高等数学微分方程试题可编辑修改word版.docx
《高等数学微分方程试题可编辑修改word版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学微分方程试题可编辑修改word版.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高等数学微分方程试题可编辑修改word版
专业班级学号姓名成绩时间174
第十二章微分方程
§12-1微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce2x（c的任意常数）是y'=2x的特解。
（
）
2.y=（y'）3是二阶微分方程。
（
）
3.微分方程的通解包含了所有特解。
（
）
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（
）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（
）
二、填空题
1.微分方程.（7x-6y）dx+dy=0的阶数是。
2.函数y=3sinx-4cosx微分方程的解。
3.
积分曲线y=（c+cx）e2x中满足y
x=0=0,y'
x=0=1的曲线是。
三、选择题
1.下列方程中是常微分方程
222
darctanx
∂2a∂2a
'22
（A）、x+y=a（B）、y+（e
）=0
（C）、+=0（D）、y
=x+y
dx
2.下列方程中是二阶微分方程
∂x2∂y2
（A）（y'）+x2y'+x2=0（B）（y'）2+3x2y=x3（C）
y''+3y'+y=0（D）y'-y2=sinx
3.微分方程
d2y
dx2
+w2y=0的通解是其中c.c1.c2均为任意常数
（A）y=ccoswx（B）y=csinwx（C）y=c1coswx+c2sinwx（D）y=ccoswx+csinwx
2
4.
C是任意常数，则微分方程y'=3y3的一个特解是
（A）y-=（x+2）3（B）y=x3+1（C）y=（x+c）3（D）y=c（x+1）3
四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1.
1212
y=Cx2+C2（其中C为任意常数）2.y=Ce2x+Ce3x（其中C,C为任意常数）
五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
专业班级学号姓名成绩时间175
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
2．（x+xy2）dx-（x2y+y）dy=0
3.（ex+y-ex）dx+（ex+y-ey）dy=0
4.y'=cos（x-y）.（提示令.x-y=z）
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
p
1.cosydx+（1+e-x）sinydy=0.y
x=0=
4
专业班级学号姓名成绩时间176
2.
secxdy=xdx.y
1+y2
3=-1
x=
2
0
三、设f（x）=x+⎰xf（u）du,f（x）是可微函数，求f（x）
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。
已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3齐次方程
专业班级学号姓名成绩时间177
一、求下列齐次方程的通解
1
xy'-xsiny=0
yy
2（x+ycos）dx-xcosdy=0
xxx
二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
1．xydy=x2+y2y
ax
x=e
=2e2.x2dy+（xy-y2）dx=0y
x=1=1
三、求方程：
（x+y+1）dx=（x-y+1）dy的通解
四、设有连结点O（0，0）和A（1，1）一段向上凸的曲线孤O⋂A对于O⋂A上任一点
OP
P（x，y）,曲线孤与O⋂P直线段-所围图形的面积为x2，求曲线孤O⋂A的方程。
12.4一阶线性微分方程
专业班级学号姓名成绩时间178
一、求下列微分方程的通解
1.xy'+y=xex2.y'+ytanx=sin2x
3.y'+1y=sinx
dyy
4.
xxdx
x+y3ey
二、求下列微分方程满足初始条件的特解
1.
y'cosy+siny=xy
x=0=4
2.（2x+1）eyy'2ey=4y
x=0=0
三、已知f（）,曲线积分⎰b[sinx-f（x）]ydx+f（x）dy与路径无关，求函数f（x）.
ax
四、质量为M0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、求下列伯努利方程的通解
1．y′+1y=x2y52.xy′+y-y2lnx=0
x
12-4全微分方程
专业班级学号姓名成绩时间179
一、求下列方程通解
1．[cos（x+y2）+3y]dx+[2ycos（x+y2）+3x]dy=0
2.（xcosy+cosx）y-ysinx+siny=0
3.eydx+（xey-2y）dy=0
二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1ydx-xdy+y2xdx=0
2y（2xy+ex）dx-exdy=0
三、[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f（x）+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f（x）连续可微，f（0）=0,试求函数f（x），并求该方程的通解。
12-7可降阶的高阶微分方程
专业班级学号姓名成绩时间180
一、求下列各微分方程的通解
1.y'=xsinx2.
y'-y'=x
3.yy'+（y'）2=y'4.y'（1+ex）+y'=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1．2y'=sin2yy
x=0=2
y'x=0=1
2.
xy'-y'lny'+y'lnx=0y
x=1=2
2
x=1
三、函数f（x）在x>0内二阶导函数连续且f
（1）=2，以及f'（x）-
f（x）-
x1
f（t）dt=0,求f（x）.
t2
四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
12-8高阶线性的微分方程
专业班级学号姓名成绩时间181
一、选择题
1.下列方程中为线性微分方程
（A）（y'）+xy'=x（B）yy'-2y=x
（C）
y'-2y'+2
xx2
y=ex
（D）y'-y'-3xy=cosy
2.已知函数y1=e
x2+1
x2，y=e
x2-1
x2，y=e（x-
1）2则
（A）仅y1与y2线性相关（B）仅y2与y3线性相关
（C）仅y1与y3线性相关（D）它们两两线性相关
3.若y1和y2是二阶齐次线性方程，y'+p（x）y'+4（x）y=0两个特解，c1c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2
（A）一定是该方程的通解（B）是该方程的特解
（C）是该方程的解（D）不一定是方程的解
4.下列函数中哪组是线性无关的
（A）lnx,lnx2（B）1，lnx（C）x,ln2x（D）ln,lnx2
二、证明：
下列函数是微分方程的通解
1y=c1x2+c2x2lnx（c1c2是任意常数）是方程x2y'-3xy'+4y=0的通解
2y=ce-x+cex+ex（cc
是任意常数）是方程2y'+'y'=2ex的通解
1212
三、设y1（x）y2（x）是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y1（x）y2（x）.y3（x）.线性无关，
证明：
微分方程的通解为：
y=c1y1（x）+c2y2（x）+（1-c1-c2）y3（x）
四、试求以y=
1ex
（c1ex+c2e-x）+（c1,c2是任意常数）为通解的二阶线性微分方程。
x2
12-9二阶常系数齐次线性微分方程
专业班级学号姓名成绩时间182
一、选择题
1以y1=cosx,y2=sinx为特解的方程是
（A）y'-y=0
（B）
y'+y=0
（C）y'+y'=0
（D）y'-y'=0
2．微分方程2y'+y'-y=0的通解是
x-x
（A）y=cex-ce-2x（B）y=ce-x-ce2（C）y=cex-ce2
（D）
12
y=ce-x+ce2x
1212
12
3．常微分方程y'+（1+2）y'+12y=0，（其中1,2是不等的系数），在初始条件y1x=0=
y'x=0=0特解是
（A）y=0（B）y=ce1x+ce2x（C）y=x2（D）y=（+）x2
121212
4.y=e2x是微分方程y'+py'+6y=0的一个特解，则此方程的通解是
（A）y=ce2x+ce-3x
（B）
y=（c
+
xc
）e2x
1212
（C）y=ce2x+ce3x
（D）
y=e2x（c
sin3x+c
cos3x）
1212
5.y=cex+ce-x是微分方程的通解
12
（A）y'+y=0（B）y'-y=0（C）y'+y'=0（D）y'-y'=0
二、求下列微分方程的通解
1．y'-5y'=0
2．y'-4y'+4y=0
3．y'+4y'+y=04．y'-5y'+6y=0
专业班级学号姓名成绩时间183
5．y''-6y'+3y'+10y=05.y（4）-2y''+y'=0
三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．y'+2y'+10y=0
yx=0
y1x=0
d2xdx
2．+-3x=0
x=0
x'=1
dtdt
t=0
t=0
四、一质量为m的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k），求此质点的运动规律。
专业班级学号姓名成绩时间184
12-10二阶常数非齐次线性微分方程
一、选择题
1微分方程，y'-2y'=x的特解y*形式为
（A）ax（B）ax+b（C）ax2（D）ax2+bx
2.微分方程y'-y=ex+1的特解y*形式为
（A）aex+b
（B）axex+b
（C）aex+bx
（D）axex+bx
3.微分方程y'-2u'=xe2x的特解y*形式为
（A）x（ax+b）e2x
（B）（ax+b）e2x
（C）xe2x
（D）（ax2+bx+c）e2x
4.微分方程y'+4y=cos2x的特解y*形式为
（A）acos2x（B）axcos2x（C）x（acos2x+bsin2x）（D）acos2x+bsin2x
5.微分方程y'-y=xsin2x的特解形式为y*=
（A）（ax+b）sin2x（B）（ax+b）sin2x+（cx+d）cos2x
（C）（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x（D）（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x+ex+f
6.微分方程y'-4y'-5y=e-x+sin5x的特解形式为
（A）ae-x+bsin5x（B）ae-x+bcos5x+csin5x
（C）axe-x+bsin5x（D）axe-x+bcos5x+csin5x
二、求下列各方程的通解
1.y'+2y'+y=xex
2.y'-7y'+6y=sinx
3.y'-2y'+5y=exsinx4．y'+y=x+cosx
专业班级学号姓名成绩时间185
三、求微分方程y'+9y=cosx满足y'
2
的特解
x=
2
四、已知二阶常系数微分方程y'+y'+y=（x+2）有特解y*=ex+1-x2-6x，求
,的值，并求该方程的通解
五、k为常数。
试求y'-2ky'+k2y=ex的通解。
xx
六、设f（x）=sinx+⎰0f（t）dt-x⎰0
f（t）dt，其中f（x）为连续的数，求f（x）。
七、一链长18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
专业班级学号姓名成绩时间186
第十二章自测题一
一、填空题
1
1.
已知曲线y=y（x）过点（0，
2
）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln（1+x2），则f（x）=
2.以（x+c）2+y2=1为通解的微分方程是（其中为任意常数）
3。
微分方程ydx+（c2-4x）dy=0的通解为4．微分方程y'+y+lnx=ax的通解为]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
１．已知函数y=f（x）在任意点x处的增量∆y=
阶的无穷小量，y（o）=，则y
（1）等于
y∆x
1+x2
+且当∆x→o时，是比∆x更高
（A）2
（B）
p
（C）e4
（D）
e4
2
0
y=y（x）是微分方程y'-y'-esinx=0的解，且f'（x）=0，则f（x）在
（A）x０的某个邻域内单调增加（B）x０的某个邻域内单调减少
（C）x０处的取极小值（D）x０处取极大值
3.
一曲线通过点m（4.3）,且该曲线上任意一点p处的切线在y轴上的截距等于原点到p的距离，则此曲线方程为
（A）x2
+y2
=25（B）y=2+x
10
（C）（x+9）2
-（y+9）2
=25（D）y=4-x
16
4.下列方程中可利用p=y',p'=y'降为p的一阶微分方程的是
（Ａ）（y'）2+xy'-x=0（Ｂ）y'+yy'+y2=0
（C）y'+y2y'-y2x=0
（D）
y'+yy'+x=0
三、求解下列微分方程
1.求ydx+（x2y-x）dy=0，满足y
的特解，
x=1
2.求y'+y'=
1
1+ex
的通解
专业班级学号姓名成绩时间187
四、求y'+y'=x+sinx的通解。
123
五、已知y=xex+e2x，y=xex+e-x，y=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f（x）可微，且对任意实数x,y满足：
f（x+y）=exf（y）+eyf（x）,求此函数f（x）.
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s（t）.
专业班级学号姓名成绩时间188
第十二章自测题二
一、单项选择题
１．设y=f（x）是方程y'-2y'+4y=0的解，若f（x0）>0,则f（x）在x0点
（A）取得极大值；（B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；２．函数y=3e2x是方程y'-4y=0的
（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对３．微分方程2y'+5y'=cos2x的特解应具有形式（其中，a,b,c为常数）
（A）x（acos2x+bsin2x）;（B）ax+bcos2x+csin2x
（C）a+bcos2x;（D）ax2+bcos2x+csin2x4.微分方程y'+6y'+9y=xe3x特解应具有形式
（A）（Ax+Bx）e3x（B）x（Ax+B）e3x（C）x2（Ax+B）e3x（D）Ax3e3x
5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其初速度为v0,初始位移为s0，则此质点规律是
（A）s=v+s;（B）s=1at2+vt+s
（C）
s=vt2+s（D）s=at2+vt+s
0000
00;00
6函数f（x）满足关系式f（x）=⎰2xt+1n2,则f（x）=
0f（）dt
2
（A）1n2·ex;（B）1n2·e2x;（C）ex+ln2;（D）e2x+ln2.
二、填空题
1.微分方程y'+y'-2y=0的通解y=
2.以1=2=2为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以ex,exsinx,excosx为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程y'-2y=3通解y=
三、判断下列方程的类型并求其解
１．求ydx-（3x+2y5）dy=0满足y=2的特解
２．求（xey+1）dx+（1x2ey+y）dy=0的通解
2
四、求微分方程的y'-5y'+6y=xe2x的通解
五、已知函y=
f（x）的图形经过原点和点M（1，2），且满足微分方程y'+
2
1-y
y'2=0
专业班级学号姓名成绩时间189
求f（x）.
六、设二阶常数线性微分方程y'+ay'+y=ex的一个特解为y=e2x+（1+x）ex,试确
定常数,,,并求该方程的通解
七、设函数f（x）连续可微，f
（1）=1,且对任意闭曲线C都有4x3ydx+xf（x）dy=0,
C
求f（x）.
升级会员 