指数函数和对数函数教师版.docx

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指数函数和对数函数教师版

指数函数和对数函数

一.指数运算和指数函数

1．根式的性质

（1）（）n＝a.

（2）当n为奇数时＝a.

当n为偶数时＝.

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正整数指数幂：

an＝a·a·…·（n∈N*）．

②零指数幂：

a0＝1（a≠0）．

③负整数指数幂：

a－p＝（a≠0，p∈N*）．

④正分数指数幂：

a＝（a>0，m、n∈N*，且n>1）．

⑤负分数指数幂：

a－＝＝（a>0，m、n∈N*，且n>1）．

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a>0，r、s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a>0，r、s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

图象

定义域

（1）R

值域

（2）（0，＋∞）

性质

（3）过定点（0,1）

（4）当x>0时，y>1；

x<0时，0

（5）当x>0时，0

x<0时，y>1

（6）在（－∞，＋∞）上是增函数

（7）在（－∞，＋∞）上是减函数

高频考点一　指数幂的运算

例1、

（1）

（2）

【感悟提升】

（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

【变式探究】

（1）

（2）

高频考点二　指数函数的图象及应用

例2、

（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　）

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．00

D．0

（2）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

答案　

（1）D　

（2）

【感悟提升】

（1）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

（2）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．（3）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

【变式探究】

（1）如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）经过点E，B，则a等于（　　）

A.B.C．2D．3

（2）已知函数f（x）＝|2x－1|，af（c）>f（b），则下列结论中，一定成立的是（　　）

A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2cD．2a＋2c<2

答案　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）设点E（t，at），则点B坐标为（2t,2at）．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝.故选A.

（2）作出函数f（x）＝|2x－1|的图象，如图，

∵af（c）>f（b），结合图象知

00，

∴0<2a<1.

∴f（a）＝|2a－1|＝1－2a<1，

∴f（c）<1，∴0

∴1<2c<2，∴f（c）＝|2c－1|＝2c－1，

又∵f（a）>f（c），∴1－2a>2c－1，

∴2a＋2c<2，故选D.

高频考点三　指数函数的图象和性质

例3、

（1）下列各式比较大小正确的是（　　）

A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62

C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1

（2）设a＝

，b＝

，c＝

，则a，b，c的大小关系是________．

答案　

（1）B　

（2）a>c>b

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B.

（2）∵y＝x为减函数，

∴

<

即b

又＝

＝

>0＝1，

∴a>c，故a>c>b.

【变式探究】设函数f（x）＝若f（a）<1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）B．（1，＋∞）

C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）

答案　C

解析　当a<0时，不等式f（a）<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3

高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质

例4、设函数f（x）＝kax－a－x（a>0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

（1）若f

（1）>0，试求不等式f（x2＋2x）＋f（x－4）>0的解集；

（2）若f

（1）＝，且g（x）＝a2x＋a－2x－4f（x），求g（x）在上的最大值是14，则a的值为（　　）

A.B．1

C．3D.或3

答案　

（1）（－∞，4]　

（2）D

解析　

（1）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f（x）＝2|2x－m|在．

（2）令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1

＝（t＋1）2－2.

当a>1时，因为x∈，所以t∈[，a]，

又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，

所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（负值舍去）．

当0

又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，

则ymax＝（＋1）2－2＝14，解得a＝（负值舍去）．

综上知a＝3或a＝.

高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用

例5、

（1）函数y＝x－x＋1在区间上的值域是________．

（2）函数f（x）＝

的单调减区间为________________________________．

（2）设u＝－x2＋2x＋1，

∵y＝u在R上为减函数，

∴函数f（x）＝

的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为（－∞，1]，

∴f（x）的减区间为（－∞，1]．

答案　

（1）　

（2）（－∞，1]

【特别提醒】

（1）解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；

（2）换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．

【方法与技巧】

1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．

2．指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0

3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．

练习

1.设函数

则满足

的

取值范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】C

【解析】当

时，

，所以，

，即

符合题意.

当

时，

若

，则

，即：

，所以

适合题意综上，

的取值范围是

故选C.

2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．b>c>a

解析：

选A　由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.

3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝－，则f（－a）＝（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

选A　∵f（x）＝，f（a）＝－，

∴＝－.

∴f（－a）＝＝－＝－＝.

4．设函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）　　　　　　B．（1，＋∞）

C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）

5．当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－2,1）B．（－4,3）

C．（－1,2）D．（－3,4）

解析：

选C　原不等式变形为m2－m＜x，

∵函数y＝x在（－∞，－1]上是减函数，

∴x≥－1＝2，

当x∈（－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.

6．已知函数f（x）＝ln的定义域是（1，＋∞），则实数a的值为________．

解析：

由题意得，不等式1－>0的解集是（1，＋∞），

由1－>0，可得2x>a，故x>log2a，

由log2a＝1得a＝2.

答案：

2

7．已知函数f（x）＝a|x＋1|（a>0，a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f

（1）的大小关系是________．

解析：

∵|x＋1|≥0，函数f（x）＝a|x＋1|（a>0，a≠1）的值域为[1，＋∞），∴a>1.由于函数f（x）＝a|x＋1|在（－1，＋∞）上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在（－∞，－1）上是减函数，故f

（1）＝f（－3），f（－4）>f

（1）．

答案：

f（－4）>f

（1）

8．y＝2·a|x－1|－1（a>0，a≠1）过定点________．

解析：

由题根据指数函数性质令|x－1|＝0，可得x＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点（1,1）．

答案：

（1,1）

9．化简下列各式：

（1）0.5＋0.1－2＋

－3π0＋；

（2）

÷.

解：

（1）原式＝

＋＋

－3＋

＝＋100＋－3＋＝100.

（2）原式＝

÷

＝

÷

＝a

÷a

＝a

＝a

.

10．已知函数f（x）＝a|x＋b|（a>0，b∈R）．

（1）若f（x）为偶函数，求b的值；

（2）若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，试求a，b应满足的条件．

解：

（1）∵f（x）为偶函数，

∴对任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x）．

即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.

（2）记h（x）＝|x＋b|＝

①当a>1时，f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，

即h（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，

∴－b≤2，b≥－2.

②当0

∴f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.

2．对数和对数函数

1．对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN（a>0，且a≠1）．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．

2．对数的性质与运算法则

（1）对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga（MN）＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM（n∈R）；④logamMn＝logaM.

（2）对数的性质

①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__（a>0且a≠1）．

（3）对数的重要公式

①换底公式：

logbN＝（a，b均大于零且不等于1）；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

3．对数函数的图象与性质

a>1

0

图

象

性

质

（1）定义域：

（0，＋∞）

（2）值域：

R

（3）过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

（4）当x>1时，y>0

当0

（5）当x>1时，y<0

当00

（6）在（0，＋∞）上是增函数

（7）在（0，＋∞）上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

高频考点一　对数式的运算

例1、

（1）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于（　　）

A.B．10C．20D．100

（2）lg＋lg的值是．

答案　

（1）A　

（2）1

【感悟提升】在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．

【变式探究】

（1）计算：

＝.

（2）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝.

答案　

（1）1　

（2）12

解析　

（1）原式

＝

＝

＝

＝＝＝＝1.

（2）∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，

∴a2m＋n＝（am）2·an＝22×3＝12.

高频考点二　对数函数的图象及应用

例2、

（1）函数y＝2log4（1－x）的图象大致是（　　）

（2）当0

A.B.

C．（1，）D．（，2）

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）函数y＝2log4（1－x）的定义域为（－∞，1），排除A、B；又函数y＝2log4（1－x）在定义域内单调递减，排除D.选C.

（2）方法一　构造函数f（x）＝4x和g（x）＝logax，当a>1时不满足条件，当0

可知f

即2，所以a的取值范围为.

方法二　∵0

∴logax>4x>1，

∴0

x＝，则有4

＝2，log

＝1，

显然4x

【感悟提升】应用对数型函数的图象可求解的问题

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

【变式探究】

（1）已知lga＋lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是（　　）

（2）设方程10x＝|lg（－x）|的两个根分别为x1，x2，则（　　）

A．x1x2<0B．x1x2＝1

C．x1x2>1D．0

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，

∵g（x）＝－logbx的定义域是（0，＋∞），故排除A.

若a>1，则0

此时f（x）＝ax是增函数，g（x）＝－logbx是增函数．

故选B.

（2）构造函数y＝10x与y＝|lg（－x）|，

并作出它们的图象，如图所示．

因为x1，x2是10x＝|lg（－x）|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1

高频考点三　对数函数的性质及应用

例3、设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　）

A．c>b>aB．b>c>a

C．a>c>bD．a>b>c

答案　D

【变式探究】若loga（a2＋1）

A．（0,1）B．（0，）

C．（，1）D．（0,1）∪（1，＋∞）

答案　C

解析　由题意得a>0，故必有a2＋1>2a，

又loga（a2＋1）

同时2a>1，∴a>.

综上，a∈（，1）．

高频考点四和对数函数有关的复合函数

例4、已知函数f（x）＝loga（3－ax）．

（1）当x∈时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解　

（1）∵a>0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

x∈时，t（x）的最小值为3－2a，

当x∈时，f（x）恒有意义，

即x∈时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0.∴a<.

又a>0且a≠1，∴a∈（0,1）∪.

【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．

【变式探究】

（1）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

（2）若f（x）＝lg（x2－2ax＋1＋a）在区间（－∞，1]上递减，则a的取值范围为（　　）

A．

C．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　）

A．c＞b＞aB．b＞c＞a

C．a＞c＞bD．a＞b＞c

【答案】D　

【解析】a－b＝log36－log510＝（1＋log32）－（1＋log52）＝log32－log52>0，

b－c＝log510－log714＝（1＋log52）－（1＋log72）＝log52－log72>0，

所以a>b>c，选D.

（2013·浙江卷）已知x，y为正实数，则（　　）

A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg（x＋y）＝2lgx·2lgy

C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg（xy）＝2lgx·2lgy

【答案】D　

【解析】∵lg（xy）＝lgx＋lgy，∴2lg（xy）＝2lgx＋lgy＝2lgx2lgy，故选择D.

1．函数f（x）＝log（x2－4）的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－2）

2．已知函数f（x）＝则f（f

（1））＋f的值是（　　）

A．5B．3

C．－1D.

解析：

选A　由题意可知f

（1）＝log21＝0，

f（f

（1））＝f（0）＝30＋1＝2，

f＝3

＋1＝3

＋1＝2＋1＝3，

所以f（f

（1））＋f＝5.

3．设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则（　　）

A．c>b>aB．b>c>a

C．a>c>bD．a>b>c

解析：

选D　因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，log7＝log72－1，log32>log52>log72，故a>b>c.

4．已知函数f（x）＝loga（2x＋b－1）（a>0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（　　）

A．0

B．0

C．0

D．0

解析：

选A　令g（x）＝2x＋b－1，这是一个增函数，

而由图象可知函数y＝logag（x）是单调递增的，

所以必有a>1.

又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，

即－1

故a－1

5．若函数f（x）＝loga（a>0，a≠1）在区间内恒有f（x）>0，则f（x）的单调递增区间为（　　）

A．（0，＋∞）B．（2，＋∞）

C．（1，＋∞）D.

6．计算：

log2.56.25＋lg0.001＋ln＋2－1＋log23＝______.

解析：

解析：

原式＝log2.5（2.5）2＋lg10－3＋lne

＋2

log2＝2－3＋＋＝1.

答案：

1

7．已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．

解析：

问题等价于函数y＝f（x）与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.

答案：

（1，＋∞）

8．函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值为______．

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝log

x.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x2－1）>－2.

解：

（1）当x<0时，－x>0，则f（－x）＝log（－x）．

因为函数f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x）．

所以函数f（x）的解析式为

f（x）＝

（2）因为f（4）＝log

4＝－2，f（x）是偶函数，

所以不等式f（x2－1）>－2可化为f（|x2－1|）>f（4）．

又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－

即不等式的解集为（－，）．

10．已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），（a>0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；

（3）当a>1时，求使f（x）>0的x的解集．

解：

（1）要使函数f（x）有意义．

则解得－1

故所求函数f（x）的定义域为（－1,1）．