当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
二次函数的性质
定义域：
R
值域：
（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b2）/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：
当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性：
无
解析式：
①y=ax2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：
（-b/2a，（4ac-b²）/4a）；
⑷Δ=b2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ=0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ<0，图象与x轴无交点；
特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点
围成的三角形为等边三角形。
②y=a（x-h）2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b2）/4a
③y=a（x-x?
）（x-x?
）[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=（X?
+X?
）/2当a>0
且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X?
+X?
）/2时Y随X
的增大而减小
此时，x?
、x?
即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元
二次方程连
用）。
交点式是Y=A（X-X?
）（X-X?
）
知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X?
X?
值。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反
当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反
相关分类
一般式
y=ax2+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为[-b/2a,（4ac-b2）/4a]
把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
顶点式
y=a（x-
h）2+k（a≠0,a、h、k为常数）,顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的
开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶
点式。
例：
已知二次函数y的顶点（1,2）和另一任意点（3,10），求y的解析式。
解：
设y=a（x-1）2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2（x-1）2+2。
交点式
y=a（x-x?
）（x-x?
）（a≠0）[仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和
B（x2，0）的抛物线，即b2-4ac≥0].
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x?
，0）和B（x?
，0）,我们可设y=a（x-x?
）（x-
x?
）,然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：
∵X+x=-b/ax1·x=c/a
∴y=ax2+bx+c
=a（x2+b/ax+c/a）
重要概念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
a>0时，开口方向向上；a<0
时，开口方向向下。
a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝
对值越小开口就越大。
其他知识介绍：
牛顿插值公式
y=（y（x-x）（x-x））/（（x-x）（x-x）+（y（x-x）（x-x））/（（x-x）（x-x）+（y（x-x）（x-x））/（（x-x）（x-x）。
由此可引导出交点式的系数a=y/（x·x）（y为截距）
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
其他资料
两个关联函数图像
对称关系
对于一般式：
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-2b2*|a|/4a2关于顶点对称
④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点对称。
对于顶点式：
①y=a（x-
h）2+k与y=a（x+h）2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐
标相反、纵坐标相同。
②y=a（x-h）2+k与y=-a（x-h）2-
k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反
。
③y=a（x-h）2+k与y=-a（x-
h）2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。
④y=a（x-h）2+k与y=-a（x+h）2-
k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。
与一元二次方程的关系
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-
h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐
标及对称轴如下表：
解析式顶点坐标对称轴
y=ax2（0，0）x=0
y=ax2+K（0，K）x=0
y=a（x-h）2（h，0）x=h
y=a（x-h）2+k（h，k）x=h
y=ax2+bx+c（-b/2a，（4ac-b^2）;/4a）x=-b/2a
当h>0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以
得到y=a（x-h）2+k（h>0,k>0）的图象
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得
到y=a（x-h）2+k（h>0,k<0）的图象
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得
到y=a（x+h）2+k（h<0,k>0）的图象
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可
得到y=a（x+h）2+k（h<0,k<0）的图象
在向上或向下。
向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-
h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。
这给画
图象提供了方便。
2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：
当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是
直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）。
3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-
b/2a时，y随x的增大而增大。
若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-
b/2a时，y随x的增大而减小。
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b^2-
4ac>0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+b
x+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2|
=√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-
b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y
>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：
如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-
b^2）/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式
为一般形式：
y=ax^2+bx+c（a≠0）。
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点
式：
y=a（x-h）^2+k（a≠0）。
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
y=a（x-
x1）（x-x2）（a≠0）。
如何学习二次函数
知识要点
2.10要理解函数的意义。
2.11要记住函数的几个表达形式，注意区分。
2.12一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大
）等的差异性。
2.13联系实际对函数图像的理解。
2.14计算时，看图像时切记取值范围。
2.15随图像理解数字的变化而变化。
二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二
次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。
误区提醒
（1）对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；
（2）对二次函数图象和性质存在思维误区；
（3）忽略二次函数自变量取值范围；
（4）平移抛物线时，弄反方向。
升级会员 