上海市高一上期中数学考试解析版.docx

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上海市高一上期中数学考试解析版

上海市高一（上）期中数学考试（解析版）

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2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷

一、填空题

1．已知全集U=R，

，则A∩∁UB=　　　　　　．

2．若函数

，则f（x）•g（x）=　　　　　　．

3．函数y=

的定义域是　　　　　　．

4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为　　　　　　．

5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（

，1）上为增函数，那么f

（2）的取值范围是　　　　　　．

6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是　　　　　　．

7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是　　　　　　．

8．设f（x）是R上的偶函数，f

（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是　　　　　　．

9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　　　．

10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f

（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．

11．已知

的解集为[m，n]，则m+n的值为　　　　　　．

二、选择题

12．给出下列命题：

（1）∅={0}；

（2）方程组

的解集是{1，﹣2}；

（3）若A∪B=B∪C，则A=C；

（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．

其中正确命题的个数有（　　）

A．1B．2C．3D．4

13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（　　）

A．充要条件B．必要非充分条件

C．充分非必要条件D．非充分非必要条件

14．已知a∈R，不等式

的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣4B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3D．a≥4或a＜﹣3

15．函数f（x）=

，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]

三、解答题（8+8+10+14分）

16．记关于x的不等式

的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．

（Ⅰ）若a=3，求P；

（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

17．设α：

A={x|﹣1＜x＜1}，β：

B={x|b﹣a＜x＜b+a}．

（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；

（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．

18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）

（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；

（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？

为什么？

19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：

在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x0+1）≤f（x0）f

（1）成立；

（1）请给出一个x0的值，使函数

；

（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？

若是，请求出所有x0组成的集合；若不是，请说明理由；

（3）设函数

，求实数a的取值范围．

2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1．已知全集U=R，

，则A∩∁UB=　{0}　．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题；集合．

【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CUB={x|x≤

}，最后根据交集定义运算得出结果．

【解答】解：

因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，

而B={x|x＞

}，且U=R，

所以，CUB={x|x≤

}，

所以，{x|x≤

}∩{0，3}={0}，

即A∩CUB={0}，

故答案为：

{0}．

【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．

2．若函数

，则f（x）•g（x）=　x（x＞0）　．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．

【解答】解：

函数

，则f（x）•g（x）=

=x，x＞0．

故答案为：

x（x＞0）．

【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．

3．函数y=

的定义域是　{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}　．

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．

【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．

【解答】解：

要使函数有意义，可得：

，解得：

﹣1≤x＜1或1＜x≤4．

函数的定义域为：

{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．

故答案为：

{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．

【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．

4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为　（﹣∞，

]　．

【考点】其他不等式的解法．

【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．

【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．

【解答】解：

∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），

∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，

∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，

两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，

解得x≤

故答案为：

（﹣∞，

]．

【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．

5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（

，1）上为增函数，那么f

（2）的取值范围是　[﹣7，+∞）　．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得

≤

，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f

（2）的范围．

【解答】解：

函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=

，

由题意可得

≤

，

解得a≤2，

则f

（2）=4﹣2（a﹣1）+5

=11﹣2a≥﹣7．

故答案为：

[﹣7，+∞）．

【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．

6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是　[3，+∞）　．

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．

【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．

【解答】解：

∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，

A∩B=B，

∴m﹣1≥2，解得m≥3，

∴实数m的取值范围是[3，+∞）．

故答案为：

[3，+∞）．

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．

7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是　“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”　．

【考点】四种命题．

【专题】演绎法；简易逻辑．

【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．

【解答】解：

“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，

故答案为：

“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”

【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．

8．设f（x）是R上的偶函数，f

（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是　（0，1）∪（2，+∞）　．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．

【解答】解：

∵f（x）是R上的偶函数，f

（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，

∴f（﹣1）=f

（1）=0，

则函数f（x）对应的图象如图：

即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，

当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，

则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为

或

，

即

或

，

即

或

，

即x＞2或0＜x＜1，

即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），

故答案为：

（0，1）∪（2，+∞）

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．

9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣

，0）　．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由条件利用二次函数的性质可得

，由此求得m的范围．

【解答】解：

∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，

对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴

，

即

，解得﹣

＜m＜0，

故答案为：

（﹣

，0）．

【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f

（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣1，1]　．

【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．

【专题】计算题．

【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f

（2）=1，得到f

（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】解：

∵f（x）是R上的偶函数，且f

（2）=1，

∴f

（2）=f（﹣2）=1；

∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，

∴﹣2≤x+a≤2，

即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，

∴﹣1≤a≤1，

故答案为：

[﹣1，1]．

【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．

11．已知

的解集为[m，n]，则m+n的值为　3　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．

【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．

【解答】解：

解：

∵

x2﹣2x+3=

（2x2﹣6x+9）=

[（x﹣3）2+x2]≥

，

令

n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，

解得n=

（舍去），n=3；

令

x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．

取m=0．

∴m+n=3．

故答案为：

3．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．

二、选择题

12．给出下列命题：

（1）∅={0}；

（2）方程组

的解集是{1，﹣2}；

（3）若A∪B=B∪C，则A=C；

（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．

其中正确命题的个数有（　　）

A．1B．2C．3D．4

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．

【分析】由集合间的关系判断

（1）；写出方程组的解集判断

（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．

【解答】解：

（1）∅⊆{0}．故

（1）错误；

（2）方程组

的解集是{（1，﹣2）}．故

（2）错误；

（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；

（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，

则A⊆∁UB．故（4）正确．

∴正确命题的个数是1个．

故选：

A．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．

13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（　　）

A．充要条件B．必要非充分条件

C．充分非必要条件D．非充分非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．

【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．

【解答】解：

若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，

则△=a2﹣4＜0．

解得﹣2＜a＜2．

∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．

故选：

B．

【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．已知a∈R，不等式

的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣4B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3D．a≥4或a＜﹣3

【考点】其他不等式的解法．

【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．

【分析】原不等式化为

＜0，分类讨论即可得到答案．

【解答】解：

化为式

﹣1＞0，即

＞0，即

＜0，

当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，

∵﹣4∉P，

∴a≥4；

当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，

∴﹣4∉P，

∴a＜﹣3；

当a+3=0时，即x∈∅，

∴﹣4∉P，

综上所述：

a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，

故选：

C．

【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．

15．函数f（x）=

，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]

【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】综合题；函数的性质及应用．

【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+

+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．

【解答】解：

由于f（x）=

，

则当x=0时，f（0）=a2，

由于f（0）是f（x）的最小值，

则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，

则有a2≤x+

+a，x＞0恒成立，

由x+

≥2

=2，当且仅当x=1取最小值2，

则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．

综上，a的取值范围为[0，2]．

故选：

D．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题

三、解答题（8+8+10+14分）

16．记关于x的不等式

的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．

（Ⅰ）若a=3，求P；

（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．

【分析】（I）分式不等式

的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．

【解答】解：

（I）由

，得P={x|﹣1＜x＜3}．

（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．

由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形

所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．

【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．

17．设α：

A={x|﹣1＜x＜1}，β：

B={x|b﹣a＜x＜b+a}．

（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；

（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．

【考点】充要条件．

【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．

【分析】

（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即

，解得实数b的取值范围；

（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即

且两个等号不同时成立，进而得到结论．

【解答】解：

（1）∵a=2，

∴β：

B={x|b﹣2＜x＜b+2}．

若α是β的充分不必要条件，

则A⊊B，即

，

解得：

b∈[﹣1，1]；

（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，

即

且两个等号不同时成立，

即a＜1，b≤|a﹣1|

【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．

18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）

（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；

（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？

为什么？

【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．

【专题】综合题；函数的性质及应用．

【分析】

（1）由题意可得：

二次函数的对称轴为x=

，由条件可得：

2a＞a+c，所以x=

＜

＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．

（2）二次函数的对称轴是x=

，讨论f（0）=c＞0，f

（1）=a﹣c＞0，而f（

）=﹣

＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．

【解答】解：

（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=

，

因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，

所以x=

＜

＜1，

所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，

所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．

所以f（x）min=f

（1）=a﹣c，

因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，

所以a﹣c＞c2﹣2c+a，

所以0＜c＜1；

（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=

．

若f（0）=c＞0，f

（1）=a﹣c＞0，而f（

）=﹣

＜0，

所以函数f（x）在区间（0，

）和（

，1）内分别有一零点．

故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；

若f（0）=c＜0，f

（1）=a﹣c＞0，而f（

）=﹣

＜0，

故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．

19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：

在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x0+1）≤f（x0）f

（1）成立；

（1）请给出一个x0的值，使函数

；

（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？

若是，请求出所有x0组成的集合；若不是，请说明理由；

（3）设函数

，求实数a的取值范围．

【考点】元素与集合关系的判断．

【专题】应用题；新定义；函数思想．

【分析】

（1）取值带入即可；

（2）根据函数f（x）的定义求解x0即可；

（3）利用函数的思想求解．

【解答】解：

（1）令x0=2，则

，成立；

（2）假设函数f（x）=x2﹣x﹣2是集合M中的元素，则存在x0，使

f（x0+1）≤f（x0）f

（1）成立，

即（x0+1）2﹣（x0+1）﹣2≤（

）（﹣2），

解得：

，

故x0组成的集合是：

{x0|

}；

（3）∵函数f（x）=

，

∴

，

设g（x）=

=

，

∴0＜g（x）＜3，2

a=0时显然成立，

当a＞0时，a＞g（x），∴a＞3；

a＜0时，a＜g（x），∴a＜0；

综上，a≤0或a＞3

【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题