数学新学案同步苏教版必修二讲义第一章 立体几何初步123 第1课时 Word版含答案.docx

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数学新学案同步苏教版必修二讲义第一章立体几何初步123第1课时Word版含答案

1.2.3　直线与平面的位置关系

第1课时　直线与平面平行的判定

学习目标

　1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理．

知识点一　直线与平面的位置关系

思考　如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

答案　三种位置关系：

（1）直线在平面内；

（2）直线与平面相交；（3）直线与平面平行．

梳理　直线与平面的位置关系

位置关系

直线a在平面α内

直线a在平面α外

直线a与平面α相交

直线a与平面α平行

公共点

有无数个公共点

有且只有一个公共点

没有公共点

符号表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

知识点二　直线与平面平行的判定定理

思考1　如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD（不落在α内）和平面α有何位置关系？

答案　平行．

思考2　如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？

直线a与平面α相交吗？

答案　由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交．

梳理

表示

定理　　

图形

文字

符号

直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

⇒a∥α

1．若直线a与平面α内的所有直线都不平行，则a不平行于平面α.（　√　）

2．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．（　×　）

类型一　直线与平面的位置关系

例1　下列说法中正确的是________．（填序号）

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.

答案　④

解析　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在过BB′的平面AB′内，故①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确．

反思与感悟　

（1）此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．

（2）判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型（如长方体）和举反例两种行之有效的方法．

跟踪训练1　若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是________．（填序号）

①α内的所有直线都与直线a异面；

②α内不存在与a平行的直线；

③α内的直线都与a相交；

④直线a与平面α有公共点．

答案　④

解析　直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，故④正确．

类型二　线面平行的判定定理及应用

例2　如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P—ABCD的棱AB，PC的中点，求证：

MN∥平面PAD.

证明　如图所示，取PD的中点E，连结AE，NE，

∵N是PC的中点，

∴EN∥DC，

EN＝

DC.

又∵AM∥CD，AM＝

CD，

∴NE∥AM，NE＝AM，

∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.

又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

反思与感悟　利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．

跟踪训练2　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：

MN∥平面PAD.

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

证明　如图，取PD的中点G，连结GA，GN.

∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，

∴GN∥DC，GN＝

DC.

∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，

∴AM＝

DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，

∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.

又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

例3　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：

EF∥平面A1CD.

证明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，

∴A1F綊

AC，

∵D，E分别是棱AB，BC的中点，

∴DE綊

AC，

∴A1F綊DE，

则四边形A1DEF为平行四边形，

∴EF∥A1D.

又EF⊄平面A1CD且A1D⊂平面A1CD，

∴EF∥平面A1CD.

反思与感悟　证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法．

跟踪训练3　如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1.

（1）求证：

BC1∥平面AB1D1；

（2）若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：

EF∥平面ADD1A1.

证明　

（1）∵BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1.

（2）∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点．

又∵点E为D1C的中点，

∴EF∥AD1，

∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，

∴EF∥平面ADD1A1.

1．下列命题中正确命题的个数是________．

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．

答案　0

解析　①中，当l∩α＝A时，除A点以外所有的点均不在α内；②中，当l∥α时，α中有无数条直线与l异面；③中，另一条直线可能在平面内．

2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　平行

解析　∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.

3．如图

（1），已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图

（2）所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．

答案　平行

解析　∵BF∥DE，DE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，

∴BF∥平面ADE.

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个面中与直线EF平行的平面有________________．

答案　平面C1CDD1和平面A1B1BA

解析　如图，连结A1C1，C1D，

在△A1C1D中，EF为中位线，

∴EF∥C1D，

又EF⊄平面C1CDD1，

C1D⊂平面C1CDD1，

∴EF∥平面C1CDD1.

同理可得EF∥平面A1B1BA.

故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.

5．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点．求证：

B1O∥平面A1C1D.

证明　如图，连结B1D1，

交A1C1于点O1，连结DO1.

∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，

∴四边形O1B1OD为平行四边形，

∴B1O∥O1D.

∵B1O⊄平面A1C1D，

O1D⊂平面A1C1D，

∴B1O∥平面A1C1D.

1．直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：

一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内．

2．直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．

一、填空题

1．下列命题正确的是________．（填序号）

①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；

②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；

③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.

答案　①③

解析　因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确．

2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______．（填序号）

①α内的所有直线都与直线l异面；

②α内不存在与l平行的直线；

③α内的直线与l相交；

④直线l与平面α有公共点．

答案　④

解析　①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．

3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．

答案　平行或相交

解析　当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．

4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．

答案　2

解析　由题意知，EF∥AC，FG∥PB，

∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，

即有2条与平面EFG平行的线段．

5.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．（填“平行”或“相交”）

答案　平行

解析　∵M，N分别是BF，BC的中点，

∴MN∥CF.

又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，

∴MN∥DE.

又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴MN∥平面ADE.

6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．

答案　平面A1C1与平面AD1　平面AD1　CD

解析　观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.

7．若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________．

答案　平行

解析　这三条线段放在正方体内如图，

显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.

EF⊂平面EFG，

故AC∥平面EFG.

8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．

答案　平行

解析　∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.

又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，

∴AC∥平面DEF.

9．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．

答案　12

解析　如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．

10．如图，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．（写出所有符合要求的图形序号）

答案　①③

解析　①如图

（1），Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，

AB⊄平面MNP，

∴AB∥平面MNP.

②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，

NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，

∴AB与平面MNP不平行．

③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，

∴AB∥平面MNP.

④如图

（2），过M作MC∥AB，

∵MC⊄平面MNP，

AB⊄平面MNP，

∴AB与平面MNP不平行．

二、解答题

11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中点．求证：

PC∥平面BDQ.

证明　连结AC，交BD于O，连结OQ，

因为底面ABCD为正方形，

所以O为AC的中点．

又因为Q是PA的中点，

所以OQ∥PC，

又因为OQ⊂平面BDQ，

PC⊄平面BDQ，

所以PC∥平面BDQ.

12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC的中点．求证：

OG∥平面EFCD.

证明　∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，

∴点O是BD的中点．又点G为BC的中点，∴OG∥CD.

又OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，

∴OG∥平面EFCD.

13.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的证明

解　如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，

PM∥平面BCE.

取BE的中点N，连结CN，MN，

MN∥AB且MN＝

AB，

又PC∥AB且PC＝

AB，

所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.

因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，

所以PM∥平面BCE.

三、探究与拓展

14．如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

考点　直线与平面平行的判定

题点　直线与平面平行的判定

答案　平面ABC，平面ABD

解析　连结BN，AM，并延长交CD于点E.

由题意易得MN∥AB，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，

∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.

15．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．

解　SG∥平面DEF.证明如下：

连结CG交DE于点H，如图，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．

∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.

又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.