由一m2+2m=，解得：
m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合,m=-1舍去,
∴m=-3，此时P1（3,1）．
②当m4时，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4）=m2—2m,
由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）．
综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1（3,1），P2（2+，2-），P3（2—，2十）.
点评：
此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：
坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．
2．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？
此时四边形PDCQ的面积是多少？
考点：
二次函数综合题．3338333
分析：
（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；
②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．
解答：
解：
（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，
解得：
，
故该二次函数解析式为：
y=x2﹣x﹣3．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，
解得：
t=．
即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．
②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：
=，
解得：
h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，
故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．
三．翻转问题
1．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将
（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
考点：
二次函数综合题．.
分析：
（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．
解答：
解：
（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴．
∴k﹣1＜2．
∴k＜3．
∵k为正整数，
∴k为1，2．
（2）把x=0代入方程得k=1，
此时二次函数为y=x2+2x，
此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）
由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，
则N（m，m2+2m），
MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．
∴当m=﹣时，MN的长度最大值为．
此时点M的坐标为．
（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），
把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，
当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x
∴有一组解，此时有两个相等的实数根，
则所以b=，
综上所述b=1或b=．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．
四．平移和取值问题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．
解：
（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．
（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．
∴顶点坐标（1，），
∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．
（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，
当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，
当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．
2.如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形的面积，求的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？
若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
答案：
（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0）,B（3，0）,
由点D（2，1.5）在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.
（2）由
（1）知，令x=0,得c（0,1.5）,所以CD//AB,
令kx-2=1.5,得l与CD的交点F（），
令kx-2=0，得l与x轴的交点E（），
根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：
OE+CF=DF+BE,
即：
（3）由
（1）知
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
假设在y轴上存在一点P（0，t），t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,
所以,………………
（1）
不妨设M（xM,yM）在点N（xN,yN）的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
则
（1）式变为,又yM=kxM-2,yN=kxN-2,
所以（t+2）（xM+xN）=2kxMxN,……
（2）
把y=kx-2（k≠0）代入中，整理得x2+2kx-4=0,
所以xM+xN=-2k,xMxN=-4,代入
（2）得t=2,符合条件，
故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.
考点：
本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.
点评：
本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
五．相似图形问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；
（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
解答：
解：
（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：
m=，
∴该抛物线解析式为：
y=；
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：
y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：
y=﹣x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：
F（t，﹣），
∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时最大值为：
，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：
M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取最大值，最大值为：
12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；
（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：
△AOB∽△AQP，则：
，
即：
，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：
，
即：
，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，
若：
△AOB∽△AQP，则：
，
即：
，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：
，
即：
，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14．
点评：
本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移
得到抛物线，其对称轴与两段抛物线弧所围成
的阴影部分的面积为（）．
A．B．C．D．
【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得：
区域D的面积=区域C的面积=区域B的面积，
∴阴影面积=区域A的面积加上区域D的面积=正方形的面积4．
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