百校联盟全国卷I高考最后一卷押题卷理科数学第八模Word文件下载.docx
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（1-）3=,所以他投4次,恰有1次投不中的概率为.
5．已知双曲线C1:
-=1（m>
0）与双曲线C2:
-=1有相同的渐近线,则两个双曲线的四个焦点构成的四边形的面积为
A.10B.20C.10D.40
【解析】本题主要考查双曲线的性质、四边形的面积,考查考生分析问题、解决问题的能力,属于中档题.
因为双曲线-=1的渐近线为y=±
2x,而-=1的渐近线为y=±
x,所以=2,所以m=1,所以双曲线C1的焦点坐标为（0,±
）,C2的焦点坐标为（±
2,0）,所以四边形的面积为×
4×
2=20.
6．运行如图所示的程序框图,若输出的y值为63,则循环体的判断框内①处应填
A.n<
9?
B.n=8?
C.n<
7?
D.n≥8?
【答案】C
【解析】本题考查循环结构的程序框图,考查考生对程序框图的理解与应用,正确判断出y与n的变化是解题的关键.
运行程序框图,y的值依次为-,-,0,1,3,7,15,31,63,n的值依次为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,由题意易知选C.
7．已知等差数列{an},Sn是其前n项和,S3-S6=48,a4-a1=-15,则a10=
A.-41B.41C.-40D.-39
【解析】本题主要考查等差数列的性质、通项公式、前n项和公式.根据等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于a1、d的方程组,解出a1、d,再根据等差数列的通项公式求a10;
也可根据等差数列的性质求解.
设等差数列{an}的公差为d,
解法一 由已知得,解得,所以a10=4+9×
（-5）=-41.
解法二 因为在等差数列{an}中,S3-S6=48,所以a4+a5+a6=-48,所以a5=-16,因为a4-a1=-15,所以d=-5,所以-16=a1+4×
（-5）,所以a1=4,所以a10=4+9×
8．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A>
0,ω>
0,|φ|<
）的部分图象如图所示,则函数f（x）在下列区间上是减函数的为
A.[-,π]B.[,2π]C.[π,3π]D.[-,]
【解析】本题主要考查函数f（x）=Acos（ωx+φ）的性质.先求A,再由T=-求周期T,由=T求ω,根据点（,2）在函数f（x）的图象上,求得φ,由2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π（k∈Z）得到函数f（x）的单调递减区间,比较得出结论.
由题图知A=2,T=-=π,所以T=4π,所以ω=,所以f（x）=2cos（x+φ）,因为点（,2）在函数f（x）的图象上,所以2=2cos（+φ）,所以cos（+φ）=1,所以+φ=2kπ（k∈Z）,因为|φ|<
所以φ=-,所以f（x）=2cos（x-）.由2kπ≤x-≤2kπ+π（k∈Z）得4kπ+≤x≤4kπ+（k∈Z）,令k=0,≤x≤,因为[,2π]⊆[,],所以选B.
9．已知动点M（x,y）在过点（-,-2）的圆x2+y2-2x+4y=0的两条切线和x-y+1=0围成的区域内,则z=的取值范围为
A.（-1,0）∪（0,]B.[-1,0）∪（0,]C.[-1,0）∪（0,）D.[-1,]
【解析】本题主要考查圆的切线、直线方程、不等式组表示的平面区域、目标函数的最值,考查考生的数形结合思想.设直线的斜率为k,写出直线方程,由直线和圆相切,根据点到直线的距离公式求出k,再根据线性规划知识求解.
由题意知,圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为（1,-2）,半径r=,过（-,-2）的直线方程设为y=k（x+
）-2,因为直线和圆相切,所以,解得k=±
2,所以两条切线的方程分别为l1:
2x-y+1=0,l2:
2x+y+5=0,直线l1、l2和直线x-y+1=0围成的区域如图中阴影部分所示.
当x=-1时,z=0,当x≠-1时,z=,令t=1+,因为t的几何意义为可行域内的点与D（-1,2）的连线的斜率的2倍加1,由图知kDC=3,kDB=-1,所以t∈（-∞,-1]∪[7,+∞）,所以z∈[-1],故选D.
10．已知定义在R上的可导函数f（x）,当x∈（1,+∞）时,（x-1）f'
（x）-f（x）>
0恒成立,若a=f
（2）,b=f（3）,c=f（）,则a,b,c的大小关系是
A.c<
a<
bB.a<
b<
cC.b<
cD.a<
c<
b
【解析】本题主要考查函数的构造,利用导数判断函数的单调性,再利用函数的单调性比较大小,构造函数是解题的关键.
由题意设F（x）=,∵x（1,+∞）时,（x-1）f'
0恒成立,∴F'
（x）=>
0,∴F（x）在（1,+∞）上是增函数.∵a=f
（2）==F
（2）,b=f（3）==F（3）,c=f（）=F（）,由于<
2<
3,∴F（）<
F
（2）<
F（3）,即c<
b.
11．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,PC为球O的直径,该三棱锥的体积为,则球O的表面积为
A.πB.2πC.3πD.4π
【解析】本题考查棱锥的体积,考查球内接多面体.解题的关键是确定点P到平面ABC的距离.根据题意作出图形,欲求球O的表面积,只需求球的半径r,利用截面圆的性质即可求出OO1,进而求出底面ABC上的高PD,即可计算出三棱锥的体积,从而建立关于r的方程,即可求出r,从而解决问题.
根据题意作出图形,设球心为O,球的半径为r,过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,连接OO1,则OO1⊥平面ABC,连接CO1,并延长交球于点D,连接PD,则PD⊥平面ABC.∵CO1=,∴OO1=,∴PD=2OO1=2,∵△ABC是边长为1的正三角形,∴S△ABC=,∴V三棱锥P-ABC=×
2,∴r=1,则球O的表面积为4π.
12．已知点A,B在抛物线y2=4x上,且·
=0（O为坐标原点）,则直线AB恒过定点
A.（0,2）B.（2,0）C.（4,0）D.（0,4）
【解析】本题考查向量垂直的条件,考查直线与抛物线的位置关系,以及证明直线恒过定点.设出A,B的坐标,当直线斜率存在时,联立直线方程与抛物线方程,利用消元法得到关于x的一元二次方程,由·
=0,得x1x2+y1y2=0,建立关于参数k,b的关系,消去b可得直线恒过（4,0）,再考虑斜率不存在时结论成立,即可得出结论.
设点A,B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,不妨设点A在x轴的上方.
（1）当直线AB的斜率存在时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.联立方程,消去y得k2x2+（2kb-4）x+b2=0 ①,则x1x2=,由=4x1,=4x2,得y1y2=4·
又·
=0,则x1x2+y1y2=0,即+=0,解得b=0（舍去）或b=-4k ②,故直线AB的方程为y=kx-4k=k（x-4）,故直线过定点（4,0）.
（2）当直线AB的斜率不存在时,设它的方程为x=m,显然m>
0,联立方程解得y=±
2,即y1y2=-4m,又·
=0,所以x1x2+y1y2=0,即m2-4m=0,解得m=0（舍去）或m=4,可知直线AB的方程为x=4,故直线过定点（4,0）.故选C.
二、填空题：
共4题
13．二项式（5x3-）8的展开式中常数项为 .
【答案】28000
【解析】本题主要考查二项式定理.先根据二项展开式的通项求Tr+1,再令x的指数为0,求得r,进而可得展开式中的常数项.
依题意知Tr+1=（-1）r·
·
（）r=（-1）r·
x24-4r,令24-4r=0,得r=6,所以展开式中常数项为（-1）6·
=28000.
14．已知某几何体的三视图如图所示,图中小方格是边长为1的正方形,则该几何体的体积为 .
【答案】128+32π
【解析】本题主要考查三视图、空间几何体的体积.原几何体是由一个圆柱和正四棱柱构成的,根据已知数据即可求解几何体的体积.
由图知,原几何体是由一个圆柱和正四棱柱构成的,圆柱底面的直径等于正四棱柱底面边长4,高都是8,所以原几何体的体积V=[π×
（）2+42]×
8=128+32π.
15．设等比数列{an}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9= .
【答案】8
【解析】本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式,考查考生的推理能力与计算能力,属于中档题.由1-为a1,a3的等差中项,可得2（1-）=a1+a3,设等比数列{an}的公比为q,则q≠1,又由S6=6,可得=6,联立得q3=2,即可得出结论.
∵1-为a1,a3的等差中项,∴2（1-）=a1+a3,设等比数列{an}的公比为q,则q≠1,∴2（1-）=a1+a1q2,又前6项和S6=6,∴=6,联立得q3=2,∴a1=2（q-1）.∴a7+a8+a9=a1q6（1+
q+q2）=2（q-1）q6（1+q+q2）=2q6（q3-1）=2×
22×
（2-1）=8.
16．已知函数f（x）=,g（x）=x+m,若函数h（x）=f（x）-g（x）有四个零点,则实数m的取值范围是 .
【答案】
（,+∞）
【解析】本题主要考查分段函数,函数的零点,数形结合思想.作出分段函数f（x）的图象,由于直线y=x+m与函数y=x-2+的图象相切时函数f（x）与g（x）的图象有三个交点,求出此时实数m的值,再结合图象观察可得实数m的取值范围.
作出函数f（x）=的图象如图所示,函数h（x）=f（x）-g（x）有四个零点,即函数f（x）与g（x）的图象有四个交点.由图可知,当直线y=x+m与函数y=x-2+的图象相切时函数f（x）与g（x）的图象有三个交点,设切点的坐标为（a,b）,因为y'
=1-,所以,得,所以若函数h（x）=f（x）-g（x）有四个零点,实数m的取值范围是（,+∞）.
三、解答题：
共8题
17．已知函数f（x）=2sin（x-）sin（x+）,x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期;
（2）在△ABC中,若A=,c=2,且锐角C满足f（+）=,求△ABC的面积S.
（1）由题意得,
f（x）=2sin（x-）sin（x+）
=2sin（x-）sin[+（x-）]
=2sin（x-）cos（x-）
=sin（2x-）,
所以函数f（x）的最小正周期为=π.
（2）由
（1）得,f（+）=sin[2（+）-]=sinC,
所以sinC=,又角C为锐角,所以C=.
由正弦定理,得,
又c=2,所以a=2.
又sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=,
所以△ABC的面积S=acsinB=×
2×
=1+.
【解析】本题考查诱导公式、三角恒等变换及正弦定理和三角函数的最小正周期等.
（1）先利用诱导公式及二倍角公式化简,再求解三角函数的最小正周期;
（2）求得角C后,利用正弦定理转化求解.
【备注】将解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合考查是高考考查的一个主要方向,其基本解题思路是使用正、余弦定理把求解目标化为关于三角形中一个内角的三角函数,通过研究该三角函数的性质得出结论.
18．根据微信同程旅游的调查统计显示,参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位:
岁）情况如图所示.
（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列,求a,b的值;
（2）为鼓励大家网上购票,该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销,具体做法如下:
年龄在[30,50）岁的每人发放20元,其余年龄段的每人发放50元,先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访调查,求此3人获得代金券的金额总和X的分布列和数学期望.
（1）依题意,a+b=0.060,a+0.015=2b,
解得a=0.035,b=0.025.
（2）利用分层抽样的方式从1000位网上购票者中抽取10人,其中年龄在[30,50）岁的有6人,其余年龄段的有4人.
从中随机抽取3人,则这3人获得代金券的金额总和X的所有可能取值为60,90,120,150,
且P（X=60）=,P（X=90）=,
P（X=120）=,P（X=150）=.
故X的分布列为
数学期望EX=60×
+90×
+120×
+150×
=96.
【解析】本题主要考查概率与统计的基础知识,主要涉及频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列和数学期望等.
【备注】新课标全国卷往往将统计与概率整合在一起考查,大都与频率分布直方图和离散型随机变量的分布列有关,复习时应熟练掌握统计的基础知识和基本思想,熟悉统计数据的处理方法,准确理解各种分布图表的意义,掌握常见概率模型的计算,牢记期望和方差的计算公式.
19．如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,△ADP是边长为4的等腰直角三角形,PC,PD的中点分别为E,.
（1）求证:
EF∥平面PAB;
（2）求二面角E-AD-B的大小.
（1）在△PCD中,因为E、F分别是PC、PD的中点,
所以EF∥CD,
因为四边形ABCD为正方形,
所以AB∥CD,
所以EF∥AB.
因为AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
（2）解法一 因为四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,
作EG⊥平面ABCD于G,EH⊥AD于H,连接GH,
所以∠EHG为二面角E-AD-B的平面角.
因为△ADP是边长为4的等腰直角三角形,E、F分别是PC、PD的中点,
所以GH=GE=2,
所以△GEH是等腰直角三角形,∠EHG=45°
.
故二面角E-AD-B的大小为45°
解法二
因为四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为△ADP是边长为4的等腰直角三角形,所以AP=AB=AD=4,
所以A（0,0,0）,P（0,0,4）,D（-4,0,0）,E（-2,2,2）,
所以=（-4,0,0）,=（-2,2,2）,=（0,0,4）.
设平面EAD的法向量为n=（x,y,z）,则,
所以,即,不妨令z=-1,则y=1,所以n=（0,1,-1）为平面EAD的一个法向量,
易知向量=（0,0,4）为平面ABD的一个法向量,
设二面角E-AD-B的大小为θ,
所以cosθ=,
所以二面角E-AD-B的大小为45°
【解析】本题主要考查四棱锥的性质、线面垂直的性质、线面平行的判定、二面角等知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力.
（1）先证EF∥CD,再证EF∥AB,由线面平行的判定定理可得EF∥平面PAB;
（2）解法一,先找二面角的平面角,再求其大小;
解法二,先建立空间直角坐标系,再求两平面的法向量,最后求解二面角的大小.
【备注】高考中立体几何解答题一般都会设计两问来考查相关知识点,其中第
（1）问考查空间直线、平面间的平行或垂直关系的判断或证明,解题思路主要是利用平行或垂直的判定定理、性质定理等进行证明;
第
（2）问考查空间角的求解,解题方法一般有传统法和向量法两种,用传统法求解空间角时,三步解题程序不能少,即先找出或作出有关的平面角,再证明它符合空间角的定义,最后归纳到某个三角形中进行计算,用向量法求解空间角时,关键是根据图形特点合理建系.
20．如图,已知F1、F2是椭圆C:
+=1（a>
b>
0）的左、右焦点,以BF2为直径的圆D经过椭圆的上顶点A,且||=||,·
=6.
（1）求椭圆C的方程及圆D的方程;
（2）斜率为k的直线l过右焦点F2,且与椭圆C交于M、N两点,若在x轴上存在点P（m,0）,使得以PM、PN为邻边的平行四边形为菱形,求实数m的取值范围.
（1）因为以BF2为直径的圆经过椭圆的上顶点A,且||=||,
所以∠BAF2=,∠BAF1=∠ABF1,
所以∠F1AF2+∠BAF1=∠AF2B+∠ABF1,
所以∠F1AF2=∠AF2F1,
所以△F1AF2是等边三角形.
所以||=||=||=2c,
又||2=||2+|,即4c2=c2+b2=a2,
则B（-3c,0）,F1（-c,0）,F2（c,0）,A（0,b）,
所以·
=（c,b）·
（3c,b）=3c2+b2=6,
所以a2=4,b2=3,c2=1,
所以椭圆C的方程为+=1.
由F1（-1,0）,|AF1|=2,得
圆D的方程为（x+1）2+y2=4.
（2）由
（1）知F2（1,0）,则l:
y=k（x-1）,
联立,消去y整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0,
设M（x1,y1）、N（x2,y2）,则Δ=（-8k2）2-4（3+4k2）（4k2-12）=16×
9（k2+1）>
0,x1+x2=,y1+y2=k（x1+x2-2）,
所以+=（x1-m,y1）+（x2-m,y2）=（x1+x2-2m,y1+y2）.
由于菱形的对角线互相垂直,则（+）·
=0,
因为的一个方向向量是（1,k）,故x1+x2-2m+k（y1+y2）=0,所以x1+x2-2m+k2（x1+x2-2）=0,
所以k2（-2）+-2m=0,
由已知条件知k≠0,
所以m=,所以0<
m<
故实数m的取值范围是（0,）.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查考生的分析能力、计算能力.
（1）由条件判断△F1AF2是等边三角形,根据勾股定理、·
=6求出椭圆方程中的a2、b2,从而求得椭圆的标准方程、圆的标准方程;
（2）联立方程,消去y整理得关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系、菱形的对角线互相垂直,得到（+）·
=0,通过向量的坐标运算求解m的取值范围.
【备注】解析几何的考查方式:
第
（1）问根据定义求解圆锥曲线的方程,解决图形中的一些简单问题;
第
（2）问是直线与椭圆的位置关系,往往会涉及定点、定值及最值问题,范围问题一般综合性较强,常用来考查考生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.
21．设a∈R,函数f（x）=x3-3ax2+a.
（1）若x=-1是函数y=f（x）的极值点,求a的值;
（2）是否存在实数a,使得当x∈[1-a,1+a]时,恒有-1≤f'
（x）≤1成立（f'
（x）是函数f（x）的导函数）?
若存在,请求出a的取值范围;
若不存在,请说明理由.
（1）f'
（x）=3x2-6ax,因为x=-1是函数y=f（x）的极值点,所以f'
（-1）=0,即3+6a=0,a=-.
经验证,当a=-时,x=-1是函数y=f（x）的极值点.
（2）由
（1）知f'
（x）=3x2-6ax=3（x-a）2-3a2,
由1-a<
1+a,得a>
0.
①当1-a≥a,即0<
a≤时,函数f'
（x）在[1-a,1+a]上单调递增,
所以3（1-a）2-6a（1-a）≤f'
（x）≤3（1+a）2-6a（1+a）,
因为当x∈[1-a,1+a]时,恒有-1≤f'
（x）≤1成立,
所以,无解.
②当1-a<
a,即a>
时,f'
（x）min=f'
（a）=-3a2,
f'
（x）max=max{f'
（1-a）,f'
（1+a）},
（1-a）=3（1-a）2-6a（1-a）=9a2-12a+3,
（1+a）=3（1+a）2-6a（1+a）=-3a2+3,
（1-a）-f'
（1+a）=（9a2-12a+3）-（-3a2+3）=12a2-12a,
所以当<
1时,f'
（1-a）<
（1+a）;
当a≥1时,f'
（1-a）≥f'
（1+a）.
所以或,无解.
综上所述,不存在满足条件的实数a.
【解析】本题主要考查导数知识的运用,考查分类讨论思想.
（1）求f'
（x）,利用x=-1是函数y=f（x）的极值点,求a的值;
（2）求f'
（x）,利用分类讨论思想求解.
【备注】利用分类讨论思想解题的步骤:
（1）确定分类讨论的对象,即对哪个变量或参数进行分类讨论;
（2）对所讨论的对象进行合理的分类;
（3）逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决;
（4）归纳总结,即将各类情况归纳总结.恒成立问题的两种情况:
在区间[m,n]上,a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max;
在区间[m,n]上,a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.
22．如图,PD与圆O相切于D,PO与圆O交于A,B两点,∠DPB=∠CA.
（1）证明:
△ABC∽△POD;
（2）若圆O的半径为3,BC=2,求PD的长.
（1）因为PD与圆O相切于D,
所以∠ODP=90°
因为PO与圆O交于A、B两点,
所以AB是圆O的直径,
所以∠BCA=90°
故∠ODP=∠BCA.
又∠DPB=∠CAB,
所以△ABC∽△POD.
（2）由
（1）知△ABC∽△POD,
所以,
因为圆O的半径为3,BC=2,
所以,解得PA=6.
因为PD与圆O相切于D,
所以PD2=PA·
PB=PA·
（PA+AB）=6×
（6+6）=72,
所以PD=6.
【解析】本题主要考查三角形相似、切割线定理等知识,考查运算求解能力、推理论证能力.
（1）先证∠ODP=90°
再证∠BCA=90°
结合∠DPB=∠CAB可得△ABC∽△POD;
（2）先由△ABC∽△POD,得,求出PA,再由切割线定理求PD.
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是（t为参数）.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
（2）设直线l与x轴的
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