最新第五章等参单元1Word文档下载推荐.docx

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显然式（4．1）中的常数项就是提供刚体移的。

2、位移模式中必须包括反应常应变的线性位移项。

当单元分割得十分细小时，单元中的应变就接近于常量。

所以选取的位移模式就必须反应这一点，由第一章可知线性位移项就是提供常应变的。

单元的位移模式满足了上述两个条件者，称为完备单元。

3、位移模式必须能保证单元之间位移的连续性。

在连续弹性体中位移是连续的，所以分割成许多单元后，相邻单元的位移必须保持连续，这就要使相邻单元的公共边界具有相同的位移，以避免发生两相邻单元互相脱离或互相位侵入的现象。

这种连续性在有的文献中称为协调性或相容性。

现在具体分析几种单元的位移模式。

图4—1表示两个相邻的三节点三角形单元，其公共节点『及m的位移对两个单元是一样，由于三节点三角形单元的位移模式是坐标的线性函数，公共边用M在变形后仍是一条直线，所以上述两个相邻单元在iM边上的任意一点都具有相同位移，从而保证了连续性。

图4—2表示两个相邻矩形单元，其公共边界是MM，相当于y＝常数的一条直线，由表4—l可知矩形单元的位移模式是，

当y＝常数，位移分量M是按线性变化的，所以和前例同样的推理，可以证明两个相邻矩形单元的位移在公共边界上是连续的。

对于六节点的三角形单元及八节点的矩形单元，在单元边界上位移分量是按抛物线变化的，而每条公共边界上有三个公共节点，正好可以保证相邻两单元位移的连续性。

在第一章中通过三角形单元推导了位移模式的又一表达式形式（1.13）

式中

n——单元节点数

节点的形函数，是单元内任一点坐标（x，y）的函数，它表示当节点i发生单位位移时单元内部位移的分布形状。

显然在一个单元内，每个节点都有其形函数N贝。

…。

一个单元的形函数都应满足下列两个条件：

1

例如：

一个三节点三角形单元，有

当等号左边M＝Df时，欲使等号两边相等，显然应为1，而、贝。

必须为0。

形函数的这个特点，可以由图4—3表示，其中（a）图是三节点三角形单元，（b）图是六节点三角形单元。

2．一个单元中所有节点的形函数之和为1，即

这个条件就是反应单元的刚体位移，因物体作刚体位移时，单元的各节点及单元内任意点的位移都应等于物体的位移，则有

所以

掌握了形函数的上述特点，就可以直接写出其表达式，而不必再由位移分量的多项式方程推导出来，在下面分析等参数单元时，将直接用形函数表述。

在平面问题的有限元中，最简单的单元是三节点的三角形单元，由于这种单元中的应变及应力是常数，而通常计算对象的应力场又往往随坐标而急剧变化，所以在应用常应变的三角形单元时，必须划分大量的微小单元，才能得到较好的计算精度，因而用三节点三角形单元算题时，往往节点数最多，原始输入数据庞大。

四节点的矩形单元能够比三角形单元更好的反映实际应力变化，但它不能适府曲线边界和非直角的直线边界，也不便随意改变大小。

所以上述的两种单元都有其不足之处。

如果有任意四边形单元，如果4-4（a）所示就可以克服矩形单元之不足，但是这种单元的位移模式如何能否满足前面所述的条体则是本节要解决的问题。

由于任意四边形只有四个节点，所以仍应采用只具有四个待定系数的位移模式。

但是，和矩形单元不同，两个任意四边形单元的公共边上位移将不是线性变化，位移的连续性将得不到保证。

如何解决这矛盾，办法是采用坐标变换。

在图4—4（a）中的任意四边形单元上，作连接对边中点的直线，称之为e轴及q轴，取其交点为原点，并令四边上的5值及值分别为1，就得出一新坐标系，

称之为单元的局部坐标系。

将局部坐标系改画成直角坐标系，则图4—4（a）中的任意四边形单元就变成图4—4（b）所示的正方形单元。

这正方形单元的位移模式是，

而其中形函数为：

由图4-4（b）可知

则式（4．7）可以写成统一型式：

假如图4—4（a）中的任意四边形单元能用式（4．6）的位移模式及式（4．7）的形函数进行计算，则前面所提的位移连续性条件就可以得到满足，所以问题归结为：

如何将任意四边形单元的整体坐标（x，y），变换成正方形单元的局部坐标（5，D）。

由于式（4．7）所列的形函数都能满足中所列的两个条件，即

及

因而可以写出如下关系：

x，y——任意四边形单元中某一点的坐标；

----任意四边形单元中i节点的坐标。

显然在四个节点处，式（4．9）所示的关系无疑是成立的现在要证明在四条边上，这关系也是正确的。

以1—2边为例，在此边上局部坐标D＝—1，代入（4．9）式，得

或改写成

同样可得

可见，由正方形单元1—2边的局部坐标换算出的整体坐标（x，y）是线性变化的，这和任意四边形单元的1—2边是一致的，所以式（4．9）对于四条边也是正确的。

式（4.9）中（x，y），（5‘，y‘）是整体坐标，而川是局部坐标（5，o）的函数，因此式（4．9）被称为坐标变换式。

利用此坐标变换式就可将单元内任一点的整体坐标（x，y）换算成局部坐标G，o），或是将局部坐标换算成整体坐标。

这样因4—4（a）中的任意四边形单元就可以用图（b）中的正方形单元的位移模式及形函数进行计算了。

通常称局部坐标的正方形单元为母单元或基本单元，称整体坐标的任意四边形单元为子单元或实际单元。

比较式（4．6）及式（4．9），可以看到：

描述位移和描述坐标都采用相同形函数，所以这种单元称为等参数单元。

’

由式（1．17）可知，在计算单元应变时需要计算位移对整体坐标x,y的偏导数，即

由（4．6）得

在等参数单元中，如式（4．7）所示，形函数Arf是局部坐标5，”的函数，式（4．10）无法直接求导，必须应用复合函数求导的法则。

式（4．9）可简写为，

根据复合函数的求导法则，得

或写成

设

J称为雅可比矩阵则有

由式（4.8）及式（4.9），可得

其中Jl，Js，Js，J‘为局部坐标S，1的函数[JI为雅可比矩阵的行列式。

由式（4．8）可得：

可见每个单元的雅可比矩阵取决于其四个节点在整体坐标中的坐标值，当1／iF为零时，逆阵／‘就一定存在。

根据式（4．12）和式（4．14），得

式（4．25）代入式（4．10），得

则单元应变可写为

上式中右边的列向量为，

则单元应变为：

一章67中已根据虚功原理得到：

4F）’一单元节点力

46“＞’——单元节点虚位移

167一单元内应力

45’）一单元内虚应变

f——单元的厚度

将式（4．17）代入式（4．18）得

消去等号两边的虚位移t6）“，得

将式（1．23）及式（4．17）代入上式，得

式[4．19）中被积项为单元局部坐标5，q的函数，根据积分变量替换法，将积分变量“，y变换成5Ig，有

在局部坐标系中，积分区间为（—1之5＜1，—1＜q＜1：

因此式（4．I9）成为；

式中积分项就是单元刚度矩阵LAll。

其中

被积困数／（5，P）是很复杂的，一般都采用高斯数值积分法计算式（4．21）的积分，不详述。

综上所述，利用雅可比矩阵和其行列式，可以在局部坐标下，用高斯数值积分方法，求得等参数单元的刚度矩阵。

喜欢□一般□不喜欢□以上以任意四边形单元为例，简要说明了等参数单元的基本原理。

等参数单元的整体分析原理上和第二章所述没有差别，不重复。

为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。

这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。

等参数单元的实际单元可以不只是任意直线四边形，更多用的是任意曲线四边形，形函数N‘也可采用更高次的函数。

单元可以不只是二维的，三缩的也同样适用。

在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46%的女生认为在十元以下的价位是可以接受；

48%的认为在10-15元；

6%的则认为50-100元能接受。

如图1-2所示

（二）上海的人口环境对饰品消费的影响

6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？

（3）个性体现

7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品？

在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要商圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐为一大热门。

在人民广场地下的迪美购物中心，有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”

（4）牌子响

据统计，上海国民经济持续快速增长。

03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。

第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。