二次函数专题训练菱形的存在性含答案Word格式文档下载.doc

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（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标．

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？

若能，请直接写出点M的运动时间t的值；

若不能，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：

7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？

若能，求出点N的坐标；

7．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．

（1）填空：

抛物线的顶点坐标是（　　，　　），对称轴是　　；

（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？

若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；

8.（2016山东省威海市）．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

9.（2012山东省烟台市）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，，，以为顶点的抛物线过点，动点从点出发，沿线段向点运动．同时动点从点出发，沿线段向点运动，点的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为秒，过点作交于点．

（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点作于，交抛物线于点，当为何值时，的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点运动的过程中，当何值时，在矩形内（包括边界）存在点，使以为顶点的四边形为菱形？

请直接写出的值．

10.（2012青海省）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.

（1）求这个二次函数表达式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？

若存在，求出此时点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

二次函数之菱形的存在性参考答案

【解答】解：

（1）过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△BCF中

∵∠BCO=45°

，BC=12∴CF=BF=12

∵C的坐标为（﹣18，0）∴AB=OF=6

∴点B的坐标为（﹣6，12）．

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA，

∵===，AB=6，OA=12，

∴DG=4，OG=8，∴D（﹣4，8），E（0，4）

设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）

∴∴；

∴直线DE解析式为y=﹣x+4．

（3）结论：

存在．

设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．

如答图2所示，有四个菱形满足题意．

①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．

则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．

易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；

设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，

又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；

②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．

此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；

③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．

此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；

④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．

由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，

由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2，则P4（2，2），

由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，∴Q4（﹣2，2）．

综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；

点Q的坐标为：

Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：

，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：

x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：

，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，

∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，

∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×

5×

﹣1×

=；

（3）存在，设M（n，n﹣2），

①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），

同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，

∴N（5﹣，﹣），

③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），

∴N（5+，），

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：

，

解得：

a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．

∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．

（2）将y=0代入抛物线的解析式得：

x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，

∴B（4，0）．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，

∴E（1，0）．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'

落在抛物线的对称轴上，

∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°

．

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：

﹣1+b=0，解得b=1，

∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：

﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：

x=或x=．

∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P（，）．

（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：

k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：

4k2﹣8=0，解得：

k2=2．

∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．

将x=1代入直线BC的解析式得：

y=﹣6，∴F（1，﹣6）．

设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．

当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：

6a=﹣75，解得：

a=﹣．

∴点M的坐标为（﹣，）．

当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：

a2+a﹣20=0，解得：

a=4或a=﹣5．

∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．

（1）求抛物线的表达式；

（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴，解得：

．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．

（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），

∴BC==4．设直线BC的解析式为y=kx+4，∵点B的坐标为（4，0），∴0=4k+4，解得k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．当t=1时，CP=，

点A（﹣1，0）到直线BC的距离h===，

S△ACP=CP•h=×

×

=．

（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，

∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）

PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．

当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．

②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，∴PC=P′C，PF=P′F，

当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．∴t=﹣t2+4t，

t1=0（舍去），t2=4﹣．故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．

（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=﹣2×

（﹣2）﹣1=4﹣1=3，所以，点B（﹣2，3），又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，

∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，∴，解得：

．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x；

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴P（x，x2﹣x），若S△ADP=S△ADC，

∵S△ADC=AD•OC，S△ADP=AD•|y|，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，

∴C（0，﹣1），∴OC=1，∴|x2﹣x|=1，即x2﹣x=1，或x2﹣x=﹣1，

x1=2+2，x2=2﹣2，x3=x4=2，

∴点P的坐标为P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1）；

存在．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；

点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：

①菱形AEM1Q1．∵此时EM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；

②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；

④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，

∵易知△AED∽△M4EH，∴=，即=，得M4E=，

∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．

综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；

时间t的值为：

t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．

（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．

∴a﹣3=﹣，解得：

a=，∴y=（x+1）2﹣3

当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×

3×

3+（+3）×

1+×

2×

=10．

从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：

①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×

10=3，

∴×

（﹣y）=3

∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．

②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．

综上所述：

直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，

∴﹣k+b=0，∴b=k，

∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．

假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3

由，解得：

x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）

∵四边形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，

整理得：

3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，

解得k=±

，∵k＜0，

∴k=﹣，

∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）

∴PM=DN=2，

∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形，

∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．

7．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．

（1）填空：

抛物线的顶点坐标是（　0　，　1　），对称轴是　x=0（或y轴）　；

（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．

（2）∵△PAB是等边三角形，∴∠ABO=90°

﹣60°

=30°

∴AB=20A=4．∴PB=4．

解法一：

把y=4代入y=x2+1，得x=±

2．

∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．

解法二：

∴OB==2∴P1（2，4）．根据抛物线的对称性，得P2（﹣2，4）．

（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）

∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b∴

∴解析式为：

y=x+2

设存在点N使得OAMN是菱形，

∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：

（m，m+2）

如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，

AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m

∵四边形OAMN为菱形，∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，

即：

m2+（m）2=22解得：

m=±

代入直线AP的解析式求得y=3或1，

当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：

当N在右图1位置时，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M点坐标为（，3），

∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）．

当N在右图2位置时，

∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣，1），

∴N点坐标为（﹣，﹣1），即N2坐标为（﹣，﹣1）．

当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：

第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣，1）；

第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）

∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．

分析

（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．

（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况