空间几何体的三视图和直观图 B.docx

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空间几何体的三视图和直观图B

空间几何体的三视图和直观图B

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

学习策略：

●学习本节知识的基本方法是直观感知、操作确认、类比.通过观察和进行适当的直观说理，理解平行投影的性质，理解为什么能用几何体的直观图表示空间的几何图形．全章渗透对称和变换的观点．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1、棱柱：

一般地，有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．

2、棱锥：

有一个面是形，其余各面是有的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．

3、圆柱：

以矩形的一边所在直线为，其余三边形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．

4、圆锥：

以直角三角形的所在直线为旋转轴，其余两边叫做圆锥．

5、棱台和圆台：

用一个于棱锥（圆锥）的平面去截棱锥（圆锥），的部分叫做棱台（圆台）.

6、球：

以半圆的所在直线为旋转轴，半圆面形成的几何体叫做球体，简称.

要点一：

中心投影与平行投影

1．投影、投影线和投影面

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影

我们把光投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．

3．中心投影的性质

（1）中心投影的投影线；

（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子．

4．平行投影

我们把在一束照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．

5．平行投影的性质

（1）平行投影的投影线互相．

（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的

和完全相同．

6．中心投影与平行投影的区别与联系

（1）平行投影包括和．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．

（2）画实际效果图时，一般用法，画立体几何中的图形时，一般用法．

要点二：

空间几何体的三视图

1．三视图的概念

把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．

（1）光线从几何体的正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；

（2）光线从几何体的正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；

（3）光线从几何体的正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．

几何体的、和统称为几何体的三视图．

2．三视图的画法规则

画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．

正视图反映物体的和，俯视图反映物体的和，侧视图反映物体的和，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：

（1）正、俯视图都反映物体的长度——“”；

（2）正、侧视图都反映物体的高度——“”；

（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“”．

要点三：

斜二测画法

在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．

斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．

（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．

要点诠释：

用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．

要点四：

立体图形的直观图

（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤

①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；

②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；

③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；

④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；

⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．

（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；

②不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于轴的长度不变．

（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：

轴上）的线段，其平行性和长度都不变．

（4）三视图与直观图的联系与区别

三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：

①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．

②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．

要点五：

已知三视图画直观图

三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．是在某一定点观察到的图形，是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．

由三视图画直观图，一般可分为两步：

第一步：

想象空间几何体的形状．

三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．

正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．

第二步：

利用斜二测画法画出直观图．

当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．

类型一：

平行投影与中心投影

例1．下列命题中正确的是（）

A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．两条相交直线的投影可能平行

D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心

【答案】

【解析】

【总结升华】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2．如下图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________．

【答案】

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】如下图所示，E、F分别为正方体面ADD＇A＇、面BCC＇B＇的中心，则四边形BFD＇E在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________．

【答案】

类型二：

空间几何体的三视图

例3．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．

【解析】

【总结升华】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4．如下图

（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．

【解析】

【总结升华】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

举一反三：

【变式1】右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题，其中真命题的个数是（）．

①存在三棱柱．其正（主）视图、俯视图如右图②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图

A．3B．2C．1D．0

【答案】

【变式2】若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

【答案】

类型三：

空间几何体的直观图

例5．画出水平放置的等边三角形的直观图.

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知正角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A＇B＇C＇的面积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】

【解析】

【总结升华】

例6．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．

【解析】

画法：

【总结升华】

三、测评与总结

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知识点：

空间几何体的三视图和直观图（#397533）

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知识导学：

空间几何体的三视图和直观图（提高）（#397533）

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