全国初中数学联赛初二卷与详细讲解.docx
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全国初中数学联赛初二卷与详细讲解
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷
第一试
、选择题：
（本题满分42分，每小题7分）
1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90
，3a+9b+c=72，则3bC的值为（
a+2b
A.2B.1C.0
D.-1
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1
=0,则（a+1）2+（b+3）2+（c+5）2的值为
A.125B.120
C.100D.81
3.若正整数a,b,c满足aA.4B.3C.2D.1
4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,则a2+b2+c2的值为（）.
A.424B.430C.441D.460
5.梯形ABCD中，AD//BC,AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,则梯形的面积为（）.
A.PlB.^-3C.32D.33
33
6.如图，梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,点E在AB上,若AE=42,BE=28,BC=70,/DCE=45°，则DE
的值为（）.
A.56B.58C.60D.62
、填空题：
（本题满分28分，每小题7分）
7.使得等式=肃成立的实数a的值为.
8.已知△ABC的三个内角满足AvBvCv100。
•用B表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则B的最大值为
8ab3
9.设a,b是两个互质的正整数，且p=为质数.则p的值为.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小
值为.
第二试
一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分4DB,DF平分ZADC,BE丄DE,CF丄DF,P为AD与EF的交点证明：
EF=2PD.
参考材料
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案
第一试
一、选择题：
（本题满分42分，每小题7分）
ah+广
1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则一—的值为（）•
a+2b
A.2B.1C.0D.-1
答案：
B
对应讲次：
所属知识点：
方程
思路：
因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程•
解析：
已知等式可变形为2（a+2b）+3（3b+c）=90，3（a+2b）+（3b+c）=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以
3bc“
1・
a2b
111
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，一--0，则（a+1）2+（b+3）2+（c+5）2的值为（）
a+1b+3c+5
A.125B.120C.100D.81
答案：
C
对应讲次：
所属知识点：
方程
思路：
可以想到换元法.
111
解析：
设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，0，
xyz
••xy+xz+yz=O,由x2+y2+z2=（x+y+z）2-2（xy+xz+yz）=100.
则（a+1）2+（b+3）2+（c+5）2=100.
3.若正整数a,b,c满足a命wc且abc=2（a+b+c）,则称（a,b,c）为好数组.那么好数组的个数为（）.
A.4B.3C.2D.1
答案：
B
对应讲次：
所属知识点：
数论
思路：
先通过a解析：
若（a,b,c）为好数组,则abc=2（a+b+c）w6c,即ab<6,显然a=1或2.
若a=1,则bc=2（1+b+c）,即（b-2）（c-2）=6,可得（a,b,c）=（1,3,8）或（1,4,5）,共2个好数组.
5
若a=2,则b=2或3,可得b=2,c=4;b=3,c=,不是整数舍去，共1个好数组.
2
共3个好数组（a,b,c）=（1,3,8）（1,4,5）（2,2,4）.
4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,则a2+b2+c2的值为（）.
A.424B.430C.441D.460
答案：
C
对应讲次：
所属知识点：
方程
思路：
由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证
终确定结果.
解析：
联立方程可得（a-9）2+3（b-1）2=75,则3（b-1）2<75,即1<<6.
当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；
当b=6时，a=9,符合要求，此时c=18,代入验证满足原方程
因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.
5.梯形ABCD中，AD//BC,AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,则梯形的面积为（）
A.^B.^JC.3.2d.3.3
答案：
A
对应讲次：
所属知识点：
平面几何思路：
通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来
解析：
作AE//DC,AH丄BC,则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB则厶ABE是等腰三角形，BE=AB=3,AE=2,经计算可得AH二4^.
3
所以梯形ABCD的面积为-14^10-2.
2*f33
6.如图，梯形ABCD中，AD//BC,/A=90°，点E在AB上,若AE=42,BE=28,BC=70,ZDCE=45°，则DE
的值为（）.
A.56B.58C.60D.62
答案：
B
对应讲次：
所属知识点：
平面几何
思路：
补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形RtAEAD中去，利
用勾股定理求解•
解析：
作CF丄AD,交AD的延长线于点F,将厶CDF绕点C逆时针旋转90。
至△CGB,则ABCF为正方形，可
#△ECG^^ECD,「.EG=ED.
设DE=x,则DF=BG=x-28,AD=98-x.
在Rt△EAD中,有422+（98-x）2=x2,解得x=58.
二、填空题：
（本题满分28分，每小题7分）
7.使得等式J"Z+a=3成立的实数a的值为
答案：
8
对应讲次：
所属知识点：
方程
思路：
通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式•
32
解析：
易得1•1亠aa.
令x=叩—a,贝収》0,代入整理可得x（x-3）（x+1）2=0,解得xi=O,X2=3,x3=-1,舍负，即a=-1或8,验证可
得a=8.
8.已知△ABC的三个内角满足AvBvCv100。
•用9表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则B的最大值为
答案：
20°
对应讲次：
所属知识点：
代数
思路：
一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况•
解析：
•••9耳00。
-C,9OB,9<8-A/-Q^1:
3（100°-C）+2（C-B）+（B-A）:
=20。
又当A=40°,B=60°,C=80
6
时,9=20。
可以取到.
则9的最大值为20°
8ab
9.设a,b是两个互质的正整数，且p=为质数•则p的值为
a+b
答案：
7对应讲次：
所属知识点：
数论
8ab3
思路：
因为p是质数，只能拆成1和p,另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分
a+b
类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.
3ab3二1
解析：
因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为8ab质数，所以8可得a=b=1,p=4,不是a+bJ=p
la+b
ab3=p
质数舍;8可得a=7,b=1,p=7,符合题意.
1ab
则p=7.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小
值为.
答案：
34
对应讲次：
所属知识点：
数论
思路：
考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
k1k6
解析：
设该正整数列为ann_20,n三N*，考虑ak〕ai,IH〕aik_14,k三N*，依抽屉原理必然有两项
ids\=k
模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为
7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数
列之和不小于34.
由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.
第二试
一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2
是完全平方数，求A的值.
答案：
65
对应讲次：
所属知识点：
数论
思路：
对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果•
解析：
设A=10a+b（111x（a+b）（a-b）.5分
由A2-B2是完全平方数，则a>b,11|（a+b]a—b）,可得a+b=11,10分
a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4.15分
右a-b=1,则a=6,b=5;
若a-b=4,则没有正整数解.
因此a=6,b=5,A=65.20分
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分ZADB,DF平分4DC,BE丄DE,CF丄
DF,P为AD与EF的交点证明：
EF=2PD.
对应讲次：
所属知识点：
平面几何
思路：
因为EF、PD都在△DEF中,所以想办法推出其性质，比较容易得出/EDF=90。
，此时若能得出
EF=PD，则自然可以得到结论.
解析：
由DE平分ZADB,DF平分ZADC,可得ZEDF=90°5分
由BE丄DE得BE//DF,贝U/EBD=ZFDC.10分
又BD=DC，/BED=/DFC=90。
，则△BED^ADFC,BE=DF.15分
得四边形BDFE是平行四边形，/PED=ZEDB=/EDP,EP=PD.20分
又厶EDF是直角三角形，「.EF=2PD.25分
三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且5^-b为有理数，求『bC的最小值.
寸5b+ca+b+c
答案：
3
对应讲次：
所属知识点：
数论
思路：
通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑•注意到•.5b-c=0,可以通过分母有理化
来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值•
解析：
.5b_c"，由亠二®[Uab—bc；b2；ac•5是有理数，可得b2=ac.J5b+c5b_c5b-c
分
ooo22
abcac;「b
=—£=a+c-b.15分
abcac；：
：
；b
不妨设avc,若a=1,c=b2,因为azb,则a+c-b=1+b（b-1）
>3,取等号当且仅当b=2时.
20分
若a>2,因为cZbzi,则a+c-b=a+b（b-1）
>a+2>4>3.
222所以abc的最小值为3,
a+b+c
当a=1,b=2,c=4时.
25分
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