第十二章整式的乘除复习资料学生.docx

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第十二章整式的乘除复习资料学生

第12章整式的乘除复习资料

（一）幂的运算

同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个幂运算，特别是同底数幂相乘的法则是学习整式乘法的基础；后面的多项式乘以多项式是转化变成单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幂相乘，所以我们要熟练掌握其法则：

1．同底数幂的相乘的法则：

.即；

幂的乘方法则：

.即；

积的乘方法则：

.即；

同底数幂的相除的法则：

.即；

2．其中m、n为正整数，底数a不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项式或其他代数式.

3．幂的乘方法则与同底数幂的相乘的法则有共同之处是，但不同之处是.

4．这三个幂运算相互容易混淆，出现错误，运用法则计算时要注意辨明“同底数幂”、“幂的乘方”、“积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述。

【例题选讲】例1、计算下列各式：

（1）（－2）2·（－2）3

（2）a2·a4·a3（3）（a＋b－c）2·（c－a－b）3

（4）x5·x·（－x）3（5）100·10n＋1·10n－1（6）（x＋2）n－1·（2＋x）n＋1－（x＋2）2n

解题方法：

熟记公式是解这类题的前提，当题中幂的底数不同时，必须利用乘法和乘方的意义变形，化成同底数幂；当题目中有加、减、乘混合运算时，应先计算同底数幂的乘法，然后再合并同类项.

例2、计算下列各式：

（1）[（－2）2]6

（2）[（x＋y）3]4（3）（a4n）n－1（4）－（y4）2·（y2）3

（5）（－a3）2＋（－a2）3－（－a2）·（－a）4（6）x3·x2·x4＋（－x4）2＋4（－x2）4

例3、计算下列各式：

（1）（－3a4）3

（2）（a2b3）m（3）[（x＋y）（x－y）]5（4）（xm＋2·y2n－1）2

（5）（－0.125）8×225（6）（1990）n·（

）n＋1

例4、已知22x＋1＋4x＝48，求x的值.

解题方法：

解这种有关指数方程的基本方法是，将左右两边变形为两个幂相等的等式，且左右两边幂的底数相同，再根据两个底数相同的幂相等，其指数必定相等列出方程，解这个方程即可.

例5、已知

，

，求

的值。

（二）整式的乘法

1．单项式与单项式相乘法则：

.

单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立.

2．单项式与多项式相乘法则：

，即.

单项式与多项式相乘，结果是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同.

3．多项式与多项式相乘：

.

多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多项式看成一个整体，即（m＋n）（a＋b）＝a（m＋n）＋b（m＋n），再用一次单项式与多项式相乘，得（m＋n）（a＋b）＝ma＋na＋mb＋bn.

多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的次数等于两个多项式的次数之和，积的项数在未合并同类项之前等于两个多项式项数之和.

例6、计算：

（1）3x2y·（－2xy3）

（2）[2（a－b）3][－3（a－b）2][－

（a－b）]

（3）（－5a2b3）·（－4b2c）·

a2b（4）（－3xy）2（－

x2y）3·（－

yz2）2

（5）（2xyz2）2·（－xy2z）－（－xyz）3·（5yz）（－3z）

例7、计算：

（1）（－2a2）·（3ab2－5ab3）

（2）（－2x2y）2（－

y2＋

xy＋

x3）

（3）xn－1（2xn－4xn＋1＋5xn＋3）（4）2a（－ab－b2）－3ab（4a－2b）

（5）x3－2x[

x－3（

x－1）]

例8、计算：

（1）（3a＋2b）2

（2）（2x－y）（4x2＋2xy＋y2）

（3）（3x2－2x－5）（－2x＋3）（4）（x－1）（2x－3）（3x＋1）

例9、已知（a2＋pa＋8）与（a2－3a＋q）的乘积中不含a3和a2项，求p、q的值.

分析：

不含有这个项，即为此项的系数为零，又（a2＋pa＋8）与（a2－3a＋q）的乘积中的a3项是－3a3＋pa3＝（－3＋p）a3，a2项是qa2－3pa2＋8a2＝（q－3p＋8）a2

例10、已知（x-1）（x2+mx+n）=x2-6x2+11x-6，求m+n的值．

例11、已知

，求

的值.

（三）乘法公式

1．平方差公式：

即（a＋b）（a－b）＝a2－b2.

公式的特征：

①公式左边是两个二项式相乘；且这两个二项式中有一项是完全相同的项a，另一项是相反数项b；②公式的右边是相同项的平方a2减去相反数项的平方b2.

公式中的a和b，可以是单项式，也可以是多项式或具体数字.

2．完全平方公式：

.

即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a-b）2＝a2-2ab＋b2.

公式的特征：

①公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式.

公式的适用范围：

公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；任何形式的两数和（或差）的平方都可以运用这个公式计算.

例12、已知x＋y＝4，x－y＝6，求代数式xy（y2＋y）－y2（xy＋2x）－3xy的值

例13、计算：

（1）（3＋x）（3－x）

（2）（x2－y3）（x2＋y3）（3）（a3b5＋c3d4）（c3d4－a3b5）

（4）（－a－3ab）（－3ab＋a）（5）（1－2x）（1＋2x）（1＋4x2）（1＋16x4）（6）98×102

（7）x（x2＋2x）（x－2）（8）（3＋9a）（a－

）－3（a－2）（3a＋6）

（9）（x＋y）2（x－y）2－（x－y）（x＋y）（x2＋y2）

例14、计算：

（1）（am－bn）2

（2）982（3）（m＋2）2（m－2）2（4）（1－y）2－（1＋y）（－1－y）

（5）（x－2y）（x＋2y）－（x＋2y）2（6）（a＋b－c）（a－b＋c）（7）（2x＋3y－z）2

例15、已知a＋b＝2，ab＝1，求（a－b）2、a2＋b2、a4+b4的值

变式练习：

1、已知

，求

的值。

2、若

，求

的值。

3、已知

，求

的值。

（四）整式的除法

整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除的法则。

1、单项式除以单项式的法则：

.

2、多项式除以单项式应转化为单项式除以单项式，运算时要注意确定商的符号和杜绝漏项现象。

例16、已知，求

的值.

例17、先化简，再求值：

，其中a=-5

点拨：

对于这个混合运算，先算乘方，再算除，后算加减，有括号的先算括号里的

（五）因式分解

因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．

1.提取公因式法分解因式：

系数要取多项式的各项系数的最大公约数；字母要取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；

2．多项式的第一项系数是负数时，一般要提出“－”号，使括号的第一项是正的，在提出“－”号时，多项式的各项都变号.

3.公式法分解因式：

①②

.

4.在因式分解时一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

③如果用上述方法都不能分解，那么可以用补充的一些法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.

例18、对下列多项式进行因式分解：

（1）4x3y＋4x2y2＋xy3；

（2）－12xy2+3x3

例19、分解因式：

⑴⑵

例20、把下列各式分解因式：

⑴⑵

⑶⑷

例21、分解下列因式：

⑴⑵

⑶⑷

例22、把下列各式分解因式：

⑴

⑵

（3）

例23、已知a,b,c分别为△ABC的三条边长.求证：

例24、已知：

n为正整数，求证：

能被30整除.

例25、分解下列因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

例26、先分解因式，再求值：

，其中

.

例27、已知

是△ABC的三边的长，且满足

，试判断此三角形的形状.

巩固练习

1.选择题：

（1）下列式子中，正确的是..............................（）

A.3x+5y=8xyB.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0D.29x3-28x3=x

（2）当a=-1时，代数式（a+1）2+a（a+3）的值等于…………………………（）

A.-4B.4C.-2D.2

（3）化简（-x）3·（-x）2的结果正确的是……………………………………（）

A.-x6B.x6C.x5D.-x5

（4）若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于…………………（）

A.3B.-5C.7.D.7或-1

（5）若（2x）n-81=（4x2+9）（2x+3）（2x-3），则n的值是（）

A.2B.4C.6D.8

（6）22006+3×22005–5×22007的值不能被下列哪个数整除（）

A．3B．5C．22006D．22005

（7）若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）

A.3B.-5C.7.D.7或-1

2.填空

（1）若x2n=4，x6n=，

（2）已知am=2，an=3，则am+n=.

（3）若x2+3x-1=0，则x3+5x2+5x+8=；

3.先化简，再求值（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b），其中a=2，b=-1.

4.已知x-y=1,xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.

5.已知x=

，求2x2–

+4的值．

6.先分解因式，再求值：

，其中

.

7.已知x2–y2=63，x+y=9，求x与y的值．

8.已知多项式（a2+ka+25）–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．

（1）写出常数k可能给定的值；

（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．

9.已知n为整数，试证明

的值一定能被12整除.

10.已知

是△ABC的三边的长，且满足

，试判断此三角形的形状.