高中数学---函数的值域与最值Word文档格式.doc

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用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如的函数值域可用此法求值域；

（3）配方法：

二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意的范围；

（4）不等式法：

利用基本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等”；

（5）利用函数的单调性求值域：

观察函数式特点，联系函数单调性确定函数的定义域和值域，例如函数，可看a与c是否同号，若同号则可用单调性求值域，若异号才用换元法；

在利用两正数的均值不等式求值域失效（即等号不成立）的情况下，可采用单调性法求值域，函数当时，函数递减，当函数递增，想想这是为什么？

另外，还可用数形结合法（函数的图像）、判别式法、换元法（三角换元法）等求值域。

小结：

对于二次函数,

⑴若定义域为R时，

①当a>

0时，则当时，其最小值；

②当a<

0时，则当时，其最大值

⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]①若[a,b],则是函数的最小值（a>

0）时或最大值（a<

0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值

（3）若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

（4）当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论

利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法

（二）解题方法指导

例1．求下列函数的值域：

（1）f（x）=x2－2x－3，x[2，4]

（2）f（x）=x2－2x－3，x[－3，4]

（3）f（x）=sin2x－2sinx－3 （4）

例2．求下列函数的值域：

（1）

（2）

例3．求函数的值域．

例4．求的值域．

例5．设函数，

（1）求函数的定义域；

（2）问是否存在最大值与最小值？

如果存在，请把它写出来；

如果不存在，请说明理由

例题解析

例1解：

（1）根据f（x）=x2－2x－3=（x－1）2－4的图像，可知在[2，4]上函数是单调递增的，f

（2）≤f（x）≤f（4），即－3≤f（x）≤5，所以函数的值域为[－3，5]．

（2）抛物线f（x）=x2－2x－3的开口向上，对称轴为x=1，而1∈[－3，4]，所以由图像可知f

（1）≤f（x）≤f（－3），即－4≤f（x）≤12，所以y∈[－4，12]

（3）令t=sinx，则问题化为当t∈[－1，1]时，求φ（t）=t2－2t－3的值域，根据图像可知函数φ（t）=t2－2t－3在[－1，1]是单调递减的，φ

（1）≤φ（t）≤φ（－1）即－4≤φ（t）≤0，所以函数的值域为[－4，0]．

（4）令u=x2－2x，u=x2－2x=（x－1）2－1≥－1，而所以在R上是减函数，所以，故y∈（0，2]．

（3）（4）题是双重复合型函数问题，求值域宜“由里向外”，逐层考虑．二次函数的值域和两个因素密切相关：

一是所给的区间，二是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速做出草图，是解决这类问题的最佳方法，关于二次函数求最大（小）值问题，后面还要专门的研究．

例2解：

（1）原函数可化为，因为，所以y≠2，即函数的值域为{y∈R｜y≠2}．

注：

此题也可以反解x，得，得到y≠2．一般地，当c≠0时，的值域为{y∈R｜y≠}．

（2）由反解sinx，得因为｜sinx｜≤1，所以得解得y≥3或所以函数的值域为

此题也可以令t=sinx，通过图像考虑在[－1，1]上的单调性，从而求出函数的值域．

例3解：

令m=cosθ，n＝sinθ，则m2＋n2=1．因此所求函数的值域，就是圆x2＋y2=1上的动点（x，y）与定点（2，1）连线的斜率的变化范围，设经过定点（2，1）且与x2＋y2=1相切的直线为y－1=k（x－2），即kx－y＋1－2k=0，利用相切的条件：

圆心到直线的距离等于半径，易得k=0，或，由图形可知，分别为圆上的动点（x，y）与定点（2，1）连线的斜率的最小值，最大值，所以所求的函数的值域为

此题用的是数形结合的方法，也可以将变形为sinθ－ycosθ=1－2y，进一步化为，其中φ为辅助角，根据｜sin（θ－φ）｜≤1解得

例4解法1：

原函数式两端平方得显然有y2≥2，

又，当且仅当x－2=4－x即x=3时“=”成立，

所以又有y2≤2＋2=4，由2≤y2≤4及y＞0，得

解法2：

因为2≤x≤4，所以可令x=2＋2cos2x．则函数变为由于

所以所以

例5解：

（1）由，解得①

当时，①不等式解集为；

当时，①不等式解集为，

∴的定义域为

（2）原函数即，

当，即时，函数既无最大值又无最小值；

当，即时，函数有最大值，但无最小值