113集合的基本运算第1课时教案人教A版必修1.docx

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113集合的基本运算第1课时教案人教A版必修1

1．1

集　合

1.1.3　集合的基本运算

第1课时　并集、交集

●三维目标

1．知识与技能

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集；

（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用；

（3）掌握相关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算．

2．过程与方法

通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力．

3．情感、态度与价值观

通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值．

●重点难点

重点：

交集、并集运算的含义，识记与运用．

难点：

弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系

（1）重点的突破：

以集合中的实例为切入点，采用类比思想，在集合之间关系和实数之间关系相似的情况下，联想实数的基本运算，引导学生发现问题：

集合是否也能进行基本运算？

让学生通过对已知集合的观察、比较、分析、得出集合并、交集的概念．此环节为本堂课的难点之一，重在考察学生的抽象思维，培养学生的分类归纳能力，可通过引导和补充等启发式教学方法带引学生进行突破；

（2）难点的解决：

针对并交集概念的关键词“或”、“且”字的理解，教学时注意引导学生观察交并集的Venn图，让同学们思考此部分所代表的元素有何特征，与两原集合有何关系，通过同学们思考进一步印证并、交集的概念，加深对关键词“或”、“且”字的理解．

课标解读

1.理解两个集合并集和交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集．（重点、难点）

2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．（难点）

并集

自然语言

符号语言

图形语言

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

【问题导思】　

观察下列各个集合．

（1）A＝{－1,0}，B＝{1,3}，C＝{－1,0,1,3}；

（2）A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}；

（3）A＝{1,2}，B＝{1,3,4}，C＝{1,2,3,4}．

1．你能说出C中的元素与集合A，B中元素的关系吗？

【提示】　集合C中的元素是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．

2．第

（1）题中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？

第（3）题呢？

【提示】　在

（1）中集合C中有4个元素，集合A，B中各有2个元素，4＝2＋2；在（3）中集合C中有4个元素，集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，4<2＋3.

交集

自然语言

符号语言

图形语言

对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

【问题导思】　

1．观察下列集合，你能说出集合C中的元素与集合A，B中元素的关系吗？

（1）A＝

，B＝

，C＝

；

（2）A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}；

（3）A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥0}，C＝{x|0≤x≤1}．

　【提示】　集合C中的元素是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的．

2．若A＝{－1,0,1}，B＝{2,4,6,8}则A∩B存在吗？

【提示】　存在，A∩B＝∅.

交集与并集的运算性质

【问题导思】　

A＝{x|x2＋1＝0}，B＝{0,2}，则A∪B，A∩B与集合A、B什么关系？

【提示】　∵A＝∅，B＝{0,2}，∴A∪B＝B，A∩B＝A.

（1）A∪A＝A，A∪∅＝A.

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅

.

求并集

（1）（2012·四川高考）设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝（　　）

A．{b}　　B．{b，c，d}

C．{a，c，d}D．{a，b，c，d}

（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1

【思路探究】　

【自主解答】　

（1）∵A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，∴A∪B＝{a，b，c，d}．

【答案】　D

（2）将x≤－2或x>5及1

据并集的定义，图中阴影部分即为所求，∴A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．

1．对两个集合并集的理解，不能简单地理解A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，这是因为两个集合中可能有公共元素．如本例

（1）中集合A、B都有元素b.

2．对解此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

（1）已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}，B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B

是（　　）

A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}

C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}

（2）若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.

【解析】　

（1）A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．

（2）将－2≤x＜3与0≤x＜4在数轴上表示出来．

根据并集的定义，图中阴影部分即为所求，∴A∪B＝{x|－2≤x＜4}．

【答案】　

（1）C　

（2）{x|－2≤x＜4}

求交集

若A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＞a}，求A∩B.

【思路探究】　

【自主解答】　如图所示，

当a＜－2时，A∩B＝A＝{x|－2≤x≤3}；

当－2≤a＜3时，A∩B＝{x|a＜x≤3}；

当a≥3时，A∩B＝∅.

1．本题因a与－2,3的大小关系不定而分类讨论．讨论时要做到“不重不漏”．

2．当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类标准取决于已知集合．

3．求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合，和求并集的解决方法类似．

集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝（　　）

A．{1,2}B．{0,1,2}

C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}

【解析】　因为P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以P∩M＝{0,1,2}．

【答案】　B

交、并集的性质及应用

已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝A，求a的取值范围．

【思路探究】由于A∩B＝A，∴A⊆B.结合数轴分A＝∅与A≠∅两种情况分别求解．

【自主解答】　∵A∩B＝A，∴A⊆B.

（1）若A＝∅，则2a>a＋3，a>3；

（2）若A≠∅，如图所示：

则有

或

解得a<－4或

综上所述，a的取值范围是

.

1．在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况，切不可漏掉．

2．集合运算常用的性质：

（1）A∪B＝B⇔A⊆B；

（2）A∩B＝A⇔A⊆B；

（3）A∩B＝A∪B⇔A＝B等．

把本例条件“A∩B＝A”换成“A∩B＝∅”如何求解？

【解】　A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a＋3}；

（1）若A＝∅，有2a>a＋3，∴a>3.

（2）若A≠∅，如图所示．

则有

解得－

≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是

等价转化思想与分类讨论思想在集合中的应用

　（12分）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.

【思路点拨】　

→

→

→

→

【规范解答】　由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}.3分

又A∪B＝A，∴B⊆A.

（1）若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.6分

（2）若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；9分

当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.

综上可知，适合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}.12分

1．等价转化思想．涉及到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题的运算时，常借助于交、并集的定义及集合间的关系等价变形．如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B.

2．分类讨论思想．若B⊆A，且集合B受参变量的影响不确定时，常考虑B＝∅的情况，分B＝∅及B≠∅两类分别求解．

1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于将其转化为文字语言．

2．集合的运算可以用Venn图帮助思考，实数集合的交集、并集运算可在数轴上表示，注意运用数形结合思想．

3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.

1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于（　　）

A．{0}　　B．{1,2}

C．{1,2,3,4}D．{0,1,2,3,4}

【解析】　∵集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，∴集合A∪B＝{0,1,2,3,4}．

【答案】　D

2．（2013·北京高考）已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝（　　）

A．{0}　　　　　　　B．{－1,0}

C．{0,1}D．{－1,0,1}

【解析】　∵A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，且1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．

【答案】　B

3．若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|0

【解析】　如图所示：

∴A∪B＝{x|－1≤x≤3}，A∩B＝{x|0

4．集合A＝{x|－1

（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围；

（2）若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．

【解】　

（1）如下图所示：

A＝{x|－1

∴数轴上点x＝a在x＝－1左侧．∴a≤－1.

（2）如图所示：

A＝{x|－1

∴数轴上点x＝a在x＝－1和x＝1之间．即a的范围为{a|－1

一、选择题

1．（2013·福建高考）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为（　　）

A．2　B．3

C．4D．16

【解析】　A∩B＝{1,3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．【答案】　C

2．（2012·福建高考）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是（　　）

A．N⊆MB．M∪N＝M

C．M∩N＝ND．M∩N＝{2}

【解析】　由题意可知M∩N＝{2}，M∪N＝{－2,1,2,3,4}．【答案】　D

3．（2014·长沙高一检测）设集合M＝{1,2}，则满足条件M∪N＝{1,2,3,4}的集合N的个数是（　　）

A．1B．3

C．2D．4

【解析】　∵M＝{1,2}，M∪N＝{1,2,3,4}，∴N＝{3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个．【答案】　D

图1－1－2

4．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图1－1－2中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2}B．{3}

C．{－3,2}D．{－2,3}

【解析】∵A＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3，…，10}，B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．

因此阴影部分表示的集合是A∩B＝{2}．【答案】　A

5．（2013·课标全国卷）已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝（　　）

A．{－2，－1,0,1}　　　　　　　B．{－3，－2，－1,0}

C．{－2，－1,0}D．{－3，－2，－1}

【解析】　M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.【答案】　C

二、填空题

6．已知A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

【解析】　∵A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，

∴A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是斜三角形}．

【答案】　∅　{x|x是斜三角形}

7．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.

【解析】　∵A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，A∩B＝{2}，∴2∈B，∴a＋1＝2.∴a＝1.

又2∈A，∴b＝2，∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】　{1,2,5}

8．设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是____．

【解析】　利用数轴分析可知，a＞－1.

【答案】　{a|a>－1}

三、解答题

9．已知：

A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋（a＋2）x＋5＋b＝0}，且A∩B＝

，求A∪B.

【解】　∵A∩B＝

，∴

∈A，且

∈B.∴

解之得

∴A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝

.

B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝

.∴A∪B＝

.

10．若集合M＝{x|x≤5或x≥7}，N＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且M∪N＝R，求实数m的值．

【解】　∵M＝{x|x≤5，或x≥7}，N＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且M∪N＝R，

∴

∴m＝4.

11．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．

若∅

A∩B，A∩C＝∅，求a的值．

【解】　因为∅

A∩B，且A∩C＝∅，所以3∈A,2∉A，－4∉A.由3∈A得9－3a＋a2－19＝0，所以a＝5或a＝－2.当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A矛盾；当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．故a的值为－2.