精编版四边形中新定义型试题探究.docx

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精编版四边形中新定义型试题探究

四边形中“新定义”型试题探究

四边形中“新定义”型试题探究

浙江省象山县丹城中学王赛英徐敏贤邮编315700

所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给“什么”，用“什么”，是“新定义”型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何“新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是：

正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律.

一、以特殊点为契机进行“新定义”

图1

例1（2007年宁波市中考数学试题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．

（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图,保留作图痕迹，不要求写作法）．

（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：

点P是四边形ABCD的准等距点．

图3

（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）．

图4

图2

解:

（1）如图2，连结AC,在AC上任取除AC中点外的点P,点P即为所画点．

（2）如图3，连结BD,作BD的中垂线交直线AC于点P,因点P不是AC的中点,故点P即为所求作点．

（3）如图4，连结DB，在△DCF与△BCE中，∠CDF=∠CBE，∠DCF=∠BCE，CF=CE.∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB,∴∠CDB=∠CBD,∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC,∴点P是四边形ABCD的准等距点.

（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个；

②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．

③当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0个；

④当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；

⑤当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个.

评析：

本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念——四边形的准等距点.第

（1）小题是新定义的简单应用.第

（2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个.第（3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在

（1）、

（2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第

（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是，类比、联想能力强,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.

二、以特殊边为契机边进行“新定义”

例2（2007年北京市中考数学试题）我们知道：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：

至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

图5

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=

∠A.请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=

∠A.探究：

满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

解：

（1）平行四边形、等腰梯形等.

（2）答：

与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）.四边形DBCE是等对边四边形.

（3）答：

此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.

证明：

如图5，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，∴∠F=900=

∠EGC.∵

，BC为公共边，∴

.∴BF=CG.∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，∴∠BDF=∠BEC，又∵∠F=

∠EGC，∴

，∴BD=CE，∴四边形DBCE是等对边四边形.

评析：

此题以一组对边相等关系为契机，创设了一个全新的概念——等对边四边形.语言精练,设问流畅，层次感强.解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力.第

（1）小题是新定义的简单应用.第

（2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想：

BD=CE，四边形DBCE为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定可靠，为此大多数考生会设法证明自己的猜想.由公共边BC,∠DCB=∠EBC=

∠A=30°,∠BOD=∠COE=60°这些条件及要证的猜想BD=CE，不难想到添辅助线的方法：

分别过点B、C作CD、BE的垂线,从而证明自己的猜想.第（3）小题完全可类比第

（2）小题的第二问进行，先证

，再证得

，继而使问题获得解决；当然，第（3）小题，也可作∠HCB=∠DBC交BE于点H，构造全等三角形△BDC与△CHB，得BD=CH，再证CH=CE，也可使问题获得解决.

三、以特殊角为契机进行“新定义”

例3（2006年安徽省中考数学试题）如图6，凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD＝∠APB=α.且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

（l）在图7正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β.

（2）在图8四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.

图8

图7

（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图9），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.

图6

图9

B′

解：

（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即可.

（2）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，点P即为所求的点.

（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意,∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，∴∠AP1B+∠BP1C=1800,∴P1在AC上，同理，P2也在AC上.在△DP1P2和△BP1P2中

∠DP1P2=∠BP1P2，∠DP2P1=∠BP2P1，∵P1P2=P1P2，∴△DP1P2≌△BP1P2，∴P1D=P1B，P2D=P2B，∴B、D关于AC对称.设P是P1P上任一点，连结PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，∴点P是四边形的半等角点.

评析：

此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机,创设了一个全新的概念——四边形半等角点.第

（1）小题是新定义的直接应用.第

（2）小题，语言简洁、精练，看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵,突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力.通过分析，发现所求作的点在对角线AC上，且∠DPA=∠BPA，但要画出点P仍不容易；继续分析，发现∠DPB关于直线AC对称，点B关于AC的对称点B′在DP上，至此，才峰回路转，柳暗花明.第（3）小题要证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点，需先证A、P1、P2、B四点在一直线上，再证线段P1P2上任一点满足条件∠DPA=∠BPA，∠DPC=

∠BPC，从而使问题获证，此小题对思维的严密性提出了较高的要求.

四、以特殊对角线为契机进行“新定义”

例4（2006年北京市中考数学试题）我们给出如下定义：

若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：

当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

解：

（1）矩形、等腰梯形.

（2）结论：

等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时,这对600角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

A

D

E

F

C

B

O

图11

已知：

四边形

中，对角线

，

交于点

，

，且

．

A

D

E

F

C

B

O

图1

图10

求证：

．

证明：

过点

作

，在

上截取

，使

．连结

，

．∴

，四边形

是平行四边形，∴

；又∵

，∴DE=AC=BD，∵∠EDO=600,∴

是等边三角形，∴

．①当

与

在同一条直线上时（如图10），则

，∴

．②当

与

不在同一条直线上时（如图11），在

中，有

，∴

．综合①、②，得

．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．

评析：

此题以对角线之间满足相等关系为契机，创设了一个全新的概念——等对角线四边形.第

（1）小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第

（2）小题，语言精练,构思精巧，涉及的知识点不多，但思维含量及高.着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力.好多考生面对此题，犹如“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”.解决此题，可就其特殊情形入手，即当此等对角线四边形为梯形时先研究，不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点，从而使特殊情形时问题获证；对于一般情形，则可类比特殊情形的方法，使问题得到解决.

五、以特殊位置关系为契机进行“新定义”

例5（2005年资阳市中考数学试题）阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：

三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图12所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

（2）如图13，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图13中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

图12

图13

图14

（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图14中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

解：

（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：

三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.

（2）此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、ABEF.

易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.

（3）此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小.

证明：

易知，这三个矩形的面积相等，令其为S.设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为l1，l2，l3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则l1=

+2a，l2=

+2b，l3=

+2c，∴l1-l2=（

+2a）-（

+2b）=2（a-b）

，而ab>S，a>b，∴l1-l2>0，即l1>l2.

同理可得，l2>l3.∴l3最小，即矩形ABHK的周长最小.

评析：

此题以图形的特殊位置关系为契机，创设了一个全新的概念——等对角线四边形.试题平和清新、一题多问，层层平缓递进，为不同程度的学生展示自己的数学才华创设了平台.第

（1）小题是新定义的直接应用.第

（2）小题是新定义的简单应用.前两小题为第（3）小题的解决作了铺垫.第（3）小题的解决，要抓住“变”中的“不变量”：

矩形面积相等；然后，把三个矩形的周长用其面积及其与三角形公共边的边长分别表示出来，再作差比较大小，就可使问题获得解决.

以四边形为背景的新定义型中考试题，宛如中考试题大花园里一朵鲜艳的奇葩，耀眼夺目,令人叹为观止.通过对此类试题的探究，既可领略了其多姿多彩的风貌，又可初步把握了此类试题的特点，更有利于站在系统的高度上组织教学，也有利于引导学生发掘题目中丰富的内涵,从而使教学工作取得事半功倍的成效.

作者简介：

王赛英，1998年被评为中学高级教师，多次被邀参加宁波市中考试卷命题.有三十余篇论文分别发表在《数学通报》、《中小学数学》、《数学教学》、《中学数学教学》、《中学数学教学参考》、《中学数学月刊》、等杂志上.