铜仁中考数学二次函数压轴题.docx
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铜仁中考数学二次函数压轴题
铜仁中考数学二次函数压轴题
专题练习
一、等腰三角形存在性问题:
1、如图,已知二次函数y1=﹣x2+
x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b.
(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;
(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?
若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.
2、如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?
若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
3、如图,二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.
二、直角三角形存在性问题:
1、如图,抛物线
经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(
,
)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
3、如图,抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)请求抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A,B两点的坐标;
(2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值;
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?
若存在,请求出;如果不存在,请说明由.
三、全等三角形的存在性问题
1、如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且BE=4EC.
①求n的值;
②连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,△AGF与△CGD是否全等?
请说明理由;
(3)直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点M关于y轴的对称点为点M',点H的坐标为(1,0).若四边形OM'NH的面积为
.求点H到OM'的距离d的值.
2、如图,在平面直角坐标系xOy,已知二次函数y=﹣
x2+bx的图象过点
A(4,0),顶点为B,连接AB、BO.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若C是BO的中点,点Q在线段AB上,设点B关于直线CQ的对称点
为B',当△OCB'为等边三角形时,求BQ的长度;
(3)若点D在线段BO上,OD=2DB,点E、F在△OAB的边上,且满足△DOF与△DEF全等,求点E的坐标.
3、如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(0,﹣2),并与x轴交于
点C,点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M,B,C三点不在同一直线上).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在抛物线上找出两点P1,P2,使得△MP1P2与△MCB全等,并求出点P1,P2的坐标;
(3)在对称轴上是否存在点Q,使得∠BQC为直角,若存在,作出点Q(用尺规作图,保留作图痕迹),并求出点Q的坐标.
四、相似三角形的存在性问题:
1、如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接PB、PC,求△PBC的面积;
(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AB=BO=2,∠AOB=30°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
3、如图,抛物线y=﹣
x2+
x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
(1)试求A,B,C的坐标;
(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.
①求点D的坐标;
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由;
(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似?
若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
4、矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示,A、C两点的坐标分别为
A(10,0)、C(0,3),直线
与BC相交于点D,抛物线y=ax2+bx经
过A、D两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AD,试判断△OAD的形状,并说明理由.
(3)若点P是抛物线的对称轴上的一个动点,对称轴与OD、x轴分别交于点M、N,问:
是否存在点P,使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
五、四边形存在性问题:
1、如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,
)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?
若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图,对称轴为直线x=
的抛物线经过点A(6,0)和B(0,﹣4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第一象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式;
(3)当
(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形.
3、如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积;
(3)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?
若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
4、抛物线y=﹣x2+2x+n经过点M(﹣1,0),顶点为C.
(1)求点C的坐标;
(2)设直线y=2x与抛物线交于A、B两点(点A在点B的左侧).
①在抛物线的对称轴上是否存在点G.使∠AGC=∠BGC?
若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;
②点P在直线y=2x上,点Q在抛物线上,当以O,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点Q的坐标.
5、如图,二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.
6、如图,抛物线
与y轴交于A点,过点A的直线与抛物
线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在
(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接C
M,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行
四边形?
对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?
请说明理由.
7、如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.