１６、（2015湖北十堰，第14题3分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当
=
时，四边形ADFE是平行四边形．
１７、（2014安徽省,第14题5分）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=
∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
１８、如图，已知反比例函数y=
（x＞0）与正比例函数y=x（x≥0）的图象，点A（1，4），点A′（4，b）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA′B′B是平行四边形，则Ｂ点的坐标为 （
） ；
三、解答题（７题，共７８分）
１９、（１０分）（2015，广西钦州）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：
DE=BF．
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF．
２０、（１１分）如图,在平行四边形ABCD中,延长CD到E,使DE=DC，连接BE交AD于F，交AC于G.
（1）若BE为∠ABC的平分线，求证：
BC=AF+DE;
（2）若BC=2AB,DE=1，∠ABC=60°，求GF的长.
２１、（１０分）已知平行四边形ABCD中，直线MN//AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。
求证：
PM=QN。
２２、（１１分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F，连结DF.
（1）试说明AC=EF;
（2）求证：
四边形ADFE是平行四边形.
２３、（１１分）（2015黑龙江哈尔滨）（2015哈尔滨）如图1，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．
（1）求证：
四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
在△OAE与△OCF中
，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，
同理OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：
与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥BC，∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，
∵EF过点O，GH过点O，∵OE=OF，OG=OH，
∴▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH，▱ACHD它们面积=
▱ABCDA的面积，
∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH．
２４、（１２分）（2015辽宁省盘锦）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：
BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①
（1）中的结论是否成立？
若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=
ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，∴△BAE≌△CAD（S
AS），∴BE=CD；
②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=
ED，∴∠CAD=45°，∴角α的度数是45°．
２５、（１４分）（2015·湖北省咸宁市）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=
与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：
在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？
若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
解：
（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：
①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：
①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，
则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．
把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，
得
，解得
，
∴y=﹣x﹣3．
综上所述，新函数的解析式为y=
；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3
上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=
上，
∴k=1×4=4，y=
．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（
，m+3），
∴PD=
﹣m，
∴△PAD的面积为
S=
（
﹣m）×（m+3）=﹣
m2﹣
m+2=﹣
（m+
）2+
，
∵a=﹣
＜0，
∴当m=﹣
时，S有最大值，为
，
又∵﹣3＜﹣
＜1，
∴△PAD的面积的最大值为
；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．
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