三角形重心定理.docx

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三角形重心定理

三角形重心定理

　　三角形中的几个重要定理三角形中的几个重要定理1．梅涅劳斯定理一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则1.XBYCZA梅涅劳斯定理的逆定理也成立在ΔABC的边AB、BC、CA（或其延长线上）分别取X，Y，Z.AXBYCZ如果1，那么X，Y，Z三点共线。

　　XBYCZA梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。

　　2.塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。

　　边元塞瓦定理：

ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAFE，F，则1.DCEAFB边元塞瓦定理逆定理也成立：

在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。

　　角元塞瓦定理BDCEAF1.DCEAFBAFMEBDC如图，设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，三条线段AD、BE、CF交于一点M．则

（1）对ΔABC与点M，有sinBAMsinACMsinCBM1sinMACsinMCBsinMBAsinBMDsinMCAsinCBA1sinDMCsinACBsinAMBsinCMEsinMABsinACB1sinEMAsinBACsinBCM

（2）对ΔMBC与点A，有（3）对ΔMCA与点B，有（4）对ΔMAB与点C，有角元塞瓦定理的逆定理也成立。

　　sinAMFsinMBCsinBAC1sinFMBsinCBAsinCAMADDEBFCBCEAFBEDACF如图，过△ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若sinBADsinACFsinCBE1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。

　　sinDACsinFCBsinEBA3.斯台沃特定理ΔABC的边BC上任取一点D，若BDu，CDv，ADt，则b2uc2vtuv.a2特别地，当AD是ΔABC的中线时，uvma1a，令ADma，则212b22c2a2，此即中线长公式；当AD是ΔABC的内角平分线时，2acab由内角平分线性质：

u，v，bcbc2abc设ADta，可得tabcp（pa），这里p.此即角平分线公式。

　　bc2如图，ΔABC中，D为线段BC上一点，满足ADBC，取边AB上点E，边AC上点F，连DE、DF，满足EDAFDA，求证:

AD、BF、CE三线共点。

　　GAHEFBDC如图，A1、B1、C1分别是ΔABC的边BC、CA、AB内任意一点，Ga，Gb，Gc分别为ΔAB1C1，ΔBC1A1，ΔCA1B1的重心。

　　求证：

AGa，BGb，CGc三线共点的充要条件是AA1，BB1，CC1三线共点。

　　如图，P为ΔABC内一点，使得PAB100，PBA200，PCA300,PAC40.求证：

ΔABC是等腰三角形.AM、N、P分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，M1、N1、P1在ΔABC的边上，且满足MM1、NN1、PP1分别平分ΔABC的周长.证明：

MM1、NN1、PP1交于同一点K.已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Γ为过A、C且圆心不在AC上的圆。

　　分别过A、C两点且与圆Γ相切的直线交于点P，PB与圆Γ交于点Q.证明：

AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Γ的选取。

　　已知非等边ΔABC，A、B、C的平分线分别交对边于点A、B、C.AA的中垂线与BC交于点A，BB的中垂线与AC交于点B，CC的中垂线交于点C.证明：

A、B、C三点共线.已知ΔABC的三边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且满足AD、BE、CF交于一点G.若ΔAGE、ΔCGE、ΔBGF的面积相等.证明：

G是ΔABC的重心.设ΔABC的边AB的中点为N，AB，D是射线AC上一点，满足CDBC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足PBCA，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T.求表达式BCEA的值.TCEB已知点B、C分别在由点A引出的两条射线上，且ABAC为一定值.求证：

ΔABC的外接圆恒过不依赖于点B、C的点D（DA）.在ΔABC内部给定三点D、E、F，使得BAECAF，ABDCBF.求证：

AD、BE、CF三线共点的充分必要条件是ACDBCE.在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。

　　求证：

GACEAC.证明pascal定理圆内接四边形ABCDEF（不要求是凸的）三组对边AB和DE，CD和FA，EF和BC的交点L，M，N共线.在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：

直线AA1，BB1，CC1相交于一点.P167（初三分册）三角形几个心的定理最佳答案XX百科三角形五心定律

　　三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

　　一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

　　该点叫做三角形的重心。

　　三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

　　（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

　　2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。

　　二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

　　外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

　　2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

　　3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

　　4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：

d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

　　c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

　　外心坐标：

（（c2+c3）/2c，（c1+c3）/2c，（c1+c2）/2c）。

　　5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

　　垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

　　（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

　　定理证明已知：

ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，求证：

CF⊥AB证明：

连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！

四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

　　内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。

　　该点即为三角形的内心。

　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

　　3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：

向量P0=（a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/（a+b+c）.4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:

ON=AB:

BN=AC:

CN=（AB+AC）:

BC5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

a（向量OA）+b（向量OB）+c（向量OC）=向量0．6、、（欧拉定理）⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．7、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

　　旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

　　2、每个三角形都有三个旁心。

　　3、旁心到三边的距离相等。

　　如图，点M就是△ABC的一个旁心。

　　三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

　　一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

　　附：

三角形的中心：

只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

　　有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为重心，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做内心有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称内心，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好三角型重心定理1）重心分中线成两段,它们的长度比为2:

1.2）三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明:

用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]2）材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.三角形的五心一定理重心定理：

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。

　　该点叫做三角形的重心。

　　外心定理：

三角形的三边的垂直平分线交于一点。

　　该点叫做三角形的外心。

　　垂心定理：

三角形的三条高交于一点。

　　该点叫做三角形的垂心。

　　内心定理：

三角形的三内角平分线交于一点。

　　该点叫做三角形的内心。

　　旁心定理：

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

　　该点叫做三角形的旁心。

　　三角形有三个旁心。

　　三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。

　　它们都是三角形的重要相关点。

　　上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。

　　这些性质都是可以直接用的啊三角形重心三角形重心三角形重心三角形重心是三角形三边中线的交点。

　　当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

　　定义三角形在三条中线的交点性质比例重心到顶点与到对边中点比为2：

1性质证明1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：

1。

　　例：

已知：

△ABC，E、F是AB，AC的中点。

　　EC、FB交于G。

　　求证：

EG=1/2CG证明：

过E作EH∥BF交AC于H。

　　∵AE=BE，EH//BF∴AH=HF=1/2AF（平行线分线段成比例定理）又∵AF=CF∴HF=1/2CF∴HF:

CF=1/2∵EH∥BF∴EG:

CG=HF:

CF=1/2∴EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。

　　根据重心性质知，OA=1/3AA，OB=1/3BB，OC=1/3CC，过O，A分别作a边上高OH，AH,可知OH=1/3AH则，S△BOC=1/2×OHa=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC；同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

　　平方的和最小。

　　（等边三角形）等边三角形）证明方法：

设三角形三个顶点为（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：

（x1-x）2+（y1-y）2+（x2-x）2+（y2-y）2+（x3-x）2+（y3-y）2=3x2-2x（x1+x2+x3）+3y2-2y（y1+y2+y3）+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*（x1+x2+x3）]2+3[y-1/3*（y1+y2+y3）]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3（x1+x2+x3）2-1/3（y1+y2+y3）2显然当x=（x1+x2+x3）/3,y=（y1+y2+y3）/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3（x1+x2+x3）2-1/3（y1+y2+y3）2最终得出结论。

　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数的算术平均数，即其坐标为[（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3]；空间直角坐标系——横坐标：

（X1+X2+X3）/3，纵坐标：

（Y1+Y2+Y3）/3，纵坐标：

（Z1+Z2+Z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

　　6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

　　7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）顺口溜三条中线必相交，交点命名为重心重心分割中线段，线段之比二比一；向量关系O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。

　　三角形中有两个非常重要的定理三角形中有两个非常重要的定理一：

三角形内角和定理内容：

三角形内角和等于180°（希望同学们能够通过平行线的知识将其证明）如果配合前面所学的对顶角，则可以衍生出一个重要的模型：

8字模型这个模型考试用的相当的多，一直到初三！

结论及证明过程结论一：

∠A+∠B=∠C+∠D证明过程：

在△ABE和△CDE中         ∠A+∠B+∠AEB=180°         ∠C+∠D+∠CED=180°         ∵∠AEB=∠CED         ∴∠A+∠B=∠C+∠D（这个叫结论，不是定理，所以过程必须会写！

！

！

）结论二：

AC+BD ＞AB+CD证明过程：

在△ABE中                                  AE+BE＞AB                       在△CDE中                                DE+CE＞CD                     ∴AE+BE+DE+CE＞AB+CD                     即 AC+BD＞AB+CD二：

三角形外角定理内容：

三角形的一个外角等于和它不相邻的任何一个内角.如图：

∠1=∠A+∠B由这个基本模型继续演变等到三角形另一个重要模型镖形图镖形图结论一：

∠C=∠A+∠B+∠D证明过程：

简单的写2个证明方法，大家应该多研究下，一题多解对于理解几何十分重要。

　　方法一：

如图连接AC并延长∵∠1是△ABC的外角∴∠1=∠B+∠3∵∠2是△ACD的外角∴∠2=∠4+∠D∴∠1+∠2=∠B+∠3+∠4+∠D即∠BCD=∠B+∠BAD+∠D方法二：

延长BC交AD于F点∵∠1是△CDF的外角∴∠1=∠D+∠2∵∠2是△ABF的外角∴∠2=∠A+∠B∴∠1=∠D+∠A+∠B即∠BCD=∠A+∠B+∠D飞镖证明方法二.JPG（8.69KB）飞镖证明方法一.JPG（9.39KB）三角形8字.JPG（5.9KB）三角形镖形图.JPG（7.75KB）第一篇：

从几何口诀入手，谈谈学好几何的几个基础！

人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？

把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；通过这三句话，简单的总结了几何的难点——如何添加辅助线！

和辅助线添加的前提条件——把握定理和概念！

并且还指出了，经验在做题中的重要性！

上面谈到了学好几何的几个基础：

①把握定理和概念②要肯吃苦，能静下心来独立思考和研究③要多总结，经验在几何做题中十分关键二篇：

从这里开始，教大家如何总结！

先从刚学了线段和角入手吧！

在角这里要为后面几何做铺垫的就是互为余角了！

看看几个重要的模型（模型是学好几何的一个比不可少的工具）：

从互余到全等是一个非常重要的模型！

也是全等考察率最高的。

　　无论从中考角度，还是从竞赛角度，都有所考察！

而这个模型的精髓就是如何把隐藏的互余图寻找出来。

　　那么构题时，是如何将这个图隐藏起来呢？

又如何添加辅助线呢？

敬请关注！

关于几何初步，我想说的是，一定要把基础打牢！

下面我具体说说三线八角关于三线八角，他是有个非常重要的前提的！

即两条直线被第三条直线所截，只有满足了这个条件，才会有8角出现。

　　例当没有第三直线来截时，我们看不到一个角，然而当第三条线——截线，出现的时候，立刻就出现了下面的情况。

　　我们要想学好相交线、平行线，就先砸好这个基础：

即对于任何一个复杂的图，我们要能说清楚∠？

与∠？

是直线？

？

和直线？

？

被直线？

？

所截，而形成的？

？

∠如：

上面∠1和∠5；具体训练方式：

∠1与∠5是直线a和直线b，被直线c所截而形成的同位角。

　　这里的难点就是如何寻找截线，以后图形复杂了，对初学几何的同学来说，确实是个困难。

　　这里我就说说我是怎么教学生的。

　　以下面这个图为例子：

请说明∠1和∠2是直线？

？

（为了方便都说成直线，各位读者见谅）和直线？

？

被直线？

？

所截而形成的？

？

角很多初学的同学在看到这个后上来是会有些晕的，我们要把好这一关。

　　我是跟学生这么说的：

首先，围成∠1的两条线能否找到？

答案肯定是没问题，AB和AC接下来，围成∠2的两条线能否找到？

答案肯定是没问题，BC和AC。

　　那就好了，我们通过上面的介绍不难看出，AC是∠1和∠2公共的线，如果AC消失2个角都不存在了，所以AC这条线就是截线。

　　于是寻找截线的方法就出炉了：

抓住截线的重要性，因为截线消失，所有∠都消失。

　　你在寻找截线的时候，可以假想截线被你抽走了，这个时候∠都不存在了，说明你找对截线了。

　　当我们前面的基础都砸好了，就要把平行线的性质和判定弄熟。

　　开始建议多训练些基础的诸如下面的题目：

完成下面的证明：

已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD；求证∠EGF=90°证明：

∵HG∥AB（已知）∴∠1=∠3（）∵HG∥CD（已知）∴∠2=∠4（）∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+________=180°（）∵EG平分∠BEF（已知）∴∠1=∠_____（）∵FG平分∠EFD（已知）∴∠2=∠_____（）∴∠1+∠2=（____+______）∴∠1+∠2=90°∴∠3+∠4=90°（）即∠EGF=90°答案：

两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；∠ECD，两直线平行，同旁内角互补；BEH，角平分线定义；EFD，角平分线定义；∠BEC，∠EFD，等量关系。

　　三角形五心定理及释义现代文阅读的方法现代文阅读现代文阅读解题原则是：

以文解题；看分值答题（如果多分值最好标出1、2，怕丢分不妨n+1,但有字数限制的概括题除外）；尽量用原句，不能用原句的，答题线索一定在附近；审题要细，别看错，别遗漏。

（一）、记叙文阅读一、词语：

答题时一定要在文段句词的前后找答案或找解答的依据。

（1）能理解词语的表面意义，以及深层含义和言外之意，并能理解其表达的效果；

（2）能确定词语指代的内容：

一般出现在上文,找出后代入原文,看是否通顺合理。

　　二、文章概括：

内容概括（一句话概括故事情节）：

人物和事件（A、谁干什么B什么怎么样）主题概括：

本文通过某人做某事反映了什么意义（人物性格、作者感情、人生哲理）。

　　主旨句的作用：

结构上贯穿全文，内容上点明中心。

　　三、记叙线索及作用？

线索：

（1）核心人物

（2）核心事物（3）核心事件（4）时间（5）地点（6）作者的情感。

　　作用：

贯穿全文，把文中的人物和事件有机地连在一起，使文章条理清楚、层次清晰。

　　五、记叙顺序及作用？

（1）顺叙（按事情发展先后顺序）作用：

叙事有头尾，条理清晰，脉络清楚、印象深刻。

（2）倒叙:

造成了……的悬念，使故事情节更曲折,增强了文章的可读性.（3）插叙作用：

补充交代了……使人物形象更丰富，使中心更突出。

　　记叙文中穿插议论的作用:

结构上承上启下;内容上画龙点睛.六、文章段落语句的主要作用有：

（必须从内容、结构两个方面来进行做答）1、结构上：

承接上文、开启下文、总领下文（引出下文）、承上启下（过渡）、照应前文（开头）首尾呼应。

　　2、内容上：

开篇点题、抒发情感、点明中心，深化主题、画龙点睛某句话在文中的作用：

1、文首：

开篇点题；渲染气氛（记叙文、小说），埋下伏笔（记叙文、小说），设置悬念（小说），为下文作辅垫；总领下文；2、文中：

承上启下；总领下文；总结上文；3、文末：

点明中心（记叙文、小说）；深化主题（记叙文、小说）；照应开头（议论文、记叙文、小说）3、写法上：

气氛渲染、托物言志、以小见大、设置悬念、埋下伏笔、为后文作铺垫、欲扬先抑、借景抒情、寓情于景、托物言志等。

　　象征、托物言志作用:

使表达委婉含蓄、深沉感人.环境描写的作用：

交代时间地点，揭示时代背景；渲染气氛、烘托人物心情，展示人物的性格、推动情节的发展等等。

　　在回答时必须结合当时当地的时代背景，指出文段中环境描写的相关语句揭示了什么样的社会现实。

　　以《孔乙己》为例，开篇关于咸亨酒店格局及人物的介绍便属于社会环境描写，它揭示了当时社会等级森严，反映了人与人之间的冷酷势利，为主人公的出场做了铺垫。

　　环境描写的作用。

　　可以从以下六种情况判断：

是否烘托了人物的心情，是否渲染了气氛，是否设置了背景，是否烘托了人物形象，是否深化了主题