人教版八年级数学下册《菱形的判定》练习题.docx

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人教版八年级数学下册《菱形的判定》练习题

18.2.2菱形

第2课时菱形的判定

一、选择题（共10小题）

1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2

，0），C（0，﹣2），D（2

，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、梯形

2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、等腰梯形

3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）

①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③B、②③

C、③④D、①②③

4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A、正方形B、等腰梯形

C、菱形D、矩形

5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、梯形

6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）

A、等腰梯形B、正方形

C、矩形D、菱形

7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A、正方形B、等腰梯形

C、菱形D、矩形

8、能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）

A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分

C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分

9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）

A、平行四边形B、矩形

C、菱形D、正方形

二、填空题（共8小题）

11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　_________　（只填一个你认为正确的即可）．

12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是　_________　．

13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　_________　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从

（1）AB=CD；

（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如

（1）

（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：

　_________　=＞ABCD是菱形；　_________　=＞ABCD是菱形．

15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件　_________　（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．

16、在四边形ABCD中，给出四个条件：

①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是　_________　．（写四个条件的不给分，只填序号）

17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是　_________　形，再说明　_________　（只需填写一种方法）

18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是　_________　（只需填写一个条件即可）．

三、解答题（共11小题）

19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．

（1）求证：

△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？

并说明理由．

20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．

（1）求证：

△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？

请证明你的结论．

21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）求证：

AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

22、已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：

四边形BCDE是菱形．

23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：

△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．

（1）求证：

AD=CE；

（2）填空：

四边形ADCE的形状是　_________　．

25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB

（1）求证：

四边形EFCD是菱形；

（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．

26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．

求证：

四边形CDC′E是菱形．

27、已知：

如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）

（2）探究：

当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？

并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求△ABC所扫过的图形的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

答案与评分标准

一、选择题（共10小题）

1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2

，0），C（0，﹣2），D（2

，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、梯形

考点：

坐标与图形性质；菱形的判定。

分析：

画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．

解答：

解：

在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．

故选B．

点评：

动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．

2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、等腰梯形

考点：

等边三角形的性质；菱形的判定。

专题：

操作型。

分析：

由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．

解答：

解：

由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，

即是菱形．

故选B．

点评：

本题利用了菱形的概念：

四边相等的四边形是菱形．

3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）

①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③B、②③

C、③④D、①②③

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质。

专题：

计算题。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

解答：

解：

根据菱形的判定：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：

①，③正确．

故选A．

点评：

本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A、正方形B、等腰梯形

C、菱形D、矩形

考点：

菱形的判定。

专题：

应用题。

分析：

首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．

解答：

解：

过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，

所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．

∴BC=CD，

∴四边形ABCD是菱形．

故选C．

点评：

本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．

5、在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）

A、矩形B、菱形

C、正方形D、梯形

考点：

菱形的判定；等边三角形的性质。

专题：

操作型。

分析：

用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．

解答：

解：

根据题意得，拼成的四边形四边相等，

则是菱形．

故选B．

点评：

此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．

6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）

A、等腰梯形B、正方形

C、矩形D、菱形

考点：

菱形的判定；等边三角形的性质。

分析：

由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．

解答：

解：

由题意可得：

得到的四边形的四条边相等，即是菱形．

故选D．

点评：

本题利用了菱形的概念：

四边相等的四边形是菱形．

7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A、正方形B、等腰梯形

C、菱形D、矩形

考点：

菱形的判定。

专题：

应用题。

分析：

首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．

解答：

解：

过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，

所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．

∴BC=CD，

∴四边形ABCD是菱形．

故选C．

点评：

本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．

8、能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）

A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分

C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分

考点：

菱形的判定。

分析：

根据菱形的判定方法：

对角线互相垂直平分来判断即可．

解答：

解：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，

故选D．

点评：

本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．

9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　）

A、平行四边形B、矩形

C、菱形D、正方形

考点：

菱形的判定；非负数的性质：

偶次方。

分析：

本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．

解答：

解：

整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，

2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，

由非负数的性质可知：

（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，

∴a=b=c=d，

∴四边形一定是菱形，

故选C．

点评：

此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．

二、填空题（共8小题）

11、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD　（只填一个你认为正确的即可）．

考点：

菱形的判定。

专题：

开放型。

分析：

根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：

AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．

解答：

解：

四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，

再依据：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

可添加：

AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）

点评：

本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是　AB=AD或AC⊥BD　．

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质。

专题：

开放型。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

∴可添加：

AB=AD或AC⊥BD．

解答：

解：

因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：

AB=AD或AC⊥BD．

点评：

本题考查菱形的判定，答案不唯一．

13、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　AC⊥EF或AF=CF等　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质。

专题：

开放型。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：

当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．

解答：

解：

则添加的一个条件可以是：

AC⊥EF．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠FAD=∠AFB，

∵AF是∠BAD的平分线，

∴∠BAF=FAD，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

同理ED=CD，

∵AD=BC，AB=CD，

∴AE=CF，

又∵AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形，

∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，

则添加的一个条件可以是：

AC⊥EF．

点评：

本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．

14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从

（1）AB=CD；

（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如

（1）

（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：

（1）

（2）（6）　=＞ABCD是菱形；　（3）（4）（5）@（3）（4）（6）　=＞ABCD是菱形．

考点：

菱形的判定。

专题：

开放型。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

解答：

解：

（1）

（2）（6）⇒ABCD是菱形．

先由

（1）

（2）得出四边形是平行四边形，

再由（6）和

（2）得出∠DAC=∠DCA，

由等角对等边得AD=CD，

所以平行四边形是菱形．

（3）（4）（5）=＞ABCD是菱形．

由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．

（3）（4）（6）=＞ABCD是菱形．

由（3）（4）得出四边形是平行四边形，

再由（6）得出∠DAC=∠DCA，

由等角对等边得AD=CD，

所以平行四边形是菱形．

点评：

本题考查菱形的判定．

15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件　AB=BC@AC⊥BD　（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质。

专题：

开放型。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．

解答：

解：

因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：

AB=BC或AC⊥BD．

点评：

主要考查了菱形的特性．菱形的特性：

菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．

16、在四边形ABCD中，给出四个条件：

①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是　①③④或②③④　．（写四个条件的不给分，只填序号）

考点：

菱形的判定；全等三角形的判定与性质。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．

解答：

解：

设AC与BD交于点E，由③AC⊥BD，④AC平分∠BAD可证得，Rt△AEB≌Rt△AED，

∴AB=AD，BE=DE，

再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，证得Rt△BCE≌Rt△DCE，

∴BC=CD，

再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形；

或者再由②AD∥BC，证得：

Rt△AED≌Rt△BCE，

∴AE=EC，

由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形．

故填写①③④或②③④．

点评：

本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明．

17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是　平行四边　形，再说明　有一组邻边相等　（只需填写一种方法）

考点：

菱形的判定。

专题：

开放型。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．

解答：

解：

因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等．

点评：

本题考查菱形的判定，答案不唯一．

18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是　AB=BC（答案不唯一）　（只需填写一个条件即可）．

考点：

菱形的判定；平行四边形的性质。

专题：

开放型。

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

所以可添加AB=BC．

解答：

解：

AB=BC或AC⊥BD等．

点评：

本题考查了菱形的判定，答案不唯一．

三、解答题（共11小题）

19、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．

（1）求证：

△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？

并说明理由．

考点：

全等三角形的判定；菱形的判定。

专题：

证明题。

分析：

由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=

AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．

解答：

（1）证明：

∵AB=AC，点D为BC的中点，

∴∠BAE=∠CAE，

∵AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：

当AE=2AD（或AD=DE或DE=

AE）时，四边形ABEC是菱形

理由如下：

∵AE=2AD，∴AD=DE，

又∵点D为BC中点，

∴BD=CD，

∴四边形ABEC为平行四边形，

∵AB=AC，

∴四边形ABEC为菱形．

点评：

本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．

20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．

（1）求证：

△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？

请证明你的结论．

考点：

全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。

专题：

证明题；探究型。

分析：

（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．

（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．

解答：

（1）证明：

在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴AE=CF．

在△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）解：

若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．

证明：

∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中点，

∴DE=

AB=BE．

由题意可知EB∥DF且EB=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∴四边形BFDE是菱形．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．

21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）求证：

AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质；菱形的判定。

专题：

证明题。

分析：

（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；

（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形．

解答：

证明：

（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，

同理∠DAE=∠FDA，

∵AD=DA，

∴△ADE≌△DAF，

∴AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴∠DAF=∠FDA．

∴AF=DF．

∴平行四边形AEDF为菱形．

点评：

考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．

22、已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：

四边形BCDE是菱形．

考点：

菱形的判定。

专题：

证明题。

分析：

由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行