版高考数学理科大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语Word文档格式.docx

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并集

交集

补集

符号

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

1．集合间的两个等价转换关系

（1）A∩B＝A⇔A⊆B；

（2）A∪B＝A⇔B⊆A

2．集合间运算的两个常用结论：

（1）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）；

（2）∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是（　　）

A．0∈AB．{1}∈A

C．∅⊆AD．{0,1}⊆A

【答案】　B

2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－1＜x＜2}B．{x|x＞－1}

C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}

【答案】　D

3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1＜x＜4}，则（　　）

A．M⊆NB．N＝M

C．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝（1,4）

【答案】　C

4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．4

5．（2014·

广东高考）已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝（　　）

A．{0,1}B．{－1,0,2}

C．{－1,0,1,2}D．{－1,0,1}

6．（2014·

湖北高考）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝（　　）

A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}

C．{2,4,7}D．{2,5,7}

考向一[001]　集合的基本概念

（1）（2013·

山东高考）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．9

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m，－3}，若3∈A，则m的值为________．

【答案】　

（1）C　

（2）－

规律方法1　1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

对点训练　

（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3　　　B．6　　　C．8　　　D．10

（2）已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．

【答案】　

（1）D　

（2）

考向二[002]　集合间的基本关系

（1）已知a∈R，b∈R，若

＝{a2，a＋b,0}，则a2014＋b2014＝________.

（2）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．

【答案】　

（1）1　

（2）（－∞，3]

规律方法2　1.解答本例

（2）时应注意两点：

一是A∪B＝A⇒B⊆A；

二是B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．

对点训练　

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<

x<

5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

（2）若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0，a∈R}，且M∩N＝N，则实数a的取值集合是________．

考向三[003]　集合的基本运算

（1）（2014·

课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<

2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]　　　B．[－1,2）

C．[－1,1]D．[1,2）

（2）（2014·

辽宁高考）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<

1}

【答案】　

（1）A　

（2）D

规律方法3　1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；

集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．

对点训练　

（1）（2014·

江西高考）设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．（－3,0）　　　　　B．（－3，－1）

C．（－3，－1]　　　　　D．（－3,3）

（2）如图1－1－1，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为______．

【答案】　

（1）C　

（2）{2,8}

思想方法之一　数形结合思想在集合中的妙用

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．

数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：

（1）利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．

（2）利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．

（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．

——————————　[1个示范例]　——————

　已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<

0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

【解析】　∵A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|（x－m）（x－2）＜0}，且A∩B＝{x|－1＜x＜n}．

如图所示

由图可知A∩B＝{x|－1＜x＜1}，

故n＝1，m＝－1.

【答案】　－1　1

————————　[1个对点练]　———————

　设A＝{x|－2＜x＜－1，或x＞1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，则a＝________，b＝________.

【解析】　如图所示．

设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1≤x≤3}时符合题意．

根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴a＝－（－1＋3）＝－2，b＝（－1）×

3＝－3.

【答案】　－2　－3

课时限时检测

（一）　集合的概念与运算

（时间：

60分钟　满分：

80分）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．（2013·

北京高考）已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<

1}，则A∩B＝

（　　）

A．{0}　　　　　　　B．{－1,0}

C．{0,1}D．{－1,0,1}

2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x|x＝b－a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（　　）

A．3　　　　B．4

C．5　　　　D．6

3．（2013·

江西高考）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A．4　　　B．2

C．0　　　D．0或4

【答案】　A

4．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图1－1－2中阴影部分所表示的集合为（　　）

图1－1－2

A．{0,1}　　B．{1}

C．{1,2}　　D．{0,1,2}

5．（2013·

课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－

＜x＜

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

6．设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（　　）

A．（∁IA）∪B＝IB．（∁IA）∪（∁IB）＝I

C．A∩（∁IB）＝∅D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB

二、填空题（每小题5分，共15分）

7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

【答案】　－3

8．已知集合A＝{0,2,3}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A且a≠b}，则B的子集有________个．

【答案】　4

9．已知集合A＝{x|f（x）＝lg（x2－2x－3）}，B＝{y|y＝2x－a，x≤2}，若A∪B＝A，则a的取值范围是________．

【答案】　（－∞，－3]∪（5，＋∞）

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

10．（10分）已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，求a的值．

【解】　∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.

①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A，

当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.

②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，

当a＝1时，A＝{1,3,1}不满足集合元素的互异性．

综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2.

11．（12分）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

【解】　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

（1）∵A∩B＝[0,3]，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

∴

∴m＝2.

（2）∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，

∵A⊆∁RB，

∴m－2＞3或m＋2＜－1，

即m＞5或m＜－3.

因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}．

12．（13分）已知函数f（x）＝

的定义域集合是A，函数g（x）＝lg[（x－a）（x－a－1）]的定义域集合是B.

（1）求集合A、B；

（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

【解】　

（1）由x2－x－2≥0⇔x≤－1或x≥2，

所以A＝{x|x≤－1或x≥2}．

由（x－a）（x－a－1）＞0得x＜a或x＞a＋1，所以B＝{x|x＜a或x＞a＋1}．

（2）由A∩B＝A知A⊆B，得

所以－1＜a＜1，

所以实数a的取值范围是（－1,1）．

第二节　命题及其关系、充分条件

与必要条件

[考情展望]　1.直接考查“若p，则q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据．

一、四种命题及其关系

1．四种命题间的相互关系

2．四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

二、充分条件与必要条件

1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

3．如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．

充分条件与必要条件的两个特征

（1）对称性：

若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；

（2）传递性：

若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件．

注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．

1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

2．命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

4．下列命题正确的有________．

①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；

②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件；

③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件；

④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件．

【答案】　②③

浙江高考）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

陕西高考）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

考向一[004]　四种命题的关系及真假判断

（1）命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

（2）以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．

①“若log2a＞0，则函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．

【答案】　

（1）C　

（2）②④

规律方法1　1.

（1）在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．

（2）当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．

2．判定命题为真，必须推理证明；

若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．

对点训练　以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．

①命题“若x>

y，则x>

|y|”的逆命题是真命题；

②命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是真命题；

③命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0”；

【答案】　①③④

考向二[005]　充分条件与必要条件的判定

湖北高考）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

（2）（2013·

山东高考）给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】　

（1）C　

（2）A

规律方法2　充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：

直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2．等价法：

利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：

若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；

若A＝B，则A是B的充要条件．

安徽高考）“x<

0”是“ln（x＋1）<

0”的

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件

（2）（2015·

长沙模拟）设A，B为两个互不相同的集合，命题p：

x∈A∩B，命题q：

x∈A或x∈B，则綈q是綈p的（　　）

A．充分且必要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．非充分且非必要条件

【答案】　

（1）B　

（2）B

考向三[006]　充分条件与必要条件的应用

　设命题p：

2x2－3x＋1≤0；

命题q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

【答案】　

规律方法3　1.借助命题间的等价关系直接建立参数a的不等关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低．

2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：

若綈p是綈q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件．

对点训练　已知命题p：

1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．

【答案】　[9，＋∞）

易错易误之一　“条件”与“结论”颠倒黑白酿失误

　下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）

A．a＞b＋1B．a＞b－1

C．a2＞b2D．a3＞b3

【解析】　要求a＞b成立的充分不必要条件，必须满足

由选项能推出a＞b，而由a＞b推不出选项．

此处在求解中，常误认为“由a＞b推出选项，而由选项推不出a＞b”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件，哪个是结论”．在选项A中，a＞b＋1能使a＞b成立，而a＞b时a＞b＋1不一定成立，故A正确；

在选项B中a＞b－1时a＞b不一定成立，故B错误；

在选项C中，a2＞b2时a＞b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；

在选项D中，a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故D也错误．

【防范措施】　充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A是B成立的……条件”，其中A是条件；

“A成立的……条件是B”，其中B是条件．

———————　[1个防错练]　———————

设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________．

【解析】　A＝{－3,2}，当B＝∅时，BA，此时m＝0，

当B≠∅时，B＝

，则－

＝－3或－

＝2，∴m＝

或m＝－

.

故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m＝0（答案不唯一）．

【答案】　m＝0（答案不唯一）

课时限时检测

（二）　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

2．（2014·

广州市培正中学模拟）“a＝1”是“（a－1）（a－2）＝0”成立的（　　）

A．充分非必要条件　　　　B．必要非充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中的真命题为（　　）

A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．③④

4．（2013·

福建高考）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

5．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”的（　　）

6．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜5B．a≤5

C．a＞5D．a≥5

二、填空题（每小题共5分，共15分）

7．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

【答案】　2

8．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

【答案】　3或4

9．若p：

x（x－3）＜0是q：

2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

【答案】　[3，＋∞）