3.函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，则当x<0时，f（x）＝________.
解析 当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1＝－f（x），
所以f（x）＝－x－1.
答案 －x－1
[微思考]
1.为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称？
提示 由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内（若－x不在定义域内，则f（－x）无意义），因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
2.对于函数f（x）＝ax2＋bx＋c.
（1）若f（x）为偶函数，需满足什么条件？
（2）若f（x）为奇函数，需满足什么条件？
提示
（1）b＝0
（2）a＝c＝0
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝2－|x|；
（2）f（x）＝
＋
；
（3）f（x）＝
；
（4）f（x）＝
解
（1）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝2－|－x|＝2－|x|＝f（x），
所以f（x）为偶函数.
（2）函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，又f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），
所以f（x）既是奇函数又是偶函数.
（3）函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f（x）是非奇非偶函数.
（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.
当x>0时，－x<0，f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x<0时，－x>0，f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
（1）定义法：
若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f（－x）是否等于±f（x），或判断f（－x）±f（x）是否等于0，从而确定奇偶性.
（2）图象法：
若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
【训练1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x5；
（2）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|；
（3）f（x）＝
.
解
（1）函数的定义域为R.又f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），所以f（x）是奇函数.
（2）f（x）的定义域是R.因为f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），所以f（x）是偶函数.
（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.
题型二 利用函数奇偶性求参数（值）
【例2】
（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则
a＝________，b＝________；
（2）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
解析
（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＋2a＝0，解得a＝
，又函数f（x）＝
x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
（2）由奇函数定义有f（－x）＋f（x）＝0，
得a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
答案
（1）
0
（2）0
规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型
（1）定义域含参数：
奇偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.
（2）解析式含参数：
根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解.
【训练2】
（1）设函数f（x）＝
为奇函数，则a＝________.
（2）已知函数f（x）＝
为奇函数，则a＋b＝________.
解析
（1）因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），
即
＝－
，
显然x≠0，整理得x2－（a＋1）x＋a＝x2＋（a＋1）x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
（2）由题意知
则
所以
当a＝－1，b＝1时，经检验知f（x）为奇函数，故a＋b＝0.
答案
（1）－1
（2）0
题型三 利用奇偶性求函数解析式
【例3】
（1）函数f（x）是在R上的偶函数，且当x<0时，f（x）＝x（x－1），则当x>0时，f（x）＝________.
（2）f（x）为R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）＝________.
解析
（1）当x>0时，－x<0，则f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1）.
因为函数f（x）为R上的偶函数，故f（x）＝f（－x）＝x（x＋1）.
（2）当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝2x2＋3x－1.
即当x<0时，f（x）＝2x2＋3x－1.
因为f（x）为R上的奇函数，故f（0）＝0.
综上，f（x）的解析式为f（x）＝
答案
（1）x（x＋1）
（2）
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应设在哪个区间上.
（2）要利用已知区间的解析式进行代入.
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）.
提醒：
若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0.
【训练3】
（1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）＝－x2－x，求函数f（x）的解析式.
（2）已知f（x）是R上的偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x－1，当x∈（－∞，0）时，求f（x）的解析式.
解
（1）设x>0，－x<0，
则f（－x）＝－（－x）2－（－x）＝－x2＋x.
又f（x）是R上的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f（0）＝0，
综上可知f（x）＝
（2）设x<0，－x>0，
则f（－x）＝（－x）2＋（－x）－1＝x2－x－1，
又f（x）在R上为偶函数，∴当x∈（－∞，0）时，f（x）＝f（－x）＝x2－x－1.
题型四 函数单调性与奇偶性的应用
方向1 比较大小问题
【例4－1】 若对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），且f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，则（ ）
A.f
（2）
B.f
（2）C.f
（2）D.f（－1）（2）
解析 ∵f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，
∴f
（2）＝f（－2）.
又f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，且－2<－
<－1.
∴f
（2）＝f（－2）答案 B
方向2 区间内的最值问题
【例4－2】 若奇函数f（x）在区间[2，5]上的最小值是5，那么f（－x）在区间[－5，－2]上有（ ）
A.最小值5B.最小值－5
C.最大值－5D.最大值5
解析 奇函数图象关于原点对称，并且奇函数f（x）在区间[2，5]上的最小值是5，所以f（x）在区间[－5，－2]上有最大值－5，所以f（－x）＝－f（x）在区间[－5，－2]上有最小值5.
答案 A
方向3 不等式问题
【例4－3】 设定义在[－3，3]上的奇函数f（x）在区间[0，3]上是减函数，若f（1－m）解析 因为f（x）是奇函数且f（x）在[0，3]上是减函数，
所以f（x）在[－3，3]上是减函数.
所以不等式f（1－m）解得－2≤m<
.
答案 {m|－2≤m<
}
规律方法 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路
（1）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.
（2）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）>f（x2）或f（x1）【训练4】
（1）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是________.
解析 因为f（x）是偶函数，则f（－2）＝f
（2），f（－3）＝f（3），又当x≥0时，f（x）是增函数，所以f
（2）答案 f（－2）（2）定义在[－2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）为减函数，若g（1－m）解 ∵g（x）在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
∴g（1－m）－1≤m<
.
即m的取值范围为
.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f（－x）＝±f（x）f（－x）f（x）＝0
＝±1（f（x）≠0）.
3.
（1）若f（x）＝0且f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
（3）如果一个奇函数f（x）在x＝0处有定义，那么一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.
二、审题答题
示范（四） 函数奇偶性的综合应用
【典型示例】（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝
（1）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）①；
（2）直接写出当x<0时f（x）的解析式②；
（3）讨论直线y＝m（m∈R）与y＝f（x）的图象的交点个数.③
联想解题
看到①首先想到作出x≥0时f（x）的图象，然后利用对称性，作出x<0时f（x）的图象.
看到②想到利用偶函数的定义，求解析式.
看到③想到在同一坐标系中作直线y＝m.
满分示范
解
（1）函数图象如图
4分
（2）f（x）＝
6分
（3）设交点个数为g（m），
当m>5时，g（m）＝0；8分
当m＝5时，g（m）＝2；
当1当m＝1时，g（m）＝3；
当m<1时，g（m）＝2；12分
综上所述，g（m）＝
（没有写出分段形式答案不扣分）
满分心得
（1）此类问题主要利用了奇、偶函数的对称性，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（2）定义域是函数的灵魂，尤其是求解析式时应注意定义域.
基础达标
一、选择题
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
解析 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.
答案 B
2.已知y＝f（x），x∈（－a，a），F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（x）是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析 F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x）.
又x∈（－a，a）关于原点对称，
∴F（x）是偶函数.
答案 B
3.函数f（x）＝
－x的图象（ ）
A.关于y轴对称
B.关于直线y＝x对称
C.关于坐标原点对称
D.关于直线y＝－x对称
解析 ∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝－
－（－x）＝x－
＝－f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称.
答案 C
4.已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝－x（x＋2）B.f（x）＝x（x－2）
C.f（x）＝－x（x－2）D.f（x）＝x（x＋2）
解析 设x<0，则－x>0，则f（－x）＝x2＋2x＝－f（x），
所以f（x）＝－x（x＋2），故选A.
答案 A
5.若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，则m的值是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
解析 f（－x）＝（m－1）x2－（m－2）x＋（m2－7m＋12），f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12），由f（－x）＝f（x），得m－2＝0，即m＝2.
答案 B
二、填空题
6.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f
（1）＋g
（1）＝________.
解析 在f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f（－1）－g（－1）＝1，即f
（1）＋g
（1）＝1.
答案 1
7.如果函数F（x）＝
是奇函数，则f（x）＝________.
解析 设x<0，∴－x>0，
∴F（－x）＝2（－x）－3＝－2x－3.
又∵F（x）为奇函数，∴F（x）＝－F（－x）＝2x＋3，即f（x）＝2x＋3.
答案 2x＋3
8.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0）上是增函数，且f
（2）＝0，则使得f（x）<0的x的取值范围是________.
解析 ∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0）上是增函数，所以f（x）在（0，＋∞）上是减函数，又因为f
（2）＝0，所以f（|x|）<0＝f
（2），即|x|>2，所以x>2或x<－2.
答案 （－∞，－2）∪（2，＋∞）
三、解答题
9.已知函数f（x）＝x＋
（a>0）.
（1）若f
（1）＝3，求a的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明.
解
（1）由题意知，f
（1）＝1＋a＝3，所以a＝2>0满足题意.
（2）函数f（x）为奇函数，证明如下：
函数f（x）＝x＋
（a>0）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）且关于原点对称.
又因为f（－x）＝－x＋
＝－
＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.
10.
（1）如图
（1），给出奇函数y＝f（x）的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f（3）的值.
（2）如图
（2），给出偶函数y＝f（x）的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f
（1）与f（3）的大小.
解
（1）奇函数y＝f（x）在y轴左侧图象上任一点P（－x，f（－x））关于原点的对称点为P′（x，f（x）），图（3）为图
（1）补充后的图象，易知
f（3）＝－2.
（2）偶函数y＝f（x）在y轴左侧图象上任一点P（－x，f（－x））关于y轴对称点为P′（x，f（x）），图（4）为图
（2）补充后的图象，易知f
（1）>f（3）.
能力提升
11.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b.
（1）求b值；
（2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）>0，求实数m的取值范围.
解
（1）因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，
所以f（0）＝0，解得b＝0（经检验符合题意）.
（2）因为函数f（x）在[0，2]上是增函数，又f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上是增函数，
因为f（m）＋f（m－1）>0，
所以f（m－1）>－f（m）＝f（－m），
所以m－1>－m，①
又需要不等式f（m）＋f（m－1）>0在函数f（x）定义域范围内有意义.
所以
②
解①②得
所以m的取值范围为
.
12.已知函数f（x）＝
是定义在（－1，1）上的奇函数，且f
＝
.
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（－1，1）上是增函数；
（3）解不等式：
f（t－1）＋f（t）<0.
解
（1）由题意，得
∴
（经检验符合题意），
故f（x）＝
.
（2）任取－1则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
∵－1∴x1－x2<0，1＋x
>0，1＋x
>0.
又－10.
∴
<0，
即f（x1）∴f（x）在（－1，1）上是增函数.
（3）∵f（x）在（－1，1）上是增函数，
且f（t－1）<－f（t）＝f（－t），
∴
解得0.
∴不等式的解集为{t|0}.
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