秋浙教版八年级上册数学同步测试试题23 等腰三角形的性质定理.docx

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秋浙教版八年级上册数学同步测试试题23等腰三角形的性质定理

2.3等腰三角形的性质定理

第1课时等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质

知识点1.等腰三角形的概念及性质定理1

1．[南岗区校级月考]等腰三角形的底角为65°，则它的顶角为（　B　）

A．40°B．50°

C．60°D．80°

2．[临西期末]等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　C　）

A．65°，65°B．50°，80°

C．65°，65°或50°，80°D．50°，50°

【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

如答图，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，

第2题答图

∠A＝180°－∠B－∠C＝80°；

②当顶角∠A＝50°时，

∵∠B＋∠C＋∠A＝180°，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠C＝

×（180°－∠A）＝65°，

即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°.

3．如图1，在△ABC中，AB＝AC.过点A作AD∥BC.若∠1＝70°，则∠BAC的大小为（　B　）

图1

A．30°B．40°

C．50°D．70°

【解析】∵AD∥BC，∠1＝70°，∴∠C＝∠1＝70°，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－70°＝40°，故选B.

4．如图2，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝__45__度．

图2

【解析】本题考查了三线八角，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，又∵m∥n，∴∠1＝∠ABC＝45°.

5．如图3，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，则∠DBC＝__15°__．

　图3

【解析】∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠ABD＝∠A＝50°，

∵AB＝AC，∠A＝50°，

∴∠ABC＝∠C＝65°，

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝15°.

6．[海门期中]如图4所示，在△ABC中，BC＝BD＝AD，∠CBD＝36°，求∠A和∠C的度数．

　图4

解：

∵BD＝BC，∠DBC＝36°，

∴∠BDC＝∠C＝

＝72°，

∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，

∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，

∴∠A＝

∠BDC＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°.

知识点2.等边三角形的性质

7．如图5，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　A　）

　图5

A．100°B．80°

C．60°D．40°

8．如图6，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝__90°__，∠CBD＝__30°__.

图6　　图7

9．如图7所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝__75°__．

10．[洛阳期中]如图8，在△ABC中，点D在边BC上，若AB＝AD＝CD，∠BAD＝100°，求∠C的度数．

图8

解：

∵AB＝AD＝CD，

∠BAD＝100°，

∴∠B＝∠ADB＝

×（180°－100°）＝40°，

又∵在等腰三角形ADC中，∠ADB是△ADC的外角，

∴∠BDA＝∠DAC＋∠C，又∵∠C＝∠DAC，

∴∠C＝

×40°＝20°.

【易错点】在计算等腰三角形的边长和角度时容易漏解．

11．[广陵区校级月考]已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x－2）°和（3x－5）°，求这个等腰三角形各内角的度数．

解：

①当（2x－2）°和（3x－5）°是两个底角时，

2x－2＝3x－5，解得x＝3，

∴三个内角分别是4°，4°，172°；

②当（2x－2）°是顶角时，2x－2＋2（3x－5）＝180°，解得x＝24，∴三个内角分别是46°，67°，67°；

③当（3x－5）°是顶角时，3x－5＋2（2x－2）＝180°，解得x＝27，∴三个内角分别是76°，52°，52°.

第2课时等腰三角形的性质定理2

知识点1.等腰三角形的性质定理2

1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　C　）

图1

A．35°B．45°C．55°D．60°

【解析】∵AB＝AC，D为BC中点，

∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠C的度数为55°.

2．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是__20__.

图2

3．如图3，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：

∠CBE＝∠BAD.

　图3

证明：

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

又∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°.

∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.

∴∠CBE＝∠BAD.

4．[太原期中]如图4，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连结AE，AF.

求证：

AD平分∠EAF.

　图4

证明：

∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴BD＝DC，AD⊥BC.

∵BE＝CF，∴BD＋BE＝DC＋CF，即DE＝DF，

在△ADE和△ADF中，

∴△ADE≌△ADF，∴∠EAD＝∠FAD，∴AD平分∠EAF.

5．如图5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：

PE＝PF.

　图5

证明：

在△ABC中，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD是∠BAC的平分线．

在△AEP和△AFP中，

∴△AEP≌△AFP（AAS），∴PE＝PF.

6．如图6，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．

　图6

解：

△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD.

以△ABE≌△ACE为例，

证明如下：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE.

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

知识点2.用尺规作等腰三角形

7．如图7，已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．

图7第7题答图

解：

（1）如答图，作线段AB＝a；

（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；

（3）在MN上取一点C，使CD＝b；

（4）连结AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形．

【易错点】不善于利用三线合一作辅助线证明有关结论．

8．[·云南期中]如图8所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连结DE.求证：

DE⊥BC.

　图8　　第8题答图

证明：

如答图，过A作AM⊥BC于M，

∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAM，∵AD＝AE，

∴∠D＝∠AED，∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，

∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，

∴∠BAM＝∠D，∴DE∥AM，

∵AM⊥BC，∴DE⊥BC.