直角三角形与勾股定理.docx
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直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
一、选择题
10．（2019·滨州）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）
A．AB＝
，BC＝4，AC＝5B．AB：
BC：
AC＝3：
4：
5
C．∠A：
∠B：
∠C＝3：
4：
5D．|cosA﹣
|+（tanB﹣
）2＝0
【答案】C
【解析】A、∵
，∴△ABC是直角三角形，错误；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；
C、∵∠A：
∠B：
∠C＝3：
4：
5，∴∠C＝
，∴△ABC不是直角三角形，正确；
D、∵|cosA﹣
|+（tanB﹣
）2＝0，∴
，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；
故选：
C．
13．（2019·广元）如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到
△DEC,连接BD,则BD2的值是________
第13题图
【答案】
【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝
∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x＝
DM＝MB＝
∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝
.
28
11．（2019·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．
9．（2019·广元）如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°,连接BE并延长
BE到F,使CF＝CB,BF与CD相交于点H,若AB＝1,有下列结论:
①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝
④
.则其中正确的结论有（）
A.①②③B.①②③④C.①②④D.①③④
第9题图
【答案】A
【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在EF上取一点G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正确;③过点D作DM⊥AC于点M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝
③正确;④tan∠HBC＝2－
∴HC＝2－
DH＝1－HC＝
－1,∴
④错误.故选A.
10．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图所示：
设DM＝x，则CM＝8﹣x，
根据题意得：
（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，
解得：
x＝4，∴DM＝6，
∵∠D＝90°，由勾股定理得：
BM＝
＝5，
过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，
∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，
∴
，即
，解得BH＝
，即水面高度为
．
7．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
【答案】B
【解析】如图所示，
∵AM=MN=2，NB＝1，
∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，
∴
，
，
∴
，
∴△ABC是直角三角形.
1.（2019·湖州）在数学拓展课上，小明发现：
若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O，作直线OP，得线段AB，则沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A作AC⊥BD于点C，则∠ACB＝90°．由中心对称的性质可知，BD＝EF＝AG，从而BC＝1．又AC＝3，故在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝
＝
．故选D．
2.（2019·宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出
A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:
a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b（a+b－c）,由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C.
3.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）
A.8B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD.
∵BE⊥AC，AD⊥BD，
∴∠DAC=∠DBH，
∴△DBH≌△DAC（ASA）.
∵DG⊥DE，
∴∠BDG=∠ADE，
∴△DBG≌△DAE（ASA），
∴BG=AE，DG=DE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°.
在Rt△ABE中，BE=
，
∴GE=
，
∴DE=
.
∵D，F关于AE对称，
∴∠FEC=∠DEC=45°，
∴EF=DE=DG=
，
DF=GE=
，
∴四边形DFEG的周长为2（
+2-
）=
.故选D．
二、填空题
15．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）.
（图①）（图②）
（第15题）
【答案】
【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为
×10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则
=sin45°=
，解得x=
，故答案为
.
第15题答图
17．（2019·威海）
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°
【答案】105°
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.
18．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为
cm，则图中阴影部分的面积为cm：
（结果保留根号）．
（第18题）
【答案】
第18题答图
解析：
如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为
cm，所以△ABC与△DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OG⊥AB于G，交DE于H.则GH=
，S△ABC=
OG×（AB+AC+BC）=
AB×AC，∴OG=
，∴OH=
，∵
∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴
∴
，解得DE=6-
，
S阴影=S△ABC-S△DEF=
.
12．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0）、（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.
【答案】（
，0）或（
，0）
【解析】设点P的坐标为（x，0），
（1）当点D在线段AB上时，如图所示：
∵DA=1，∴点D的坐标为（
，
）.
∴
，
，
.
∵CP⊥DP于点P，∴
，
∴
，
即
，
∵△=
=
＜0，
∴原方程无解，即符合要求的点P不存在.
（2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示：
∵DA=1，∴点D的坐标为（
，
）.
∴
，
，
.
∵CP⊥DP于点P，∴
，
∴
，
即
，
∵△=
=
＞0，
∴
，
∴点P的坐标为（
，0）或（
，0）.
13．（2019·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝．
【答案】4
【解析】因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，所以AB=2CM,又因为E、F分别为MB、BC的中点，所以EF为中位线，所以CM=2EF,从而AB=4EF=4。
1.（2019·枣庄）把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.
【答案】
－
【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝
过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝MC＝
BC＝
在Rt△AMD中,AD＝BC＝
AM＝
∴MD＝
∴CD＝MD－MC＝
－
.
2.（2019·巴中）如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.
【答案】16
+24
【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝16
因为PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝16
+24.
.
三、解答题
1.（2019·巴中）如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.
（1）求证:
EC＝BD;
（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
证明：
（1）∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB＝90°,AC＝BC,∴∠ACE+∠BCD＝90°,
∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,
∵BD⊥CD,∴∠AEC＝∠CDB＝90°,
∴△AEC≌△CDB（AAS）,∴EC＝BD.
（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，
∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,
∴S梯形＝
（AE+BD）ED＝
（a+b）（a+b）,
S梯形＝
ab+
c2+
ab，
∴
（a+b）（a+b）＝
ab+
c2+
ab,
整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.
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