特殊平行四边形初步.docx

特殊平行四边形初步.docx

《特殊平行四边形初步.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特殊平行四边形初步.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

特殊平行四边形初步

特殊平行四边形

第一部分知识梳理

一、矩形的性质及判定

1．矩形的定义：

__________________的平行四边形叫做矩形．

2．矩形的性质：

矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：

矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．

3．矩形的判定：

一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．

二、菱形的性质及判定

1．菱形的定义：

__________________的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：

菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：

还有：

菱形的四条边；菱形的对角线，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．

3．菱形的判定：

一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形．

三、正方形的性质及判定

1．正方形的定义：

有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．

2．正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都；四条边都______且；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．

3．正方形的判定：

（1）____________________________________的平行四边形是正方形；

（2）____________________________________的矩形是正方形；

（3）____________________________________的菱形是正方形；

4．对角线________________________________的四边形是正方形．

第二部分例题与解题思路方法归纳

类型一矩形的性质

【例题1】（2006•遵义）如图．在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C、O的坐标分别为：

A（4，0），C（0，2），O（0，0）．

（1）填空：

把矩形ABCO分成面积相等的两部分的直线有　　条；这些直线都经过矩形ABCO的　　．

（2）若直线y=kx+4（k≠0）把矩形ABCO分成面积相等的两部分，请你在图中画出这条直线，并求出该直线的解析式．

【课堂训练题】

1．如图，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．

（1）求证：

BF=BC；

（2）若AB=4cm，AD=3cm，求CF．

2．已知：

如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：

S矩形ABCD=S△BCF．

类型二矩形的判定

【例题2】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：

OC=EF；

（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？

并给出证明．

【课堂训练题】

1．如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a．

（1）平移后的图形是矩形吗？

为什么？

（2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：

∠2=∠1+∠3．

2．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．

（1）求证：

四边形EFGH是矩形；

（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．

类型三菱形的性质

【例题3】（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．

（1）求点D的坐标；

（2）求经过点C的反比例函数解析式．

【课堂训练题】

1．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：

DE=BE．

2．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段BE的长．

类型四菱形的判定

【例题4】如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．

（1）求证：

DE∥BF；

（2）若∠G=90°，求证：

四边形DEBF是菱形．

【课堂训练题】

1．（2011•益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：

分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

2．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB

（1）求证：

四边形EFCD是菱形；

（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．

类型五正方形的性质

【例题5】如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：

EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=2，AG=，求EB的长．

【课堂训练题】

1．（2011•济南）点M为正方形ABCD对角线BD上一点，分别连接AM、CM．

求证：

AM=CM．

2．（2011•珠海）如图，在正方形ABC1D1中，AB=1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．

（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；

（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．

类型六正方形的判定

【例题6】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？

请予以证明；

（2）在

（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？

为什么？

【课堂训练题】

1．如图，已知：

在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．

（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？

（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？

请回答并证明你的结论．（特别提醒：

表示角最好用数字）

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．

（1）求证：

△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

第三部分课后自我检测试卷

A类试题：

1．（2011•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．

求证：

△ACE≌△ACF．

2．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．

3．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

4．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求AD的长．

5．如图：

已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△BED≌△CFD；

（2）若∠A=90°，求证：

四边形DFAE是正方形．

B类试题：

6．已知：

如图，矩形ABCD．

（1）作出点C关于BD所在直线的对称点C’（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）连接C’B、C’D，若△C’BD与△ABD重叠部分的面积等于△ABD面积的，求∠CBD的度数．

7．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

8．（2006•济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

C类试题：

9．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．

（1）证明：

∠APD=∠CBE；

（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？

10．阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：

三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．