②作 PQ⊥DE 于点
，则DPQ≌△BAF，
当四边形 ABDP 为平行四边形时（如图 1），点 P 的横坐标为 3m，
点 P 的纵坐标为：
（﹣
1 m2 m2 m2+m+4，
4 4 2
把 P（3m，﹣m2x2+x +4 得：
2162
1
2162
解得：
m=0（此时 A，B，D，P 在同一直线上，舍去）或 m=8．（8 分）
当四边形 ABPD 为平行四边形时（如图 2），点 P 的横坐标为 m，
点 P 的纵坐标为：
（﹣
1 m2 m2）=m+4，
4 4
把 P（m，m+4）的坐标代入 y=﹣x2+x+4 得：
162
m+4=﹣m2+m+4，（9 分）
162
解得：
m=0（此时 A，B，D，P 在同一直线上，舍去）或 m=﹣8，（10 分）
综上所述：
m 的值为 8 或﹣8．
（2014 大港一模试卷） （24）（本小题 10 分）
在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角板 OAB 和 DCE 重叠在一起，∠AOB=60°，
B（2，
）．固定OAB 不动，将△DCE 进行如下操作：
（Ⅰ） 如图①，△DCE 沿 x 轴向右平移（D 点在线段 OB 内移动），连结 AC、AD、CB，四
边形 ADBC 的形状在不断的变化，它的面积变化吗？
若不变，求出其面积；若变化，请说
明理由．
温馨提示：
由平移性
质 可 得 AC ∥ OD ，
AC=OD
y
y
y
ACAC
A
C
ODBEx ODBE xO
D
B x
图①图③E
第（24）题
（Ⅱ）如图②，当点 D 为线段 OB 的中点时，请你猜想四边形 ADBC 的形状，并说明理
由．
（Ⅲ）如图③，在（Ⅱ）中，将点 D 固定，然后绕 D 点按顺时针方向将△ DCE 旋转
30°，在 x 轴上求一点 P，使 AP - CP 最大．请直接写出 P 点的坐标和 AP - CP 的最大
值，不要求说明理由．
（2014 大港一模试卷）（25）（本小题 10 分）
已知二次函数 y = ax 2 + bx + c（a ≠ 0） 的图象经过三点（1，0），（ - 3 ，0），
1
（0， - 3
2
）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取 m ， n （ m ≠ n ）时函数值相等，求 x 取
m + n 时的函数值；
k
2
象限内的交点为 A，点 A 的横坐标为 x ，满足 2< x <3，试求实数 k 的取值范围．
00
（2014 大港一模试卷）（24）（本小题 10 分）
y
AC
OFD
y
A C
B E x O D
B D
y
A
C
B
x
图①
图②
图③
E
第（24）题
解：
（Ⅰ）四边形 ADBC 的面积不变.………………………………1 分
在
AOB 中，∵∠AOB=60°，∴∠ABO=30°．
又 B（2,0），∴OB=2，∴OA=
过 A 点作 AF⊥OB 于 F，
1
2
OB=1………………………………………2 分
在
AOF 中，∵sin60°=
AF
OA
3
2
由平移性质可知，AC∥OD，AC=OD
∴ S= 1（AC + DB） AF = 1 （OD + DB） ⋅ AF = 1 ⨯ 2 ⨯ 3 =3 ………………4 分
22222
（Ⅱ）菱形……………………………………………………………………5 分
在
AOB 中， ∵点 D 为斜边 OB 的中点，∴OD=AD=DB．
∵AC∥DB， AC=OD=DB，
∴四边形 ADBC 是平行四边形…………………………………………………6 分
∵AD=DB，∴四边形 ADBC 是菱形． …………………………………………7 分
P
（Ⅲ） （2+ 3，0） 【注：
记作（ -1- 3 ，0）不扣分】……………………9 分
1- 3
AP - CP 的最大值为 2 ．…………………………………………………10 分
（2014 大港一模试卷）（25）（本小题 10 分）
解：
（Ⅰ）设抛物线解析式为 y=a（x-1）（x+3）…………………………1 分
（只要设出解析式正确，不管是什么形式给 1 分）
31
22
∴抛物线解析式为 y=
3
2 2
313
11
1313
2222
∴ m2 - n2 + 2（m - n） = 0 ，即 （m - n）（m + n + 2） = 0 ，
∵ m ≠ n ，∴ m + n = -2 .………………………………………………………………5 分
∴ y =
1
1 3 1 3 3
（m + n）2 + （m + n） - = （-2）2 - 2 - =-
2 2 2 2 2
3
2
法 2：
抛物线 y1=
1
2
3
x2+x- 的对称轴为直线 x=-1，
2
2 2 2 2 2
因为当 x 取 m ， n （ m ≠ n ）时函数值相等，不妨设 m>n
由抛物线关于直线 x=-1 对称，有 m-（-1）=-1-n
∴m+n=-2
当 x=m+n=-2 时，
13133
y =（m + n）2 + （m + n） -=（-2）2 - 2 -=-
1
131k
22x
0。
A（x0，y0）为二次函数图像与反比例函数图像在第一象限内的交点， 如图）
所以在第一象限内， y1随着 x 增大而增大， y2 随着 x 的增大而减小。
（
∵ 2＜x0＜3，
∴当 x=2 时，由反比例函数图象在二次函数上方得 y2＞y1，
13
＞×22+2-，解得 k＞5．…………………………………8 分
222
当 x=3 时，二次函数数图象在反比例上方得 y1＞y2，
13k
即×32+3—＞，解得 k＜18．
223
所以 k 的取值范围为 5 ＜k＜18………………………………………10 分
y
A
O2 3x
（2014 北辰一模）24. （本小题 10 分）
如图，平面直角坐标系中，正方形 OABC 的点 A 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，点 B（4，
4），点 E 在 BC 边上.将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°
AOF，连接 EF 交 y 轴于点 D.
（1）若点 E 的坐标为（ 4 ， 3 ）. 求 ①线段 EF 的长；②点 D 的坐标；
（2）设点 E（ 4 ， m ）， S =S
取得最大值时点 E 的坐标.
∆EBA
S
+
ECF ∆
，试用含 m 的式子表示 S ，并求出使 S
y
AB
E
D
FOCx
（第 24 题）
（2014 北辰一模）25．（本题 10 分）
已知抛物线 y = - x2 + bx + c 与 y 轴交于点 A，M 为抛物线的顶点.
（1）若 M（2，3），求抛物线的解析式；
（2）若 M 在直线 y = x 上，且抛物线与直线的另一交点为 B，抛物线对称轴与直线
AB 交于点 C（点 A、B、C 互不重合）．
① 如图
（1），当点 M 移动到 AB 与 x 轴平行时，求抛物线的解析式；
② 如图
（2），当点 M 移动到使点 A 的位置最高时，求
OA
CM
的值．
M
y
O
x
B
C
A
（ 第 25 （ 2 ） ---
1）
y
C
AM
BOx
（第 25
（2）---2）
（2014 北辰一模）24.（本题 10 分）
解：
（1）①由题设，知 BE=OF，∠FOC=180°.
∵ B（4，4），E（4，3），
∴ CE=3，CF=5.
在
EFC 中，
EF = CE 2 + CF 2 = 34 .……3′
② ∵ OD∥CE，∴
EFC∽
DFO.
y
A B
E
D
ODFOOD13
∴==.∴ OD=.
CEFC355
3
∴D（ 0，）.……6′
5
（2）∵ B（4，4），E（4， m ），
∴ BE= 4 - m ， CF = CO + OF = 4 + 4 - m = 8 - m .
F O
（第 24 题）
C x
∴ S
∆FCE
1 1
11
∴ S = 2（4 - m） +m（8 - m） = -m2 + 2m + 8
22
1
配方，得 S = -（m - 2）2 + 10
2
∴ 当 m = 2 时，S 取得最大值，
此时，点 E（4，2）.……10′
（2014 北辰一模）25.（本题 10 分）
b4 ⨯ （-1）c - b2
2 ⨯ （-1）4 ⨯ （-1）
= 3 ， 解得， b = 4 ， c = -1 .
∴ y = - x 2 + 4 x - 1 .……4′
b4c + b2b4c + b2
（2）①由 y = - x2 + bx + c = -（ x - ）2 +， 得 M（，）.
2424
∵ 点 M 在直线 y = x 上，∴b =.
24
1
∴ c =-b +b . ∴ A（0， - b2 +b ）.
4242
B
M
C
O
A
x
（ 第 25 （ 2 ） ---
1）
∵ AB∥ x 轴，∴ 点 A、B 关于对称轴 x =
b
2
对称.
∵ 点 M 的横坐标是
b b
，∴点 B 的横坐标是 2 ⨯ = b （AB=2OM）.
2 2
∵ 点 B 在直线 y = x 上，∴点 B（ b ， b ）.
11
∴ - b2 +b = b .解得， b = -2 或 b = 0
42
∵ 点 A、B、C 互不重合，∴ b = 0 舍. ∴ c = -2 .
∴ y = - x2 - 2 x - 2 .……7′
② 由①，得 A（0， - 1 b211111
424244
，
得当 b = 1 时，点 A 的位置最高.此时， y = - x 2 + x +
1
.
4 y
1111
∴ M（，）， A（ 0 ，）. 由 - x2 + x += x ，
2244
1131
得 B（ -， -）.∴ 直线 AB：
y =x +.
2224
C
A M
B O
x
∴直线 AB 与对称轴 x =
1 1
的交点 C 的坐标是（ ，1 ）.
2 2
（第 25
（2）---2）
∴ OA =
1 1 1 OA 1
4 2 2 CM 2
（2014 南开一模）24．（本小题 10 分）
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（12，
0）、（12，6），直线 y＝－ 3 x＋b 与 y 轴交于点 P，与边 OA 交于点 D，与边 BC 交于点
2
E．
（Ⅰ）若直线 y＝－ 3 x＋b 过矩形 OABC 对角线交点，求 b 的值；
2
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线 y＝－ 3 x＋b 绕点 P 顺时针旋转时，与直线 BC 和 x 轴
2
分别交于点 N、M，问：
是否存在 ON 平分∠CNM 的情况？
若存在，求线段 DM 的长；
若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，当直线 y＝－ 3 x＋b 沿 y 轴向
2
平移 个单位长度时，将
y
矩形 OABC 沿平移后的直线折叠，点 O 恰好落在边 BC 上．
y
y
P
P
P
E
B
ODAxOD
备用图
A x O D
备用图
A x
（2014 南开一模）25．（本小题 10 分）
已知：
直线 y =
1 1
x + 1 与 y 轴交于 A，与 x 轴交于 D，抛物线 y = x2 + bx + c 与直
2
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