数列第1讲数列的概念及表示.docx
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数列第1讲数列的概念及表示
数列的概念及表示
1.数列的概念
(1)定义:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成,其中an是数列的第n项,叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记作{an}.
(2)通项公式:
如果数列{an}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(3)从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________.
(4)数列的递推公式:
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
(5)数列的表示方法有、、、.
2.数列的分类
(1)数列按项数是有限还是无限来分,分为、.
(2)按项的增减规律分为、、和.递增数列⇔an+1an;递减数列⇔an+1an;常数列⇔an+1an.递增数列与递减数列统称为.
3.数列前n项和Sn与an的关系
已知Sn,则an=
4.常见数列的通项
(1)1,2,3,4,…的一个通项公式为an=____________;
(2)2,4,6,8,…的一个通项公式为an=____________;
(3)3,5,7,9,…的一个通项公式为an=____________;
(4)2,4,8,16,…的一个通项公式为an=____________;
(5)-1,1,-1,1,…的一个通项公式为an=____________;
(6)1,0,1,0,…的一个通项公式为an=____________;
(7)a,b,a,b,…的一个通项公式为an=____________;
(8)9,99,999,…的一个通项公式为an=.
注:
据此,很易获得数列1,11,111,…;2,22,222,…;…;8,88,888,…的通项公式分别为
(10n-1),
(10n-1),…,
(10n-1).
【基础自测】
1 数列-1,
,-
,
,…的一个通项公式是( )
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n
D.an=(-1)n
2 下列有四个命题:
①数列是自变量为正整数的一类函数;
②数列
,
,
,
,…的通项公式是an=
;
③数列的图象是一群孤立的点;
④数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
3 若数列an=
+
+…+
,则a5-a4=( )
A.
B.-
C.
D.
4 数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,则{an}的通项公式为____________.
5 数列{an}中,a1=1,对于所有的n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.
【典例】
类型一 数列的通项公式
例一 已知数列:
,
,
,
,….
(1)试写出该数列的一个通项公式;
(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项.
【评析】①一个数列只知道前n项,其通项公式是不能确定的,即使完全知道该数列,其通项公式的形式也不一定是惟一的,如数列1,0,1,0,…的通项公式可写成an=
或an=
甚至分段形式an=
等.②对于此类归纳猜想求通项的题目,一定要掌握一些常见数列的通项公式,如{n},{2n},{(-1)n},{2n},{n2},{2n-1}等,在此基础之上还要掌握一定的方法,如将各项分解成若干个数的和、差、积、商,分离分子分母等.③由于数列是特殊的函数,因此判断某数是否为数列中的项,即是知an判断方程an=f(n)是否有正整数解.
变式 写出下列数列的一个通项公式:
(1)-1,
,-
,
,-
,…;
(2)3,5,9,17,33,…;
(3)3,33,333,3333,…;(4)
,-1,
,-
,
,….
类型二 由前n项和公式求通项公式
例二
(1)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n,则此数列的通项公式为an=______________.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则此数列的通项公式为an=______________.
【评析】任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系:
an=
若a1适合Sn-Sn-1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示.另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断:
若S0=0,则a1=Sn-Sn-1,否则不符合,这在解小题时比较有用.
变式 已知下列数列{an}的前n项和Sn,分别求它们的通项公式an.
(1)Sn=2n2+3n;
(2)Sn=3n+1.
类型三 由递推公式求通项公式
例三 写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式.
(1)a1=1,an+1=2n·an(n≥1);
(2)a1=1,an=an-1+
(n≥2).
【评析】已知a1和数列递推关系求通项时,可先计算出前若干项,通过分析这些项与序号的关系,归纳猜想出数列的通项公式,但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证;但对于“
=f(n)”型递推关系常用“累乘法”求通项;对于“an-an-1=f(n)”型递推关系常用累加法求通项;以上两种情形皆可用迭代法求通项.还须注意检验n=1时,是否适合所求.
变式 写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式.
(1)a1=1,an=3n-1+an-1;
(2)a1=4,an+1=
an.
类型四 数列通项的性质
例四 在数列{an}中,an=(n+1)
(n∈N*).
(1)求证:
数列{an}先递增,后递减;
(2)求数列{an}的最大项.
【评析】要证明数列{an}是单调的,可利用“{an}是递增数列⇔an<an+1,数列{an}是递减数列⇔an>an+1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.
变式 设函数f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}满足
=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的单调性.
【点睛】
1.已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:
(1)如果符号正负相间,则符号可用(-1)n或(-1)n+1来调节.
(2)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借助分子、分母的关系来解决.
(3)对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.
2.an=
务必注意an=Sn-Sn-1是在n≥2的条件下,还需注意验证a1是否符合an(n≥2),是则合并,否则写成分段形式.
3.已知递推关系求通项
这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法,以及“累加法”“累乘法”等.
(1)已知a1且an-an-1=f(n),可以用“累加法”得:
an=a1+f
(2)+f(3)+…+f(n-1)+f(n).
(2)已知a1且
=f(n),可以用“累乘法”得:
an=a1·f
(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n).
4.数列的简单性质
(1)单调性:
若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列.
(2)周期性:
若an+k=an(n∈N*,k为非零正整数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期.
(3)最大值与最小值:
若
则an最大;若
则an最小.
针对训练
1.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是( )
A.1+
B.-1+
C.1-
D.1-
2.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+
(n≥3),则a4等于( )
A.
B.
C.4D.5
3.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n(n-40),则下列判断中正确的是( )
A.a19>0,a21<0B.a20>0,a21<0
C.a19<0,a21>0D.a19<0,a20>0
5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+lg
,则an的值为( )
A.2+lgnB.2+(n-1)lgn
C.2+nlgnD.1+nlgn
6.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
7
4
5
8
1
3
5
2
6
数列{xn}满足x1=2,且对任意n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013的值为( )
A.9394B.9380
C.9396D.9400
7.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为________.
8.根据下面的图形及相应的点数,在空格和括号中分别填上适当的图形和点数,并写出点数构成的数列的一个通项公式an=________.
9.根据数列{an}的前几项,分别写出下列数列的一个通项公式.
(1)7,77,777,7777,…;
(2)4,-
,2,-
,
,…;
(3)3,5,3,5,…; (4)1,2,2,4,3,8,4,16,….
10.数列{an}中,an=n-
,求数列{an}的最大项和最小项.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=
,当n≥3时,求证:
Tn>Tn+1.
12已知数列{an}的通项an=
(n∈N*),求{an}的最大项及最小项.