高中学业水平考试数学知识点总结.docx

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高中学业水平考试数学知识点总结

高中学业水平考试

数学知识点总结

老师的话：

同学们，学业水平考试快到了！

如何把数学复习好？

老师告诉你：

回到课本中去！

翻开课本，可以重温学习的历程，回忆学习的情节，知识因此被

激活，联想由此而产生。

课本是命题的依据，学业水平考试试题难度

不大，大多是在课本的基础上组合加工而成的。

因此，离开书本的复

习是无源之水，那么如何运用课本呢？

复习不是简单的重复，你们应

做到以下6点：

1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。

不仅要弄懂课本

提供的知识和方法，还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解

过程，揭示例、习题之间的联系及变换

2、在做训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查

明我们在知识和方法上的缺陷，尽可能把问题回归为课本中的例题

和习题

3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不少

是规律性的东西，要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依

据

4、注意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本

的内涵，揭示课本内涵与试题之间的联系

5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。

很多复习资料中关键步骤

的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等，都是不可

取的，就通过课本来规范

6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。

现行课本一般是常规解答题，

应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、

来源等方面加以解释

必修一

一、集合

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性

如：

集合Ax|ylgx,By|y1gx,C（x,y）|yIgx,A、B、C中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3注意下列性质：

（1）集合ai,a2,……，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA,ABB;

4.你会用补集思想解决问题吗？

（排除法、间接法）

5.一元一次不等式的解法：

已知关于x的不等式（ab）x（2a3b）0的解集为（，1）,则关于x的不等式（a3b）x（b2a）0的解集为

（答：

{x|x3}）

6.一元二次不等式的解集：

解关于x的不等式：

ax2（a1）x10。

（答：

当a0时，x1;当a0时，x1或x1;当0a1时，1x；aa

当a1时，x；当21时，—x1）a

7.对于方程ax2bxc0有实数解的问题。

（1）a2x22a2x10对一切xR恒成立，则a的取值范围是（答：

（1,2］）;

（2）若在［0,—］内有两个不等的实根满足等式cos2xV3sin2xk1,则实数k的

2

范围是.（答：

［0,1））

二、函数

1.映射：

注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对

2.函数f:

AB是特殊的映射。

若函数y1x2x4的定义域、值域

2

都是闭区间［2,2b］,则b=（答：

2）

3.研穿函数问题时要树立定义域优先的原则:

（1）函数y衣x2的定义域是（答：

（0,2）U（2,3）U（3,4））;

lgx3

⑵设函数f（x）lg（ax22x1）,①若f（x）的定义域是R,求实数a的取值范围；②若f（x）的值域是R,求实数a的取值范围（答：

①a1;②0a1）

（3）复合函数的定义域：

①若函数yf（x）的定义域为工,2,则

2

f（log2x）的定义域为（答：

x|42x4）;②若函数f（x21）的定义域为［2,1）,则函数f（x）的定义域为（答：

［1,5］）.

4.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法一①当x（0,2］时，函数f（x）ax24（a1）x3在x2时取得最大值，则a的取值范围是（答：

a-）;

2

（2）换兀法①y2sin2x3cosx1的值域为（答：

［4,17］）；

8

②y2x1Vx1的值域为（答：

（3,））（令G7t,t0。

运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；③ysinxcosxsinxgcosx的值域为（答：

［1,1历）；（4yx4x/9~V的值域为（答:

［1,3鱼4］）;

（3）函数有界性法一求函数y空^一1,y邑，y到一1的1sin131cos

值域（答:

（，固、（0,1）、（,-］）；22

（4）单调性法求yx1（1x9）,ysin2x9-2—的值域为

x1sinx

（a1a2）的取值范围是.（答：

（，0]U[4,））o

Wb2（x1）2（x1）

5.分段函数的概念。

（1）设函数f（x）

（二），则使得f（x）1的

4.x1,（x1）

自变量x的取值范围是（答：

（，2]U[0,10]）；

（2）已知

f（x）1（x0），则不等式x（x2）f（x2）5的解集是（答：

（』）1（x0）2

6.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法一已知f（x）为二次函数，且f（x2）f（x2）,且f（0）=1,图象在x轴上截得的线段长为2J2,求f（x）的解析式。

（答:

12f（x）-x2x1）

2

⑵配凑法一①已知f（1cosx）sin2x,求fx2的解析式―（答：

f（x2）x42x2,x[无,历）；②若f（x-）x24,则函数f（x1）=—

xx

（答:

x22x3）；

（3）方程的思想一已知f（x）2f（x）3x2,求f（x）的解析式（答：

2、

f（x）3x3）；

7.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

••••

⑵f⑶是奇函数f（x）f（x）f（x）f（x）0f（x）1；

f（x）

⑶f（x）是偶函数f（x）f（x）f（x）f（x）0f（x）1；

f（x）

⑷奇函数f（x）在原点有定义，则f（0）0;

⑸在关于原点对称的单调区间内：

奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

8.函数的单调性。

如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性?

yf（u）（外层），

（x）（内层），则yf（x）

当内、外层函数单调性相同时，f（x）为增函数，否则f（x）为减

函数

如：

求y10glx22x的单调区间。

2

x22x,由u0,贝U0

x2且10glu

2

1,如图

（01]时，u

[1,2）时，u

，又logiu

2

又log]u2

2

9.函数图象⑴图象作法：

①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换:

①平移变换：

i

yf（x）

yf（xa）,（a0）

iiyf（x）

yf（x）k,（k0）

上+下-;

②伸缩变换:

iyf（x）

f（x）

0）

纵坐标不变，横坐标伸长

为原来的1倍;

iiyf（x）

Af（x）

（A

0）

横坐标不变，纵坐标伸长

为原来的A倍;

③对称变换:

f（x）

（0,0）

f（x）；

ii

y0f（x）y

yf（x）；

iii

yf（x）

f（x）

iv

yf（x）yx

1（x）；

④翻转变换:

iyf（x）yf（|x|）

右不动,

右向左翻

f（x）在y左侧图象去

掉）；

iiyf（x）y|f（x）|

上不动，下向上翻（|f（x）|在x下面无图

象）;

像为抛物线

顶点坐标为

b4ac

2a'4a

b-,对称轴

b

2a

开口方向：

a0,向上，函数ymin

4ac

4a

b2

a0,向下,

ymax

4acb2

4a

应用：

①三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）

的关系二次方程ax2bxc0,0时，两根X、x2为二次函数

yax2bxc的图像与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0（0）解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：

二次方程ax2bxc0的两根都

0

大于k&k,一根大于k,一根小于2a

f（k）0

kf（k）0

（4）指数函数：

yaxa0,a1

（5）对数函数：

ylogaxa0,a1

由图象记性质！

（注意底数的限

定!

）

（6）“对勾函数”yx-k0x

利用它的单调性求最值与利用

均值不等式求最值的区别是什么？

必修二一、立体几何

1.平行、垂直关系证明的思路

线//线

判定线，线

线//线

线//面

面//面

面，面

面//面

性质

线面平行的判定:

a//b,b面，a

a//面

线面平行的性质:

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

ba//b

//面，

三垂线定理（及逆定理）

PAL面，AO为PO在

射影，a面，则

a1OAa±PO；a±POa，AO

线面垂直:

a±b）,a±c,b,c,blcOa±

面面垂直：

a,面，a面

X,面，面，Il,a,a±la±

a,面，b,面

a//b;面±a,W±a

ab

2

.三类角的定义

及求法

（1）异面直线

所成的角0,0<

0<90

（2）直线与平面所成的角0,0<0<90

=0°时,b//或b

（3）二面角：

二面角l的平面角，0°180。

三垂线定理法：

A6%作或证AB,B于B,彳BOL棱于O,连AO,则AOX^程I,「./AOB为所求。

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

O

（1）

BOC

H

G

C

A

B

P

F

C

D

B

PCD所成的锐二面角的大小。

PF为面PCD与面PAB的交线

C

D

A

B

①求BD和底面ABCD所成的角

②求异面直线BD和AD所成的角

Di

Bi

Ai

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面

正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中对

Ai

OA为％的斜线OB为其在

内射影，OC为％内过O

③计算大小（解直角三角形，或用余弦

3.空间距离

C

D

③求二面角Ci—BDi—Bi的大小。

为线面成角，/AOC

PDX面ABCR且PD=AD,求面PAB与面

ABCD为菱形，/DAB=60

AE

证明：

coscos-cos

角线BDi=8,BDi与侧面BiBCC所成的为30

arcsin—；②600；③arcsin—

43

AB//DC,P为面PAB与面PCD的公共点

②证明其符合定义，并指出所求作的

A

Ci

面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长

（如：

三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：

正方形ABOAiBiClDi中，棱长为a,则：

（1）点C到面ABC的距离为;

（2）点B到面ACB的距离为;

（3）直线AiDi到面ABiCi的距离为;

（4）面ABC与面AiDCi的距离为;

（5）点B到直线AiCi的距离为

4.正棱柱、正棱锥的定义性质

正棱柱底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影

是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOBRtSOE,RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

ii

SF棱锥侧二C，h'（C—底面周长，h′为斜高），V锥-23

5.球的性质

（i）球心和截面圆心的连线垂直于截面r：

R2—d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。

找球心角！

（3）如图，0为纬度角，它是线面成角；口为经度角，

它是面面成角

（4）S球4R2,V球4R3

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体的外接球半径

R与内切球半径r之比为R:

r=3:

1。

如：

一正四面体的棱长均为在，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为

A.3B.4C.3.3D.6

答案：

A

二解析几何

1.熟记下列公式

（1）l直线的倾斜角0,,ktan上■当—，为”,

x2Kl2

P1%,y〔，P2X2,y2是l上两点，直线l的方向向量a1,k

（2）直线方程：

点斜式：

yy0kxXo（k存在）

斜截式：

ykxb

截距式：

x31ab

一般式：

AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0,y0到直线l:

AxByC0的距离d1Ax；Byo,C|

一A2B2

（4）11到12的到角公式：

tanl上；11与12的夹角公式：

1k1k2

tan

।k2k1।

1k1k2

2.如何判断两直线平行、垂直?

AB2A2B1

A1C2A2G

2、算法的三种基本逻辑结构：

顺序结构、

r=0?

liIII2,kik2li//I2（反之不一定成立）

A1A2B1B201」121kl・k21l/l2

3.怎样判断直线1与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的整

径定理

必修三一、算法初步

1.构成程序框的图形符号及其作用

程序框

名称

功能

j

起止框

表k个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。

2

二

输入、输出框

表k个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

<

>

判断框

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

①顺序结构:

结构:

求n除以i的余数

/输，n

7/不是加素

n是质娄

i=i+1

in或r=0?

否

是

注：

循环结构分为：

I.当型（while型）一一先判断条件，再执

行循环体；

H.直到型（until型）一一先执行一次循环

体，再判断条件。

3.基本算法语句：

⑴输入语句!

INPUT“提示内A”；变量；输出语句：

PRINT,提本内容”；表达式

赋值语句：

1变量二表.式

条件THEN

语句体1

语句体2

②直到型:

ENDIF

⑶循环语句：

①当型:

条件

循坏体

DO

循环体

WENDLOOPUNTIL条件

、统计

1总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；

2.抽样方法主要有：

简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

3.对总体分布的估计一一用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

n

4样本平均数：

x—（x1x2x3xn）-xi；

n

nnil

（3）事件的和（并）：

AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和（并）。

（4）事件的积（交）

A-B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积

（5）互斥事件（互不相容事件）：

“A与B不能同时发生”叫做A、

B互斥

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

AA,AA

2.概率公式:

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：

P（A+B尸P（A）+P（B）⑵古曲概型.p（a）A包含的基本事件的个数

P（A）基本事件的总数

⑶几何概刑.P（A）构成事件A的区域长度（面积或体积等）

（）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

［举例］设集合A{1,2},B{1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P（a,b）,记“点P（a,b）落在直线xyn上”为事件Cn（2

（）（07山东文12）

A.3B.4C.2和5D.3和4

解析：

点P（a,b）落在直线xyn上，即abn；集合A和B中随机取一个数a和b有6种方法，它们是等可能的，其中使得ab2有1种，使得ab3有2种，使得ab4有2种，使得ab5有1种；故使得事件Cn的概率最大的n可能为3和4。

必修四

一、三角函数与三角恒等变换

1.你记得弧度的定义吗？

能写出圆心角为口,半径为R的弧长公式

和扇形面积公式吗？

（l||•R,S扇1l-RJ|•R2）

2.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

3.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？

并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

…r

y=sinx

减区间为2k-

2

图象的对称点为k,0,对称轴为

ycosx的增区间为2k,2k减区间为2k,2k2kZ

图象的对称点为k0,对称轴为

2

ytanx的增区间为k一

2

的图象和性质要熟记。

或yAcosx

26..正弦型函数y=Asinx+

（1）振幅|A|,周期

A,则x

0,则Xo,

（2）五点作图：

令

2

T——

II

X。

为对称轴。

0为对称点，反之也对。

3

X依次为0,—,,3

22

2,求出X与y,依点

（x,y）作图象。

（3）根据图象求解析式。

（求A、

值）

（Xi）

如图列出

（X2）

解条件组求、值

C

0

-1y

正切型函数yAtanx

T——

II

5.在三角函数中求一个角时要注意两个方面一一先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：

cosX一6

3

（•X—2

2

2

7

6

6.在解含有正、余弦函数的问题时,

5

••x——

64

你注意（到）

•.X13）12

运用函数的有界

性了吗?

如：

函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2,2,x0时，y0,「y2

7.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

变换:

正左移负右移；b正上移负下移;

ysinx

ysinx

左或右平移।।

ysin（x）

,一，1、

横坐标伸缩到原来的A倍

ysin

横坐标伸缩到原来的2倍

左或右平移|_|x

ysin（

ysin（x

）；

纵坐标伸缩到原来的A

yAsin（x）

上或下平移|b|

Asin（x

）b.

8.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

”化为的三角函数

“奇变，偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

9.熟练掌握两角和、差、倍、

理解公式之间的联系：

降哥公式及其逆向应用了吗?

sin

sincoscossin

sin2

2sincos

cos

coscossinsin

cos2

2.2

cossin

tan

tantan

1tan-tan

2cos2

112sin2

tan2

2tan

1tan2

2cos

cos2

asin

bcos

a2

2.

bsin

sin

cos

、-2sin

sin

3cos

2sin

3

应用以上公式对三角函数式化简。

.2sin

2

1cos2

（化简要求:

类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值具体方法：

项数最少、函数种）

（1）角的变换：

如

（2）名的变换：

化弦或化切

（3）次数的变换：

升、降哥公式

（4）形的变换：

统一函数形式，注意运用代数运算。

二、平面向量1.向量的有关概念

（1）向量既有大小又有方向的量

（3）单位向量|ao|1,ao

a

|a|

（4）零向量0,|0|

（5）相等的向量

0

长度相等方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或E

相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

b//a（b0）存在唯一实数，使b

（7）向量的加、减法如图：

i,j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x,V，使得

axiyj,称（x,y）为向量a的坐标，记作:

表不。

ax,y,即为向量的坐标

（2）向量的模一一有向线段的长度，|a|

设ax1，yi,bx2,y2

贝Uabx〔，y〔y〔，yxIy〔,x2y2

ax1，y1x〔，y1

若Ax1，y1,Bx2,y2

则AB

x2

x1，y2y1

22

|AB|、X2XiV2yi,A、B两点间距离公式

2.平面向量的数量积

（1）a・b|a|•|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）

为向量a与b的夹角，0,

数量积的几何意义：

a-b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积

（2）数量积的运算法则

①a•bba

②（ab）cacbc

③a•bXi,yi-X2,y2X1X2y1y2

注意：

数量积不满足结合律（a•b）•ca•（b・c）

（3）重要性质：

设aXi,yi,bX2,y2

1a'ba-b0xi-x2y1y20

2a//ba-b|a|•|b|或a'b|a|.|b|

ab（b0,惟一确定）

x42x?

yi02

3a|a|2x2y2,|a•b||a|•|b|

a•bx〔X2y〔y2

2222

|a|•|b|vxiyi'vx2y2

［练